(完整word版)电大高等数学基础复习题小炒

1、高等数学基础归类复习 一、单项选择题31-2.设函数f（x）的定义域为（设函数f（x）的定义域为（1-1下列各函数对中，（C. f（x） 1nx , g31nx）中的两个函数相等.） ,则函数f（x） f （ x）的图形关于（C. y轴）对称.） ,则函数f（x） f （ x）的图形关于（D.坐标原点）对称.x xe ey .函数2的图形关于（A）坐标原点）对称.1-3.下列函数中为奇函数是（B. y xCosx）.3下列函数中为奇函数是（A. y x x）2下列函数中为偶函数的是（ d y 1n（1 x）.1 clim xsin - 02-1下列极限存计算不正确的是（ D. x x ）1xs

2、in 一2-2当x 0时，变量（ C. x ）是无穷小量.当x 0时，变量（C ex 1 ）是无穷小量.当x 0时，变量（D ln（x 1）是无穷小量.卜列变量中，是无穷小量的为（1n x 1 x 0B7f (1 2h) f (1)3-1设f （x）在点x=1处可导，则(D. 2f (1)f(x0 2h)f(x0)lim设 f(x)在 x0可导，则 h 0h( d 2f (x0)f(x0 2h)f(x0)lim r ，、,、设 f(x)在 x0 可导，则 h 02h( D. f (x0)设 fe: /xmf一ln xdx3-2.下列等式不成立的是（ D.卜列等式中正确的是（1dB. Xdx-2

3、X )24-1函数f（x） x 4x 1的单调增加区间是（D. （ 2，）.2函数y X 4x 5在区间（6,6）内满足（a.先单调下降再单调上升）.2.函数y x x 6在区间（一5, 5）内满足（A先单调下降再单调上升）2 Ox, a/o.函数y x 2x 6在区间（2,5）内满足（D.单调上升）5-1 若 f (x)的一个原函数是 x ,则f （x）（D. x3若F（x）是f（x）的一个原函数，则下列等式成立的是（xf (x)dx A aF(x) F(a)。5-2 若 f (x)cosx 则 f (x)dx(B. COSx卜列等式成立的是（D.ddx f(x)dxf(x).ddx23x

4、f (x )dxB. x2f(x3)ddxxf (x2 )dx-2xf(x )dx )5.-3 若f(x)dx1 F（x）c,则不f (、x )dxB. 2F/) c补充:f (ex)dxF(ex)无穷积分收敛的是函数f(x)x x1010的图形关于对称。二、填空题L函数f (x)9ln( 1 x)3的定义域是(3, +8)y函数ln(x 2)< 4 x的定义域是 （23)U (3, 4 f (x) ln( x函数15）"2 x的定义域是(5, 2)f(x)若函数2x 1, x 0x2 , x 0,则 f(0)f (x)2若函数1(1 x)7 , x 0x k , x 0 ,在

5、x 0处连续，则kf(x).函数sin 2xxk0处连续，则kx 1, x 0函数 sinx, x 0的间断点是x=0x2 2x 3,y ；函数x 3的间断点是x=31x=0皿y：一函数 1 e的间断点是3-1.曲线f(x) <x 1在(1,2)处的切线斜率是1/2曲线f(x) & 2在(2,2)处的切线斜率是1/4曲线f(x) ex 1在(0, 2)处的切线斜率是13.曲线f(x) x 1在(1,2)处的切线斜率是3(二.切线斜率是3-2曲线f(x)sinx在2 处的切线万程是 y = 1曲线y = sinx在点(0,0)处的切线方程为y = x切线斜率是14.函数y ln(1

6、 x)的单调减少区间是(-巴0)2函数f(x) eX的单调增加区间是(0, +8)2.函数y (x 1)1的单调减少区间是(巴1 )21.函数f(x) x 1的单调增加区间是(0, +8)2 x 函数y e 的单调减少区间是(0, +8),x2 .d e dx5-12e * dx-sin x2dx .dx一 2sin x(tan x) dxtan x +Cf(x)dxsin3x c 则 f (x)9 sin 3x5-2353(sin1、，x -)dx23 x-2 xdxddxeln( x 1)dx卜列积分计算正确的是（11 (e e )dx).1 x(e1x)dx1x2dx111|xdx 0、

7、计算题（一）、计算极限（1小题,(1)利用极限的四则运算法则,11分）主要是因式分解，消去零因子。类型1-11-21-3利用连续函数性质:1:利用重要极限sin 6x lim 求 x 0 sin 5xlimx 0 求tan x3xtan3xlim 求x 0 xf （Xo）有定义,sin xlim 一x 0 x解:lim f (x)则极限x x0f(x0)sinlim - x 0 sintanx lim 解：x0 3x解:类型2:因式分解并利用重要极限2-1求limx 1 sin( x 1)解:lxmsin kxsin6xlxm0tankx计算limx 12-2sin x 1x2 1lim解:2

8、.xlim4x 3x2-33 sinx 3)解:类型3-16x5xlxm0xsin 5xtan xtan3xlim limx 0 x _ x 0tan 3x.33xlimx alimx 1sin(x a)(x a)x2 1sin(xsin(x 1)一 lim 1),x 1lxm14x 3sin(x 3)(x3:因式分解并消去零因子，再计算极限.x2 6x 8lim 2x 4 x5x 4 解:2lim x2x 4x26x5x 4 =limx axsin(xaa)化简计算。(x 1) sin(xsin(x 1)(x 1)3)(x 1)sin(x 3)(x 4)( x.(x 1)1(x 1)mW2)

9、(x 4)(x 1)1)1)limx 41 1)2x 3 x 2572xx 6lim 3-2 x 3 xx 12limxx2 x 63 x2x 12lim x 3 xlim3x4 x 3limx3-3x2 3x 2x2 42 xlim x 23x 2其他:limx 02 xsin xlimx 01 2 -x2sinx(x 2)(x 1)(x 2)(xsinx limx 0)1lim2)sin lim2.x lim -7 x x6x 54xlimxlimtan8x(0807考题)计算x 0 sin 4x(0801考题.lim)计算x 0sin xlimx2x2 3x26x4x 5limx2x23

10、x2tan 8x解:tan8x lim x 0 sin 4x =lim -xx 0 sin 4xlimx 0sin x2x1 sin x一lim2x091(13)x 2x 3 (x 1).(x 3) lim lim (0707 考题.)x xxx(sin e ) cose .(e ) e cose 1 sin(x 1) =x 1 sin(x 1)（二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）（1）利用导数的四则运算法则(u v) u v(uv) u v uv2(ex)(esinx)(ecosx)ue .u22ex .(x ) 2xexsin xsin xe .(sinx) e cosx_cosx

11、cosx _e .(cosx) e sin x(2)利用导数基本公式和复合函数求导公式,'1(ln x) / a a 1x(x ) ax(ex)ex(eu)(sin x) cosx (cosx)sinx(tan x)sec2 x(cot x)csc2 x(sin u)cosu.u22,22(sin x ) cosx .(x ) 2xcosx(cosu) sin u.u ,2、2,22(cosx ) sin x (x ) 2xsin xx xXX(cose) sin e .(e ) e sin e类型1：加减法与乘法混合运算的求导,先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1 y(x

12、Vx 3)ex解：y1-2 y解:1-3解:33x2 3 exx2 3一,2cotx x(cot x)ex tanx(ex tanx)In x/ 2 、(x In x)1nx，求 y(lnx) (ex)3 133 2 x2x2ex222, 2、，csc x (x ) Intanx ex(tanx)3 1x 3 2ex222、x (In x)ex tanx类型2:加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导2-1 y sinx2 lnx,求 y2、y (sin x )解：(1n x)x22-2 y cose sinx 求解：y(cosex) (sinx2)- x / X sin e .

13、(e )2 /2、cosx .(x )55x2-3 y 1nx e ,求,55x解：y (1n x) .(e )类型3:乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导y e cosx 求 y解：V2(ex ) cosx2ex (cosx)其他:?x cosx3x"32 csce sec22xcosxx . x e sin e51n4x x22xex5e2x In x xy解：(2x)(cosX)x2x1n 2(cosx) .xcosx.(x)2x1n 20807.设sin x e2 sin x解:sin x、(e )(sinx2)0801.设xe解:2(x) ex2x(ex )

14、0707.设sin x e解:sin x2、e .(sin x) (x )0701.设In xxcose ,求解:(1n x) sin ex.(ex)（三）积分计算:（2小题，共22分)凑微分类型1:-2-dx xd(-) x22xcosx5xcosxxsinsin x e2_ x _e sin xx cosx-2xcosx 2xcosx22 x22x esin xcosxe 2x1_x _xe sine x191 cos-x2- 计算 xdx解:1 cosx2- xdxcos1dBx x.1sin- cx0707.计算.1 sin 一 2x dx x解:.1sin 一dx x11sin d(

15、-)1cos - cx0701计算1ex-2 dx x解:1ex-2 dx x1 1exdx1ex c凑微分类型2:dx一 xcos . xdx.计算 、x解:cos x-x xdx2 cos xd x2sin . x0807.计算解:sin . x .dxV x2cos x0801.计算ex .xdx解:exdxx2e x凑微分类型3:1dx xd ln x-dx xd (aIn x)计算 xlnxdx解:-dx xlnxd In xIn x-du uIn | In x | ce2 ln x ,dx.计算1 x定积分计算题，分部积分法解:e21ln类型1：计算xa lnxdxexlnxdx1

16、exlnxdx1解:1ln xdxln xdxaxdxei(2Inx)d(2 lnx) 2(2ln x)2eln xdx1(xln x x)ln xdxa 1 x . lnx a 11(TVxln xdx2亍)ln xdx21x2 ln x2(e e) (0 1)e ln x2-dx计算1 x解:ln x-dxx1 ln xd ()x1In x x计算解:e2 ln1(2 x In x0807.xlnxdxeInxd10707ln xdxax .xe dxlnxd x3类型1xe02xdx1xde2x01xe0xdx1xde01xe02xdx1xde0(0801考题)xexsin axdx类型

17、3:x cos axdx02xsinxdx02 xcosxdxxsin2xdxeln x , dx121 xe 1 'lnxd(x)(ln xx124Vx)2 3(-x2 ln3(1x3ln3xd(eax) kea/ 2x(xe2x(xe2xaxIn xd . x34 -9x2)13、9x)ax exdx2 -e291 2xe4x)2e 11一 xe22x1xde0(xe1x cosax a1xsin ax a2 xd cos x02 xd sin x01一 xcos2x2(xcos x(xsin xcosaxdxsin axdxsin x)cosx) 201-x cosax a1xs

18、in ax asin ax12 cos ax a11一 cos2xdx 一 x cos2x221一 sin 2x4：xsin2xdx1 Txd cos2x2 0(-xcos2x21sln 2x)i2xcos2xdx012xsin 2x 12221,22 sin 2xdx cos2x |2四、应用题（1题,16分)类型1:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为1,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?22,2解：如图所示，圆柱体高 h与底半径r满足h r 1222圆柱体的体积公式为V r h Ml h ）h3h2） 06r 13,.3 ,h 1求导并令V X12,并由此解出即当底半径 3

19、,高 3 时，圆柱体的体积最大.类型2:已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1 （0801考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省?解：设容器的底半径为 r ,高为h ,则其容积hh 二 .r2 Ttrh 2 口2V表面积为2V由实际问题可知，当底半径时可使用料最省。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：本题的解法和结果与 2-1完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？设容器的底半径为r ,高为h,则无盖圆柱形容器表面积为-22 2VS冗r2 Ttrhurr ,令c 2VS 2ur 0rV,h冗由实际问题可知，当底半径3V,兀与高h r时可使用料最省。0707考题）解:设底边的边长为x，高为h ,用材料为y ,由已知2x h V 32表面积4xh2 4Vx xc 4V2x 2 x3/ h得x 2V 64, 此时x 4,Vx =2由实际问题可知,4是函数的极小值点，所以当 x 4h 2时用料最省。2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：本题的解法与2-2同，只需把V=62.5代入