反证法典型例题(课堂PPT)

1、韩城韩城象中象中毋宁毋宁 选修选修1-2：第三章第三章 推理与证明推理与证明例例1. 1. 已知：一个整数的平方能被已知：一个整数的平方能被2 2整除，整除， 求证：这个数是偶数。求证：这个数是偶数。证明：证明：设整数设整数a a的平方能被的平方能被2 2整除整除. . 假设假设a a不是偶数，不是偶数， 则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2m+1(ma=2m+1(m是整数是整数) ) a a2 2=(2m+1)=(2m+1)2 2=4m=4m2 2+4m+1=4m(m+1)+1+4m+1=4m(m+1)+1 a a2 2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以假设不

2、成立，所以a a是偶数。是偶数。a a b b证证：假假设设 a a b b不不成成立立，则则 a a b b若若 a a = =b b，则则a a = = b b, ,与与已已知知a a b b矛矛盾盾, ,若 a b，则a b,若 a b，则a b b矛矛盾盾, ,故故假假设设不不成成立立，结结论论 a a b b成成立立。例例2.2.证明：如果证明：如果ab0ab0，那么，那么证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1

3、 12 2则则a ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0与与已已知知a a 0 0矛矛盾盾, ,故故假假设设不不成成立立，结结论论成成立立。例例3.3.已知已知a0a0，求证关于，求证关于x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。P P已知：在已知：在O O中中, ,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，

4、且ABAB、CD CD 不全是直径不全是直径求证：求证：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DO O例例4.4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分互相平分. .2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2从从而而有有4 4k k = =

5、2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n n 也也是是偶偶数数，这这与与m m，n n互互质质矛矛盾盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。例例5.5.求证：求证： 是无理数是无理数. . (4)结论为结论为 “唯一唯一”类的命题。类的命题。正难则反正难则反!应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)直接证明困难直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；需分成很多类进行讨论；(3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多个有无穷多个”这一类的命题；这一类的命题；例例6.6.已知已知a+ +b+ +c0, 0, ab+ +bc+ +ca0,

6、 0, abc0.0.求证求证: : a, ,b, ,c00证明证明: : 假设假设c0, 0, 0, ab0.00. . ab+ +bc+ +ca= =ab+(+(a+ +b) )c0.0.矛盾矛盾! !假设不成立假设不成立. .例例7.7.已知已知00a, ,b, ,c1, - 0(1),22a ba bb a1- +1(1- ) - 0(2),22b cb cc b1- +1(1- ) - 0(3).22c ac aa c(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)得得: 00,: 00,矛盾矛盾! ! 假设不成立假设不成立. .所以所以,(1-,(1-a) )b, (1-, (1-b)

7、 )c, (1-, (1-c) )a不可能同时大于不可能同时大于1/4.1/4. 例例7.7.已知已知00a, ,b, ,c1, 1, 求证求证: (1-: (1-a) )b, (1-, (1-b) )c, , (1-(1-c) )a不可能同时大于不可能同时大于1/4. 1/4. 证明证明: : 假设假设(1-(1-a) )b, (1-, (1-b) )c, (1-, (1-c) )a同时大于同时大于1/4. 1/4. 则则11(1)(1),44a bab11(1)(2),44b cbc11(1)(3).44c aca(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)得得: :1113()()()3

8、444abcabc矛盾矛盾! ! 假设不成立假设不成立. .原结论成立原结论成立. .例例8.8.已知已知 : f (x)=x2+px+q.求证求证 : |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于 .例例9.9.已知已知A,B,C为三个正角为三个正角. 且且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求证求证: A+B+C900.解解: :假设假设A+B+C 900, 由于由于A,B,C为三个正角为三个正角, 所以所以它们都为锐角它们都为锐角, 且有且有cos(A+B)cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B) 1-cos2(A-B) 1.矛盾矛盾! 假设不成立假设不成立.