初三圆的定理综合运用

1、切线长定理一复习：1切线的判定：1） 定义：直线与圆有唯一的公共点2）3） 2切线的性质： 后三者中二条成立，另一条也成立二从原有的认知结构提出问题：1右图中，直线过圆O上一点A且，直线是O的切线，这条切线能度量吗？不能2如果在这条直线上截取一条线段，使它的一个端点是切点，那么这条线段就可以度量了，如何度量这条线段？它又有什么性质？这就是我们这节课要学习的主要内容。三提出问题，证明猜想，形成定理：过圆上一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线（让学生来试）1切线长的概念。教师边画边讲解，指出：P是O外一点，PA、PB是O的两条切线，我们把PA、PB的长叫做点P到O的切线长。切线长定义：在经过圆外一点

2、的切线上，这一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长要区别切线与切线长是两个不同的概念，切线是线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。右图中：AB不是切线长2提出猜想：引导学生继续观察，直观判断，猜想图中PA是否等于PB容易得到PA=PB3证明猜想，形成定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。已知：PA、PB是O的切线，切点分别为A、B，连结PO求证：PA=PB，证明：连结AO、BO 基本图形：结论：1）PA=PB 2） 3）P、A、B、O四点共圆 4）OP是AB的中垂线（要证一下） 5）三对

3、全等三角形 6） 四基本作图：怎样过已知点作已知圆的切线？ 点与圆的位置关系1）点在圆内，如图，P在O内，易得，不能过P作O的切线2） 点在圆上时已知：O及O上一点P，求作：经过点P作O的切线 作法：1）连结OP 2）经过点P作，则即为所作的直线3）点在圆外时已知：O及O外一点P求作：经过点P的O的切线关键：在圆上找一点，使它与已知点及圆心的连线成Rt作法：五应用1已知：如图，P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，BC是直径求证：AC/OP证法一。 证法二。2.如图，PA、PB切O于点A、B、C是优弧上的点，求ÐP等于？3如图，设O切的BC边于P，又切AB、AC的延长线于

4、E、F求证：AE=AF=4如图，已知AB为O的直径，AC、BD、CD为切线，A、B、E为切点求证：1） 2） 5C为线段AB的中点，以BC为边作正方形BCDE，以点B为圆心，BD为半径的圆B交AB于点H，交AB延长线于点K，求证：1）AD是O的切线 2） 3）切割线定理已知： 割线PAB交圆O于AB，割线PCD交圆O于CD求证：PA. PB=PC. PD分析：两种证明方法，一、过点P作圆的切线， 二、三角形PAC与三角形PBD相似割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等。几何语言：三、巩固练习1、如图，已知：O的割线PAB交O于点A和B，PA=6cm

5、，AB=8cm，PO=10.9cm求O的半径 略解：设O的半径为r，PO和它的长延长线交O于C、D (10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正数解)练习1 、 填空：（1）已知PAB、PCD是圆O的割线，PA=3 ， AB=5 CD=2，则PC ；（2）已知：PAB是圆O的割线，PA=6 ，AB=4 ，PO=10 ，则PC ；POT（3）已知PT是圆O的切线，PA=4， PT=6 ，则圆O的面积 。OPABPABCD例2、已知：如图，AB为O直径，PA切O于A，PCB为O的割线，OMBC，AM交BC于N。求证：PN2 = PC·PB 练习2、已知：弦AB 、

6、CD相交于E，过点E作BC的平行线PE交AD延长线于点P，PG与圆O相交于点G。求证：PG=PE练习3、已知 ：圆O1、圆O2 相交于A、B，P是BA延长线上的一点，PCD是圆O1的割线，PEF是圆O2的割线，求证：PC PD=PE PF练习4、已知：如图，AD切O于点D，ACB为O ，的割线，APAD，BP,CP分别交OM,N，求证：（1）PCAABP （2）MNAP.1 2弦切角定理一创设情景，以旧探新 圆周角，让射线绕点A转动，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，得 提问：这时还是圆周角吗？为什么？1弦切角定义：顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角2特征

7、：1）顶点在圆上 2）一边和圆相交 3）一边和圆相切 3下列图中的角是不是弦切角，并说理（1） （2） （3） （4）4发现：固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个 弦切角可分为三类：1）圆心在角的外部 2）圆心在角的一边上 3）圆心在角的内部 5 例：如图，下列哪个弦切角，弦切角所夹的弧，什么是弦切角所夹弧所对的圆周角。二弦切角定理：当弦切角一边通过圆心时，弦切角是多少度？所夹弧所对的圆周角是多少度？弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系？（相等）由特殊到一般弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半已知：AP是O的弦，PB是O的切线，P为切点，是弦切角所夹的弧。求

8、证：式子表示：证明：分三种情况那么：弦切角与它所夹弧所对的圆周角关系如何？ 推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角式子表示：应用：1在R中，以AB为弦O与AC相切于点A，求的长。2已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，垂足为D，求证：AC平分 证法一 证法二 证法三3已知BC是O的直径，过圆上一点A引圆的切线与BC的延长线交于D，在DB上截取DE=DA，求证：AE是的平分线4AD是中，的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F，求证：EF/BC5在直径AB的延长线上任取一点P，由P向O引切线PE、的平分线交AE于C，交BE于D，求证：为等腰三角形6自圆外一

9、点P引切线PA、PB，再任引一割线PCD交圆于C、D，求证：7已知AB、AC分别切O于B、C，P是O上一点，于D，于E，于F，求证：弦切角定理一、创设情境，以旧探新1、复习：什么样的角是圆周角?2、弦切角的概念：演示：圆周角CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A  旋转至与圆相切时，得BAE (1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.猜想：P=BAC(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?2、分类：教师引

10、导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个.由此发现，弦切角可分为三类（按角的大小分类也可以）：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部3、类比圆周角定理的证明方法。证明特殊情况，再考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况P如图(1)，圆心O在CAB的一边上，结论显然成立.如图(2)，圆心O在CAB外，作O的直径AQ，连结PQ，则BACBAQ2APQ1APC如图(3)，圆心O在CAB内，作O的直径AQ连结PQ，则BACQAB十1QPA十2APC.对上述三种情况进行归纳，从而证明猜想正确.即：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角4深化结

11、论练习1 如图，直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧练习2 如图，DE切O于A，AB，AC是O 的弦，若，那么DAB和EAC是否相等?为什么?由此得出：（例1-1）推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等例1如图，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O 切于点C，ADCE，垂足为D.求证：AC平分BAD思路一：如图例1-1，要证BACCAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得RtACB，只需证ACDB（第1题）思路二：如图例1-2，连结OC，由切线性质，可得OCAD，于是有l3，又由于12，可证得结论.（例1-2）练习题（还可

12、以从后面的作业题中选出一些填空选择题作为课堂练习题）1、如图，AB为O的直径，直线EF切O于C，若BAC56°，则ECA_度2、AB切O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3:1，则夹劣弧的弦切角BAC_3、如图，经过O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C求证：ATCTBC例2、如图，ABC内接于O，AB=AC，直线XY切O于点C，弦BDXY，AC、BD相交于点E（1）求证：ABEACD；（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长（）说明：此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换；建立方程求线段的长度例3：已知BC是O的直径，过圆上一点A引圆的切线与BC的延长线交于D，

13、在DB上截取DE=DA，求证：AE是的平分证：例4：AD是中，的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F，求证：EF/BC证：连结DF，例5：如图7194，O是ABC的外接圆，PD是O的切线，与AC的延长线交于点P，D是切点，且BCDP求证：DE·DPBD·CP1填空题(1)ABC内接于O，B25°，C75°，过A作O的切线交BC延长线于P，则P_.(2)如图7186，在O中，AC是弦，AD是切线，CBAD，垂足为B，又CB与O交于E，若AE平分BAC，则ACB_.(3)如图7187，CD、BC切O于D、B，直径DA的延长线交CB

14、的延长线于E，若的度数为60°，则BDC_，C_，E_.(4)已知：O的弦AB，BC切O于B，且ABC30°，则O的直径为_.(5)已知：如图7189，CD是O的直径，A为DC延长线上一点，AE切O于点B，A20°，则DBE_. (6)如图7191，已知ABC内接于O，DEBC，且与O切于点F，则图中与BFD相等的角的个数是_1选择题(1)AB是O的弦，CD是经过O上点M的切线，若CDAB，则AM和BM的关系是AAMBM BAMBM CAMBM D无法确定(2)如图7177，PC与O相切于C点，割线PAB过圆心O，P40°，则ACP等于A20°

15、 B25° C30° D40°(3)如图7178，四边形ABCD内接于O，AB是直径，过C点作O的切线MN，若BCM38°，则B等于（ ）A32° B42° C52° D48°(4) 如图7180，AP平分BAC，过P点的切线交AC的延长线于D，若AB3，AD6，则AP等于（ ）A18 B9 C D2如图7194，O是ABC的外接圆，PD是O的切线，与AC的延长线交于点P，D是切点，且BCDP求证：DE·DPBD·CP3已知：如图7195，PA、PB分别切O于A、B，P60°，C为劣弧

16、上任一点，CDPA，CEPB，D、E在AB上.求证：DE是AD、BE的比例中项4如图7196，已知O中，OBOA，P为OA的延长线上任一点，BP与O相交于点Q，过点Q作O的切线QR，与PO相交于点R求证：PQ5如图7197，已知M是以AB为直径的圆上一动点，过M点的切线与分别过点A、B的AB的垂线AD、BC相交于D、C两点求证：OA2AD·BC6如图7199，延长O半径OA至B，使ABOA，D为O的切线，T为切点，BCD于C，D、O、A共线求证：ACBCAD相交弦定理一、 教学引入问题1：直线与圆的位置关系问题2：两条直线与圆的位置关系有几种情形？（排除相离的情况） （1）（2）（4）均为解决问题，我们接下来研究（3）（5）（6）探索发现相交弦定理: 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 几何语言：如果其中一条弦为直径，而且弦被直径垂直，由垂径定理，可以知道，弦被分的两条线段程度相等，则我们可以得到，相交弦定理的推论：推论:如果弦与直径垂直相交时,那么弦的一半是它分直径所成两线段的比例中项. 几何语言： 练习1、已知，如上图，AB是O的弦，P是AB上的一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm.求O的半径.练习3、如图：O1和O2相交于A、B两点，直线CF交弦AB于P，分别交O1于C、D，交O2于E、F，求证：PC·PD=PE·