2009-2016年北京高考数学理科圆锥曲线试题汇编

1、13（2016北京理）双曲线（a0，b0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a=【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可【解答】解：双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，即a=b，正方形OABC的边长为2，OB=2，即c=2，则a2+b2=c2=8，即2a2=8，则a2=4，a=2，故答案为：2【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系

2、得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键19（2016北京理）已知椭圆C：（a0，b0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面积为1（）求椭圆C的方程；（）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求证：|AN|BM|为定值【分析】（）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|BM|为定值4方法二、

3、设P（2cos，sin），（02），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|BM|为定值4【解答】解：（）由题意可得e=，又OAB的面积为1，可得ab=1，且a2b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得椭圆C的方程为+y2=1；（）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，直线PA：y=（x2），令x=0，可得y=，则|BM|=|1+|；直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=，则|AN|=|2+|可得|AN|BM|=|2+|1+|=|=|=|=4，即有|AN|BM|为定

4、值4证法二：设P（2cos，sin），（02），直线PA：y=（x2），令x=0，可得y=，则|BM|=|；直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=，则|AN|=|即有|AN|BM|=|=2|=2|=4则|AN|BM|为定值4【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题10（2015北京理）已知双曲线的一条渐近线为，则_【解析】令，所以19（2015北京理）已知椭圆：（）的离心率为，点，和点都在椭圆上，直线交轴于点M （）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，

5、点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点Q，使得若存在，求点的坐标；若不不存在，说明理由解：（）由题意知，又，解得，所以的方程为的斜率，所以方程，令，解得，所以（），同（I）可得，因为所以，设则即，又在椭圆上，所以，即，所以，故存在使得11（2014北京理）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为_；渐近线方程为_。解答：，；19（2014北京理）已知椭圆，求椭圆的离心率；设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论。解答：由题意，椭圆：，所以，从而。因此，。故椭圆的离心率；直线与圆相切。证明如下：设点，其中。因，故，即，解得。当时，代入椭圆的方程

6、，得。故直线：，圆心到直线的距离。此时直线与圆相切；当时，直线：，即，圆心到的距离。又，故 ，此时与圆相切。综上得证。6（2013北京理）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 （ ）A B C D 答案：B7（2013北京理）直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于 （ ）A B2 C D解答：（7）C19（2013北京理）(本小题共14分)已知、是椭圆W：上的三个点，是坐标原点（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由解：（）椭圆的右顶点B的坐标为（2，0）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂

7、直平分所以可设A（1，m），代入椭圆方程得，即所以菱形OABC的面积是（）假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为由消去y并整理得设，则所以AC的中点为因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为因为，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC不可能是菱形12（2012北京理）在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中，点在轴上方若直线的倾斜角为，则的面积为【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因

8、此【答案】19（2012北京理）（本小题共14分）已知曲线：（1）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点求证：三点共线解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。（lby lfx）19（2011北京理）（本小题共14分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）将表示为的函数，并求的最大值；解：（I）由题意

9、得a=2，b=1，所以c=椭圆G的焦点坐标 离心率e=（II）由题意知：|m|1，当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，） 点B（1，） 此时|AB|=；当m=1时，同理可得|AB|=；当m±1时，设切线l的方程为：y=k（xm），由（1+4k2）x28k2mx+4k2m24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=又由l与圆圆x2+y2=1相切圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1m=，所以|AB|=，由于当m=±1时，|AB|=，当m±1时，|AB|=，此时m（，11，+） 又|AB|=2（当且仅当m=±时，|AB|=2），所以，|

10、AB|的最大值为2故|AB|的最大值为213（2010北京理）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为，19（2010北京理）（本小题共14分）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹方程；(2)设直线与分别与直线交于点、，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。设P点坐标为，则，由题意得，化简得：。即P点轨迹为：（2）因，可得，又，若，则有，即设P点坐标为，则有：解得：，又因，解得。故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或13（2009北京理）椭圆的焦点为，点在椭圆