数列回归课本

1、高三理科复习资料数列一、数列的概念：（1）按一定顺序排列的一列数称为数列（2）注意几个概念：数列的项；项的序号；有穷数列；无穷数列；首项；通项公式（3）数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式（4）给出前几项，写数列的通项公式要注意结果不唯一应掌握几种常见类型通项公式的写法典例：写一个数列通项公式，使它前四项为下列各数： 0，2，0，2；（5）注意与的关系：，典例：已知数列满足，问是否为等差数列？，故不是等差数列，只是从第二项开始能构成等差数列（6）学会用函数的观点分析、解决数列问题：典例：（1）已知，则在数列的最大项为_

2、；二、等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断：定义法或（2）等差数列的通项公式：或 从代数式子的结构特征来看：是等差数列的充要条件是当公差时，是关于的一次函数，且斜率为公差；（3）等差数列的前和：，从代数式子的结构特征来看：是等差数列的充要条件是当公差时，前和是关于的二次函数且常数项为0典例：已知数列 的前n项和，求数列的前项和（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且（5）基本题型：等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，只要已知其中任意3个，便可求出其余2个，即知三求二，必须熟练掌握（6）三数、四数成等差的设法：为减少运算量，要注意设元的技巧，典例：必要时，3个

3、数成等差，可设为（公差为）；4个数成等差，可设为（公差为2）三、等差数列的性质：（1）若公差，则为递增数列，若，则为递减数列，若，则为常数列（2）当时,则有，特别地，当时，则有注意反之均不成立特例：常数数列 （3）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列，（且） （4）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；典例：（1）在等差数列中，S1122，则_；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（2）若等差数列、的前和分别为、，且，则典例：设与是两个等差数列，它们的前项和分别

4、为和，若，那么_；（6）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和常见解法有两种法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性四、等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断：定义法，其中或（2）等比数列的通项：或典例： 设等比数列中，前项和126，求和公比 （3）等比数列的前和：当时，；当时，典例： 等比数列中，2，S99=77，求；特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求

5、和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个典例：已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_总结：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，只要已知其中的任意3个，便可求出其余2个，即知三求二；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，典例：必要时，3个数成等比，可设为（公比为）；但4个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可以这样设，且公比为五、等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有注

6、意：反之不成立，特例：常数数列典例：（1）等比数列中，公比为整数，则=_；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （2）若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列（3）若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列（4） 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征典例： 若是等比数列，且，则 (5) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（6）典例：果数列既成等差又成等比，那么是非零常数数列，故常数数列

7、仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件六、数列通项的求法：（1）公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式（2）已知求，用公差法：已知，求，用作商法：典例：数列中，对所有的都有，则_ ；（4）已知求用累加法典例：已知数列满足，则=_ ；（5）已知求，用累乘法典例：已知数列中，前项和，若，求（6）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）特别地：（）形典例：、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求典例：已知，求；已知，求；（）形如：的递推数列都可以用倒数法求通项典例：已知，求；已知数列满足=1，求；注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立

8、的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含（或）的关系式，然后再求解典例：数列满足，求；七、数列求和的常用方法：（1） 公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式；特别注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比是否可以为1，必要时需分类讨论；常用结论：，典例：（1）等比数列的前项和S2，则_ ；分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 典例：求和：（2） 倒序相加法：若和式中到首尾等距离的两项和有共性，则常可考虑倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法

9、） 典例：已知，则_；（4）错位相减法：典例：果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）（5）裂项相消法：典例：果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：； ；，； 典例：（1）求和： ；（2）在数列中，且S，则n ；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和典例：求数列1×4，2×5，3×6，前项和= ；求和： ；综合题例1：设等比数列的前项和为，已知N）.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.跟进练习：数列中，前项和，（1）证明：数列是等差数列；（2）求关于的表达式；（3）设 ，求数列的前项和例2：已知为递增的等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等