数列全国卷高考真题教师

1、2 0 152017 年全国卷数列真题1、(2015全国1卷17题)Sn为数列J an的前n项和.已知an>0, a2 an = 4Sn 3.(I)求an的通项公式；-11 一一(n)设bn ,求数列 bn的刖n项和.an4 111【答案】(I) 2n 1 (n) 1 1 6 4n 6【解析】试题分析：(I)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列 an的递推公式，可以判断数 列 an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 an的通项公式；(n)根据(I)数列 bn的通项公式，再用拆项消去法求其前 n项和.试题解析：(I)当 n 1 时，a12 2al 4s 3 4a1+3,因为

2、an 0,所以 a1=3, 当 n 2 时，a2 an a21 an 1= 4Sn34Sn 1 3= 4an ,即(an an 1)(an an 1)2(an an 1),因为 an0,所以an an 1=2,所以数列an是首项为3,公差为2的等差数列，所以 an = 2n 1 ；(n)由()知，bn =1 1- )，(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 31111111所以数列bn前 n 项和为b1b2Lbn =( -)()L ( )2 3 55 7 2n 1 2n 311=.6 4n 62、(2015全国2卷4题)已知等比数列an满足a1=3,a1a3a5=21 ,则a3a5a7(

3、 )A. 21 B . 42 C . 63 D . 84【解析】设等比数列公比为q,则a1 aq2 a1q4 21,又因为a1 3,所以q4 q2 6 0 , 解得 q2 2,所以 a3 a5 a7 (a a3 as)q2 42,故选 b.考点：等比数列通项公式和性质.3、(2015全国2卷16题)设Sn是数列an的前n项和，且a11 , an 1SnSni,则Sn .11【解析】由已知得 an 1 Sn 1 Sn & 1 & ,两边同时除以 & 1 & ,得 1,Sn 1 Sn1 -，、，一 ,1故数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，则1 (n 1) n

4、,所以SnSnSnLn考点：等差数列和递推关系.4、(2016全国1卷3题)已知等差数列 an前9项的和为27,20 8,则引。()(A) 100(B) 99(C) 98(D) 979al 36d 27试题分析：由已知，所以a 1,d 1向00 a1 99d1 99 98,a19d 8故选C.考点：等差数列及其运算5、(2016全国2卷15题)设等比数列 an满足a+a3=10,a2+a4=5，则aa?an的最大值 为.【答案】64试题分析：设等比数列的公比为,a1 q ,由a2a3 10 得，翅1 q22 10,解得a4 5aq(1 q ) 5 q81 .所以23或4时，a1a2L an取得

5、最1 , S728 .记 bnlg an ,1 n(n 1)1n2 7naL ananq1 2 (n 1) 8n (2) 22 2 2，于是当 n大值26 64 .考点：等比数列及其应用6、(2016全国2卷17题)Sn为等差数列 an的前n项和，且a其中X表示不超过x的最大整数，如0.90, lg99 1.（n）求数歹U bn的前1000项和.【解析】设an的公差为d , S7 7a4 28, a4 4, d a4-a1 1 , an ai (n 1)d n . 31 biIg ai Igl 0, biiIgaiiIg11 i ,bi0iIgai0ilgi°i 2.记bn的前n项和

6、为Tn ,则 Ti000bib2biGGCIg a Ig a2Ig ai000 .当 0W Igani时，ni, 2, 9 ;当i w Igan2时，ni0, ii,99；当 2< Igan 3时，n i00, i0i, 999 ;当 Igan 3时，n i000.an ,其中，I。0 9 i 90 2 900 3 i i893.7、（20i6全国3卷i7题）已知数列an的前n项和Sn i（I）证明an是等比数列，并求其通项公式；S5 H（II）若 32 ,求.【解析】Sin -1试题分析；m 苜先利用公式q =:i得到数列包,的通推公式J然后通过变换结合等IA一4.L羽之2比数列的定义

7、可证i （II）利用（I）前用项和切化为九的表达式1结合岂的值J建立方程可求得上的值.试题解析： 由题苣得5二工二1十加1,敬五二1,马二%二。-1 - X由 s押二 1+? $片+1 二 1 +兔九+i 1 守 4+1 ，心一 耳 3 艮口 口照+1 （上一D 二0 an i 由ai °,。得小0 ,所以m i .因此an是首项为1的等比数列，于an日(D)解得考点:Sn1TS5,由31， ，、51 ()32得 131321)5 321、数列通项an与前n项和为Sn关系;2、等比数列的定义与通项及前n项和为Sn【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法:an 1（1）定义法，即证明

8、an（常数）；（2）2中项法，即证明an1 anan2 .根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解.8、（2017 年国的公差为（）1卷4题）记Sn为等差数列anA. 1B. 2的前n项和，若a4 a5 24 , 048,则anC. 4D. 8a4a5a1 3da1 4d 24S66al6 5人d248联立求得2al6 al7d15d24 483得2115 d 24 6d24 ：d9、（2017年国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了为下面数学问题的答案：已知数列中第一项是2°，接下来的

9、两项是“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2,20, 21，在接下来的三项式足如下条件的最小整数N :100且该数列的前N项和为4,8,1, 2, 4, 8, 16 ,，其26, 21，22，依次类推，求满2的整数哥.那么该款软件的激活码是（A. 440【答案】【解析】）B. 330A设首项为第1组,C. 220D.110设第n组的项数为接下来两项为第 2组,再接下来三项为第 3组，以此类推.,则n组的项数和为由题，N 100,令100 一n>14且n N*,即N出现在第13组之后1 2n第n组的和为:21 22nnn 22 n【解

10、析】若要使前N项和为2的整数哥，则 N数k*【解析】即21 2 n k N , n >14n 1 n项的和2k 1应与22 n互为相反【解析】k log2 n 3【解析】- n 29, k 5【解析】则N 29 1 29 2【解析】故选A5 44010、（2017全国2卷3题）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B, 3盏 C , 5盏D.9盏【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式an及其前n项和Sn ,以考

11、查考生的运算能力为主目的.【解析】一座7层塔共挂了 381盏灯，即S7381 ;相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即q 2,塔的顶层为a ；由等比前n项和Sna1 1 qq 1可知：S71 qna1 1 2解得a 3.11、（2017全国2卷15题）等差数列an的前n项和为Sn, a33 ,S410,则【命题意图】本题主要考查等差数列通向公式及其前n项和以及叠加法求和,a2a3&a4a2a35a,lnn a1an2Sn1Snn i 1S2nn 12n n【知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉n N这个条件，此处属于易错点.12、（2017全国3卷9题）等差

12、数列an的首项为1,公差不为。.若a2,as,a6成等比数歹U,则 an前6项的和为（）A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】 an为等差数列，且a2,as,法成等比数列，设公差为. i,2rc ,2,_ ,贝U a3 a2 a6,即 ai 2da d a15d又1 ,代入上式可得d2 2d 0又d 0 ,贝U d 26 56 5一， S6 6a1 d 1 6 224 ,故选 A.2213、（2017全国3卷14题）设等比数列 an满足a a21 , a a33 ,则a4 【答案】8【解析】Q an为等比数列，设公比为.a1 a21a1Q，即 a1 a33a1显然 q 1, a10,得1 q 3 ,即q 33& &q 12qq2aq2 ,代入式可得a18 .数列属于高考必考考点，一般占