推理与证明导学案学生版aa

1、鄂托克旗高级中学 高二数学选修1-2 推理与证明 §2.1.1 合情推理（1）（第1课时） 学习目标 ：1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习重点：归纳推理的含义；利用归纳进行简单的推理 学习难点：利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 知识链接：在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.预习交流：预习教材P28 P30，找出疑惑之处） 问题1:哥德

2、巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜想： .问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理.合作探究：例1 观察下列等式：1+3=4=，1+3+5=9=，1+3+5+7=16=，1+3+5+7+9=25=， 你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式.学习小结1归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤

3、：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.应用转化：1.观察下列等式：1=11+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， 你能猜想到一个怎样的结论？2.在数列中，（），试猜想这个数列的通项公式.课后作业：对于任意正整数n，猜想与的大小关系.§2.1.1 合情推理（2）（第2课时） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.学习重点：了解类比推理的含义，利用类比进行简单的推理学习难点：利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数

4、学发现中的作用 知识链接：1.已知 ，考察下列式子：；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列的通项公式是 .预习交流：（预习教材P30 P38，找出疑惑之处） 新知： 类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理.合作探究：例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 类比角度实数的加法实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.应用转化：1.下列说法中正确的是（ ）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊

5、的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若” 类推出“ （c0）”D.“” 类推出“ 1. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.4. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的x的值是 .学习小结：学生总结课后作业 ：变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆

6、心较近的弦较长以点为圆心，r为半径的圆的方程为 §2.1.2 演绎推理（第3课时）学习目标： 1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.学习重点：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；学习难点：掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 知识链接：复习1：归纳推理是由 到 的推理.，类比推理是由 到 的推理.复习2：合情推理的结论 .预习交流：（预习教材P39 P42，找出疑惑之处） 合作探究：探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都

7、能够导电，铜是金属，所以 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是，所以在一个标准大气压下把水加热到、时， ；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以 ；新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断大前提 小前提 结论新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提 ；小

8、前提 ；、结论 .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式. 例1 在锐角三角形ABC中，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.例2证明函数在上是增函数.小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.应用转化：1. 因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误3. 有一段演绎

9、推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4.归纳推理是由 到 的推理； 类比推理是由 到 的推理； 演绎推理是由 到 的推理. 学习小结1. 合情推理；结论不一定正确.2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.课后作业：下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提）菱形是正多边形. （结 论） §2.1 合情推理与演绎推理

10、(练习)（第4课时）学习目标： 1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.学习重点：1.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;2.合情推理和演绎推理的区别与联系.学习难点：能运用合情推理与演绎推理进行一些简单的推理;知识链接复习1：归纳推理是由 到 的推理.，类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由 到 的推理.，演绎推理的结论 . 课内探究：例1 观察（1）（2）由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：通过观察上述两等式的

11、规律，请你写出一般性的命题，例2 在中，若，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列的公差为d ，前n项和为，有如下性质：（1），（2）若，则， 类比上述性质，在等比数列中，写出类似的性质.应用转化：练1. 由数列，猜想该数列的第n项可能是（ ）.A. B. C. D.2.下面四个在平面内成立的结论平行于同一直线的两直线平行一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交垂直于同一直线的两直线平行一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交在空间中也成立的为（ ）.A. B. C. D.3.用演绎推理证明函数是增函数时的大前提是（ ）.A.增函数的定义 B.

12、函数满足增函数的定义C.若，则D.若, 则4.在数列中,已知,试归纳推理出 . 学习小结1. 合情推理；结论不一定正确.2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.课后作业： 数列满足,先计算数列的前4项,再归纳猜想. ）§2.2.1 综合法和分析法（1）（第5课时）学习目标： 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习重难点：1 . 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 综合法的思考过程.3. 根据问题的

13、特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 知识链接： ：复习1：两类基本的证明方法: 和 . 复习2：直接证明的两中方法: 和 .预习交流：（预习教材P45 P47，找出疑惑之处合作探究：探究任务一：综合法的应用问题：已知,求证:.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.要点：顺推证法；由因导果.例1已知，求证：小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成

14、等比数列. 求证：为ABC等边三角形.学习小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.课后作业 ：设在四面体中,D是AC的中点.求证:PD垂直于所在的平面.§2.2.1 综合法和分析法(二)（第6课时）学习目标： 1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习重难点：1. 分析法的思考过程.2. 结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 知识链接复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式: 预习交流（预习教材P

15、48 P50，找出疑惑之处）合作探究：探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因例1求证例2 在四面体中,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证.课堂作业：变式：求证:§2.2.1 综合法和分析法（3）（第8课时）学习目标： 1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的

16、数学品质.学习重难点：1. 综合法和分析法的思考过程和特点;2. 综合法和分析法证明实际问题知识链接：复习1：综合法是由 导 ;复习2：分析法是由 索 .预习交流：（预习教材P50 P51，找出疑惑之处） 合作探究： 探究任务一：综合法和分析法的综合运用问题：设实数成等比数列，非零实数分别为与，与的等差中项，求证.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用. 例1 已知都是锐角，且，求证： 小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体中，是的中点，求证：.已知都是实数，且，求证：. 学习小结1. 直接证明包

17、括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.当堂检测：练1.给出下列函数，其中是偶函数的有（ ）.A1个 B2个 C3 个 D4个2. m、n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ； ；其中为真命题的是（ ）A B. C D3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.Aa，b均为负数，则 BCD4. 设、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：若

18、m，m，则 若r，r，则若m，m，则 若m，n，则mn其中真命题是 .5. 已知, 则是的 条件. 课后作业：如果，则. §2.2.2 反证法（第9课时）学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.学习重难点：1. 间接证明的一种基本方法反证法；2. 反证法的思考过程、特点; 知识链接复习1：直接证明的两种方法: 和 ;复习2： 是间接证明的一种基本方法.预习交流：（预习教材P52 P54，找出疑惑之处）合作探究：探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个

19、球是同色的,你能证明这个结论吗? 新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .证明：不可能成等差数列.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 例1 已知,证明的方程有且只有一个根.变式：证明在中,若是直角,那么一定是锐角.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.应用转化：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设

20、正确的是（ ）.A假设三内角都不大于B假设三内角都大于C假设三内角至多有一个大于D假设三内角至多有两个大于2. 实数不全为0等价于为（ ）.A均不为0B中至多有一个为0C中至少有一个为0D中至少有一个不为03.设都是正数，则三个数（ ）.A都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为 .5. “”是“”的 条件.学习小结1. 反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.课后作业 ：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于. 第二章 推理与证明(复习)（第10课时）学习目标： 1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模