椭圆典型题型归纳(学生版)

1、椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆 C:(x 4)2 y2 100相内切，且过点A(4,0),求这个动圆圆心 M 的轨迹方程；例2.方程3)(x 1)2 (y 1)2x J2y 2所表示的曲线是 练习：1 .方程J(x3)2y2J(x3)2y26对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆2 .方程J(x3)2y2J(x3)2y210对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆3 .方程Jx2 (y 3)27x2 (y 3)2 10成立的充要条件是()2 y25222222“xy,xy,xy,A.1B.1C.1D.25162591625精选4.如果方程收(ym)2

2、&(ym2 m 1表示椭圆，则 m的取值范围是 5 .过椭圆9x2 4y2 1的一个焦点F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，则A, B两点与椭圆的 另一个焦点F2构成的 ABF2的周长等于 ；6 .设圆(x 1)2 y2 25的圆心为C, A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点 M ,则点M的轨迹方程为 ；题型二.椭圆的方程(一)由方程研究曲线22x y的距离之和等于例1.方程1的曲线是到定点 16 25点的轨迹；(二)分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(三)用待定

3、系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(J6,1)、P2( J3, J2),求椭圆的方程；例4.求经过点(2, 3)且与椭圆9x2 4y2 36有共同焦点的椭圆方程；2222注：一般地，与椭圆 与 y- 1共焦点的椭圆可设其方程为 4一 1(kb2)；a2 b2a2 k b2 k(四)定义法求轨迹方程；例5.在 ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c,且B( 1,0),C(1,0),求满足b a c 且sinB, sinA , sinC成等差数列时顶点 A的轨迹；练习：1 .三角形 ABC中，B (-2,0), C (2, 0), AB、AC边上的中线长

4、之和为 30,求三角形 ABC 的重心的轨迹方程。2 .已知动圆 C和定圆O: (x-3) 2+y2 = 64相内切，且 A (3, 0)在动圆 C上，求动圆圆心 的轨迹方程。(五)相关点代入法求轨迹方程；2X 2例6.已知X轴上一定点 A(2, -3), Q为椭圆一 y 1上任一点，求 AQ的中点M的轨 4迹方程；(六)直接法求轨迹方程；例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 4交于A, B两点，点P是直线l上满足PAgPB 1的点，求点P的轨迹方程；(七)列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为 F (0, J50)的椭圆被直线y 3x 2截得的弦的中点的横坐标，1,，一，、为

5、-,求此椭圆的方程；222例1.已知椭圆L16 25题型三.焦点三角形问题51上一点P的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F13求 PFi、PF2 及 cos F1PF2；题型四.椭圆的几何性质2例1.已知P是椭圆与 a2yy 1上的点，的纵坐标为 b5, F1、F2分别为椭圆的两个焦点, 3椭圆的半焦距为c ,则PF1gPF2的最大值与最小值之差为 22x y例2.椭圆一 上2 1 (a b 0)的四个顶点为 A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆恰 a b好过焦点，则椭圆的离心率为 ；y"一1一匚1的离心率为1,则k422例3.若椭圆k 122例4.若P为椭圆* * 1(

6、a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且PF1F2 15°, a bPF2F175°,则椭圆的离心率为(m 1)2题型五.求范围1表示准线平行于x轴的椭圆，求实数 m的取值范围;题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程2& 1)2 (y 1)2x y 2所表示的曲线是 1 例2.求经过点M (1,2),以y轴为准线，离心率为 -的椭圆的左顶点的轨迹方程；22 25例3.椭圆上 y- 1上有一点P,它到左准线的距离等于一，那么P到右焦点的距离为 25922例4.已知椭圆y- 1,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M ,使它到3左准线的距离为它到两焦点 Fi,

7、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。22例5.已知椭圆 匕 1内有一点A(1,1), Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是95 3椭圆上一点.求|PA 5IPF2I的最小值及对应的点 P的坐标.题型七.求离心率22x y例1.椭圆一 1 (a b 0)的左焦点为F1( c,0) , A( a,0) , B(0,b)是两个顶点,a b如果F1到直线AB的距离为2例2.若P为椭圆二 a24 1(a b b20)上一点，F1、F2为其两个焦点，且PF1F2，PF2F1 2 ,则椭圆的离心率为 例3. FF2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1

8、 PQ ,且PF1 PQ ,则椭圆的离心率为 题型八.椭圆参数方程的应用21上的点P到直线x 2y 7 0的距离最大时，点 P的坐标 3例 2.方程 x2 siny2 cos 1 ( 0)表示焦点在y轴上的椭圆，求 的取值范围;题型九.直线与椭圆的关系(1)直线与椭圆的位置关系例1.当m为何值时，直线l:y x m与椭圆9x2 16y2 144相切、相交、相离？例2.曲线2x2 y2 2 a2 (a 0)与连结A( 1,1), B(2,3)的线段没有公共点，求 a的取 值范围。12相交于A, B两点，O为坐标原点，求例3.过点P( 瓜 0)作直线l与椭圆3x2 4y2OAB面积的最大值及此时直

9、线倾斜角的正切值。22例4.求直线xcos ysin 2和椭圆x 3y 6有公共点时， 的取值范围(0)。(二)弦长问题例1.已知椭圆x2 2y2 12, A是x轴正方向上的一定点，若过点A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为4 13”13 ,求点A的坐标。A(2,0);例2.椭圆ax2 by2 1与直线x y 1相交于A,B两点，C是AB的中点,2若|AB| 2J2, O为坐标原点，OC的斜率为 '，求a,b的值。222例3.椭圆 y- 1的焦点分别是F1和F2,过中心。作直线与椭圆交于 A,B两点，若 45 20ABF2的面积是20,求直线方程。(三)弦所在直线方程22x y例1.已

10、知椭圆 一 1 1 ,过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ;164例2.已知一直线与椭圆4x2 9y2 36相交于A, B两点，弦AB的中点坐标为 M(1,1),求 直线AB的方程；例3.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上，其离心率e J|，过点C( 1,0)的直线l与椭圆E相交于A, B两点，且C分有向线段 AB的比为2.(1)用直线l的斜率k(k 0)表示 OAB的面积；(2)当 OAB的面积最大时，求椭圆 E的方程.解：(1)设椭圆E的方程为勺 与 1,由e c JI ,a2=3b2a2 b2a . 3故椭圆方程x2 3y2 3b2;设A(x1,y1), B(x2,

11、y2),由于点C( 1,0)分有向线段 AB的比为2.为 2x211X12d 1),即y1 2 y2 0y12 y232,x由y3y2k(x3b2 一一 一 一 一消去 y 整理并化间得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=01)由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1), B(x2, y2)两点4_2_2_2A 36k4 4(3k2 1)(3k2 2b2) 06k2Xix23k2 13k2 3b2x1x23k2而 Soab121y11y2 | 二1 2 y2y2 |2321y21由得23k2-，代入得:1S OAB3-|k(x223|k|3k2 131)1 2|k|x2 1|(k 0).(

12、2)因 S OAB3| k|3k2 13r3| k|k|_3_332.32 ,当且仅当k，3“ 一丁，SOAB取得最大值.Xi 2x2此时 x x21 ,又 1 ,二. x11,x22；-11_c o o将,*2及k一代入得3b2=5,，椭圆方程x 3y 5 .3x2 y2例4.已知“、，丫,田口丫上芈）是椭圆 1上的三点，F为椭圆的左焦点,43且AF , BF , CF成等差数列，则 AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题22x y例1.已知椭圆 一 L 1 ,试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线 43y 4x m对称;2 2例2.已知中心在原点，

13、焦点在 y轴上，长轴长等于 6,离心率e，试问是否存在直3 1线l ,使l与椭圆交于不同两点 A, B ,且线段AB恰被直线x 1平分？若存在，求出直2线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。2 y16题型十.最值问题1的右焦点，点m在椭圆上移动，求|mp| |mf2|_2例1.若P( 2,73), F2为椭圆 25的最大值和最小值。分析：欲求 MP MF2的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义MF2 2a MFi , Fl为椭圆的左焦点。解：|MP| |MF2|MP 2a MFi ,连接PFi ,延长PFi交椭圆于点 Mi,延长FiP交椭圆于点M2由三角形三边关系知PF

14、1MP MF1PF1当且仅当M与Mi重合时取右等号、 M与M 2重合时取左等号。因为 2a i0, PFi| 2,所以(MP |MF2)max i2, (MP MF?% 8；结论i:设椭圆2 x-2 a2y2 i的左右焦点分别为 Fi,F2,P(Xo,yo)为椭圆内一点，M(x,y)为 b椭圆上任意一点，则 MPMF2的最大值为2a PFi ,最小彳1为2a PFi ；22例2. P( 2,6) ,F2为椭圆 y- i的右焦点，点M在椭圆上移动，求 MP MF2的25 i6分析：点P在椭圆外,最大值和最小值。PF2交椭圆于M ,此点使 MP MF2值最小，求最大值方法同例io解：|MP| |M

15、F2 |MP 2a I MFi ,连接PFi并延长交椭圆于点 Mi,则M在Mi处时MP MFi取最大值PFi ;MPMF2最大值是i0+ V37 ,最小值是V'4io22结论2设椭圆、 i的左右焦点分别为 Fi, F2, P(Xo,yo)为椭圆外一点，M (x, y)为 a b椭圆上任意一点，则 MPMF2的最大值为2a PFi ,最小值为PF2;2.二次函数法22例3.求定点A(a,0)到椭圆与匕 i上的点之间的最短距离。a b分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|PA,转化为x, y的函数求最小值。解：设P(x, y)为椭圆上任意一点，PA2 (x a)2 y2 (x a)

16、2 i i x2 i (x 2a)2 i a2由椭圆方程知x的取值范围是J2,向(1)(2)(3)结论3:椭圆、,2,贝U2会则2x-2a2 y b2两点间距离公式表示X 2a 时，1PAm所 5 a72 时 PAPAmin1上的点MA I 或 IminM (x, y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用MB I ,通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例4.求椭圆y21上的点M (x, y)到直线l : x2y4的距离的最值;解：三角换元x 2y 4.5y2 12 cossin2cos2sin 45、2 sin(当 sin(1

17、 时 dmin4、5 2、.记一 ,3sin(一)1 时，d max44、, 5 2 . 10结论4:若椭圆2二1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的参数b2方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m: x 2y c 0将x 2y c代入椭圆方程整理得 8y2 4cy c2 4 0 ,由 =0解得c 2J2, c 2亚时直线m:x 2y2720与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离,45 210所以 dmin Z；c 2五时直

18、线m:x 2y 272 0与椭圆切于点Q,则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以dmax4,5 2,105结论5:椭圆上的点到定直线l距离的最值问题，可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问 题，利用判别式求出直线 m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。22例5.已知定点A（ 2, J3）,点F为椭圆上 1的右焦点，点M在该椭圆上移动时,16 12求AM 2 MF的最小值，并求此时点 M的坐标；（第二定义的应用）22x y例3.已知F1、F2分别为椭圆 工 1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2, 6）, 100 64P为椭圆上的一个动点，试分别求：5 （1） PM - PF2的最小值；（2） PMPF2的取值范围.31综上可知，|PM| |PF2的取值范围为10,30;三角形法：22椭圆x2 4 1 （b2=5, a2>5）的左焦点为F,直线x=m于椭圆相交于点 A,B,三角形FAB a b的周长的最大值