三重积分的计算方法与例题

1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分f (x, y, z)dz，再做二重积分 F(x, y)d；，就是“投Z1D影法”也即“先一后二”。步骤为：找O及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成“后二”这一步。f(x, y, z)dv 二 f (x, y,z)dzdcQD z；如果先做二重积分11 f (x, y, z)d；二再做定积分F (z)dz，就是“截面Dzci法”也即“先二后一

2、”。步骤为：确定。位于平面Z = C|与z=c2之间，即z Ci,C2，过z作平行于xoy面的平面截“，截面Dz。区域Dz的边 界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分i if(x, y,z)d二，完成DzC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分 F (z)dz，完成“后C1C2一” 这一步。，丨 f(x, y,z)dv = f(x,y,z)d；dzQC； Dz当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且Dz的面积rz)容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平 面)

3、(1) D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当门的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2) D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2 y2), f()时,x可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3) 门是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2 y2 z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：Dz是门在z

4、处的截面，其边界曲线方 程易写错，故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算Sdz。因而。中只要z a,b,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2. 对坐标系的选取，当门为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z或zf(x2 y2)时，可考虑用 柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1:计算三重积分I二 zdxdydz，其中门为平面x y1与三个坐标面x =0, y =0,z=0围成的闭区域。解1 “投影法” 1画出门及在xoy面投影域D. 2.“穿线” 0 "-x-y*X型0 _ x _ 1 :

5、0 _ y _1-x0_z_1-x-y0兰X兰1D:0 <y <x3计算0 0 0.212213 1 xdx 二(1 - x - y)2dy. (1 - x)2 y - (1 - x)y2 匚 y3肾dx2 03113只13 23I4J(1 -x) dx x x x x 0 62460丄24解2 “截面法” 1画出门。2.0,1过点z作垂直于z轴的平面截得DzDz是两直角边为x,y的直角三角形，x=1-z, y=1-zT.3计算1 1 1I = JJJ zdxdydz = J JJzdxdydz = Jz JJ dxdydz = J zSDzdz；0 Dz0 Dz0z(1xy)dz

6、z；(1-z)(1-z)dz 弓0 2 0 2 21(z -2z2 z3)dz =0124补例2:计算i i i x2 y2dv，其中门是x2 y2 = z2和z=1围成的闭区域解1 “投影法”z = x2 + 2y21.画出。及在xoy面投影域D.由、z=1消去z.得 x2 y2 = 1 即 D: x2 y2 空 12.“穿线” ；x2 yz1，X 型 D :. J-Jxly"口"1 Ex 兰1-x2 < y <(1 一 XJx2 +y2 EZE1111_x1111 ： X2 y2dv = dx dy . x2 y2dz =Q丄 A口 ；rxy211 _x2d

7、x丄 _ 12.X2y2(1_ , x2y2)dy =：6注：可用柱坐标计算解2 “截面法”1.画出门。2.0,1过点z作垂直于z轴的平面截门得Dz: x2 y2乞z2Z0兰日兰2兀Dz :丿0兰r兰z0兰日兰2兀用柱坐标计算0:« 0兰r兰z、0兰z兰13计算 1 12 兀 zx2 y2dv 二 !、；x2 y2dxdydz 二dv r2d门dz 二；'.】0 Dz0001 113 z23兀2二一 r 0dzz dz =0 0补例3:化三重积分I =f (x,y,z)dxdydz为三次积分，其中门：Qz=x2，2y2及z=2-x2所围成的闭区域。解：1画出门及在xoy面上的

8、投影域D.z =X2 2y2Z = 2 - x2 消去 z,得 x2 + y2 = 1即 D: x2 y22.“穿线”1乞x乞1-1.1_x _y_ 1 - x2 2 2x 2y _z_2-x1.J1_x22_x23.计算 I = f (x, y, z)dxdydz= jdx dy f (x, y, z)dz Q4 T口x2y2注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4:计算I iizdv ,其中|为z = 6 - x2 - y2及x2 y2所围成的闭区域。Q解1 “投影法”1.画出门及在xoy面投影域D,用柱坐标计算2.解“穿线”x = r cos由 y = rsinT 化

9、0的边界曲面方程为：z=6-r2, z=rz®得-2 D:r兰2即丿'0兰日兰2兀0 Er 兰26 -x23计算!Zdv =Q.D12 6-r2zdzrdrd 二-d 二 rdr zdz = 2 r z r dr r00r022=i r(6 -r )0解2 “截面法”222592r2dr 二二(36r -13r2 r5)dr :0 3z>1.画出0。如图：O由z = 6-r2及z = r围成。2. z 0,6=0,22,6门-门2由 z=r 与 z=2 围成； z 0,2, Dz : r _ z”0兰日兰2兀Q1 :* 0 兰 r 兰 z0兰z兰22 由 z=2 与 z

10、=6-r2 围成；2,6 , Dz : r 6 - z9兰日乞2兀02:0 W r 兰 J6 -z2兰z兰62 63. 计算I I zd = zdv zdv 二 z iirdrd vdz 亠 i z 11 rdrd vdzQ Q Q 0©2 ©92n3262626=zSD”dzzSd'z二 z二(z2)dz 亠 i z二('一 6-z)2dz 二z3dz 亠 i(6z-z2)dz 二020202注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。补例5：计算iii(x2y2)dv，其中门由不等式0乞a乞.x2 y2 z2乞A，z乞0所确定Jx = Qcos71 sin解：用球坐标计算。由* y = Psin日sin ©得0的边界曲面的球坐标方程:z= Pcos©P ' 1，连结OP=t，其与z轴正向的夹角为 ,OP=。P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的 夹角为二。.0： a兰P兰A，0兰©兰工 0兰日兰2兀2iiI 1.(x2y2QJa55)dv 二 犷 d ("sin2 ”2sin d'=2二 sin3 丄 门肯小0 0a5n-a5)2 - _-a5) sin3 d