参数法求轨迹方程

1、参数法求轨迹方程一、教学目标（一）知识教学点深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程 的互化方法（二）能力训练点掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消 参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性（三）学科渗透点通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法二、教材分析1重点：运用参数求轨迹方程的方法2难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性 讨论3疑点：设参的基本原则三、活动设计1活动：问答、思考2教具：投影仪四、教学过程（一）回忆、点题和明确任务求动点的轨迹方程，如果动点坐标 x、y 之

2、间的关系比较明显，那么可以用直接 法，也就是建系、列式、化简如果动点坐标 x、 y 之间的关系比较隐蔽，但动 点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型 （ 曲 线类型） 、定位（曲线位置） 、定量（曲线几何量 ） ，然后直接运用二次曲线的方程 写出动点的轨迹方程如果动点坐标 x、 y 之间的关系很隐蔽并且很难判断动点 符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y 之间的那种隐蔽关系间接地连起来， 然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程同学们常用的交轨法、 换标法，实际上也是消去一些元， 留下动点坐标x、y的方法， 都可以叫参数法.在实践中大家

3、已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根 据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最 后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参其中，最关键的一步是设参， 参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就 算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况； 最易错 的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论.如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、 议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结.（二）讲例1,设参基本原则请看屏幕（投影，读题）.例1 矩形ABC冲，AB=2a BC=b a>b，E、F分别是AB CD的中点，平 行于EC

4、的直线I分别交线段EF、FC于M N两点，求直线AM与 BN交点P的轨 迹（图3-9）.首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置?学生1 答:选择边界、中心等特殊位置.那么，这一题如何建立坐标系？运动系统中，I主动, 有几种设参方法？解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系.各点坐标如图（投影换片，加 上坐标系与相关点坐标）.y1BLFQ, b)N%)A(-4* CO 0Ea C* J 0 ) s區1 3-9M N从动，P随之 运动，请思考，在这一运动系统中学生2 答:（1）1的纵截距c，|OM|=t，|FM|=t .为什么可以这样设参?一参对一点P, P对一参，参变化P运

5、动，参固定P静止，一句话：一切可 以控制运动系统的量都可以设参.这就是设参的基本原则.设|FM|=t , t 0 , b , P(x, y).下面解答，请考虑，需要建立监y与泛间的是参数方程吗？学生3 答:不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本 要求.t IFNIatMN/OG 二 r = J,|FN|=-.babM(0, b-t),N(=, b)by _ b -tx + a akBP = kBNy _ b3!x -a a(t -b)即PR丄卫上面的消参方法，可以视 x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参.参数 t 0，b范围明显，但由于没有显参数方程，所以

6、不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完 备性.I 过 F 时，P合于 F, I 0C时，P B故 x>0，y >0.轨迹为椭圆琴时在第一象限I;含左端点）的一段弧II换投 a b影片，显示轨迹）.（三）讲例2,选参的一般依据上面例1,设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕（投影，读题）.例2 点A（1 , 1）、B C是抛物线y2=x上的动点，满足AB丄AC，作矩形ABPC 求P点的轨迹方程（图3-10）.运动系统中，表面上看有 B C两个动点，实际上由于 AB丄AC所以若B主动， 则C从动，P

7、随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统. 请 思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起 来？yLa图 3-10学生4答:（1）设AB斜率为k, k期f* P.设点B坐标（t 2，t） TkAB kA尸CP.上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下,实现这一关连，计算很是复杂.那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参 方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近？学生5 答:解：设 B（t 12，11），C（t 22，t2） P（x，y）.参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t

8、2之间本身有一个关系，F(t 1, t 2)=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显解成t仁f(t 2)，只需要将F(t 1，t2)=0用一下就可以达到消参目的.而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把 t1、t2的关系F(ti，t2)=0显解成t1=f(t 2)，然后消参时又恢复成F(t1, t2)=0的重复计算过程.这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来.是否真的如此，算算看：x+1 tf +tjy+1_ t +t22x + 1 = t/ +122G * kAC =-1=> + 1 = tl + t2tLt2 +1 +ta +2 = 0(t 1+t 2)2=

9、t12+t 22+2t1t2,(y+1) 2=x+1+2-(y+1)-2即: (y+2) 2=x-2 .想一想看，如果显解出t仁f(t 2)再两式消t 2,将会出现两个关于t2的二次方 程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的 参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数.这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个 式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参.最后来讨论纯粹性和完备性.同例 1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是 两个参数的函数，且两个参数有关连，并非

10、独立，所以 x、y范围难求.而用几 何直观也比较困难，把两者结合起来：时，片-叫代入得1厂3A亠、:、即y区与（y + 2）补2的交点除掉（换投影片，显示轨迹）.由此可知，讨论轨迹的纯粹性和完备性，可以把几何直观与参数函数相结合.（四）小结（已在教学过程中逐条总结并板书）参数法求轨迹方程的步骤：设参：一切可以控制运动系统的量都可以设参（基本原则），从中选择与动点关连密切的为参数（一般依据）.设参数不要求唯一，多个参数之间不一定独立.用参：列式要弃繁就简， n个参数需列n+1个式.消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参.假含参式（即 虽有x、y，但并非动点坐标）不能参与消参.议

11、参：几何直观与参数函数相结合.五、布置作业1. E、F是边长为2的正方形ABCD勺边AD BC中点，长为耀的线段直细C上运动陋在N下方），求直线EM与F1咬点P的轨迹（图3-11）.的 3-11解：以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则 E（-1，0），F（li 0）v iftMftp tj, N（tr t2）,则凋t厂t】|二返 ta>tP A ta -tj二 1.EMFNy _ hx + 1 打 +1y ta 1 + 訂得宀xa -1=kx -1 T tj即x 2-y 2=1.据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双v >0 盘W 0曲线左上和右下两个部分，即?-y2=l贰0或总02. 点A(1 , 1), B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB丄AC,求BC中点P的轨 迹方程(图3-12).解：设 B(2cos a , 2sin a )、C(cos B , 2sin B )、P(x, y).贝+ cos P ly = sm。+ sin f2x 2+y2=2+2(cos a cos B +sin a sin