2015高考数学（理）（第九章 9.5椭圆）一轮复习题

1、§9.5椭圆1椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1 (a>b>0)1(a>b>0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A

2、1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆(×)(4)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲线是椭圆()2已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆1的离心

3、率为，则m的值是()A.B.C.D.答案D解析由题意知a2m，b22，c2m2.e，m.3(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.4如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_答案(0,1)解析将椭圆方程化为1，焦点在y轴上，>2，即k<1，又k>0，0<k<1.5已知椭圆1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边

4、，则椭圆的离心率为_答案1解析设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|c，|AF2|c，有2a(1)c，e1.题型一椭圆的定义及标准方程例1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(，)，则椭圆的方程为_思维启迪(1)题主要考虑椭圆的定义；(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；(3)可以用待定系数

5、法求解答案(1)B(2)y21或1(3)1解析(1)点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|，又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆(2)若焦点在x轴上，设方程为1(a>b>0)，椭圆过P(3,0)，1，即a3，又2a3×2b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(a>b>0)椭圆过点P(3,0)1，即b3.又2a3×2b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m>0，n>0且mn)椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合

6、椭圆方程则、两式联立，解得所求椭圆方程为1.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m>0，n>0，mn)的形式(1)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_(2)已知P是椭圆1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若F1PF260°，则PF1F2的面积为_

7、答案(1)1(2)12解析(1)方法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.方法二因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(a>b>0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.(2)根据椭圆的定义，得|PF1|PF2|20，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos 60°256.2得|P

8、F1|·|PF2|48.|PF1|·|PF2|sin 60°12.题型二椭圆的几何性质例2(1)在RtABC中，ABAC1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率(2)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值思维启迪本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题(1)的关键是根据题意求出a，c的值；解题(2)的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围解(1)设椭圆的焦半径为c，设另一个焦点为F，如图所示，ABAC1，ABC为

9、直角三角形，114a，则a.设FAx，x，1()24c2，c，e.(2)设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.当x02时，·取得最小值0，当x02时，·取得最大值4.思维升华(1)求椭圆的离心率的方法直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)

10、椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0<e<1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系(1)已知点F1，F2是椭圆x22y22的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2(2)(2013·辽宁)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.答案(1)C(2)解析(1)设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2.故

11、选C.(2)如图，在ABF中，|AB|10，|AF|6，且cosABF，设|BF|m，由余弦定理，得62102m220m·，m216m640，m8.因此|BF|8，AFBF，c|OF|AB|5.设椭圆右焦点为F，连接BF，AF，由对称性，|BF|AF|6，2a|BF|BF|14.a7，因此离心率e.题型三直线与椭圆的位置关系例3已知椭圆1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式思维启迪直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“

12、设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN·×，故直线MN的方程为y2(x3)，即6x5y280

13、.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式已知椭圆G：1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解(1)由已知得c2，解得a2.

14、又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由消去y得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k1，解得m2.此时方程为4x212x0，解得x13，x20，所以y11，y22.所以|AB|3，又点P(3,2)到直线AB：xy20的距离d.所以PAB的面积S|AB|·d.高考中圆锥曲线的离心率问题典例：(10分)(1)如图，椭圆C：1(a>b>0)的左焦点为F1，上顶点为B2，右顶点为A2

15、，过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于点P，若|PA2|3b，则椭圆C的离心率为_(2)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_思维启迪椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可若得到的关系式含b，可利用a2b2c2转化为只含a，c的关系式解析(1)由题设知，e.(2)依题意及正弦定理，得(注意到P不与F1F2共线)，即，1，1>，即e1>，(e1)2>2.又0<e<1，因此1<e<1.答案(1)(2)(1,1)温馨提醒离心率是

16、椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧1求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b或m，n.2讨

17、论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2a2c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解失误与防范1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小2注意椭圆的范围，在设椭圆1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A9 B1

18、C1或9 D以上都不对答案C解析，解得a5，b3，c4.椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为ac9或ac1.2设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4 B3 C2 D5答案A解析由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2×564.3已知椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D以上均不对答案C解析由，得2<m<10，由题意知(10m)(m2)4或(m2)(10m)4，解得m4或m8.4(2012·江西)椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，

19、左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.2答案B解析由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|·|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.5已知圆M：x2y22mx30(m<0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A.B1 C2 D4答案C解析圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m<0)，m1，则圆心M的坐标为(1,0)由题

20、意知直线l的方程为xc，又直线l与圆M相切，c1，a231，a2.二、填空题6(2013·福建)椭圆：1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc)，知MF1F260°，又MF1F22MF2F1，所以MF2F130°，MF1MF2，所以|MF1|c，|MF2|c，所以|MF1|MF2|cc2a.即e1.7已知椭圆1 (a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值

21、等于_答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.8椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_答案(，)解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，·<0，即x23y2<0，y21，代入得x231<0，x2<2，x2<.解得<x<，x(，)三、解答题9已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若直线yxm与椭圆C交

22、于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2y21上，求m的值解(1)由题意，得解得椭圆C的方程为1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m2>0，2<m<2，x0，y0x0m，点M(x0，y0)在圆x2y21上，()2()21，m±.10设椭圆1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|M

23、N|AB|，求椭圆的方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2()210，解得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，c)，所以|AB| c.于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.B组专项能力提升(时间：30分钟)

24、1(2013·四川)从椭圆1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案C解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入椭圆方程得1，而2，e.选C.2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B(0， C(0，) D，1)答案C解析满足·0的点M在圆x2y2c2上，圆x2y2c2在椭圆内部，即c<b，c2<b2a2c2,2c2<a2，e2<，即e(0，)3如图，已知过椭圆1(a>b>0)的左顶点A(a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且2，则椭圆的离心率为_答案解析由于AOP为等腰三角形，且AOP90°，故有AOOPa，则点P的坐标为(0，a)，设点Q的坐标为(x，y)，(x，y)(0，a)(x，ya)，(a,0)(x，y)(ax，y)，2，则有，解得，即点Q的坐标为，将点Q的坐标代入椭圆的方程得2·2·