第十八章 勾股定理 教案

1、第十八章 勾股定理一、基础知识点: 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理, 在西方称为毕达哥拉斯定理. 我国古代把直 角三角形中较短的直角边称为勾, 较长的直角边称为股, 斜边称为弦. 早在三千多年前, 周 朝数学家商高就提出了 “ 勾三, 股四, 弦五 ” 形式的勾股定理, 后来人们进一步发现并证明了 直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证

2、勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S +=正 方 形 正 方 形 ABCD , 2214( 2ab b a c+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三 角形的面积与小正方形面积的和为 221422S ab c ab c=+=+ 大正方形面积 为 222(2S a b a a b b =+=+ 所 以 222a b c +=方 法 三 :1( ( 2S a b a b =+梯 形 , 2112S

3、222ADE ABE S S ab c=+=+梯 形 ,化简得证3. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 它只适用于直角三角形, 对于锐 角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征, 因而在应用勾股定理时, 必须明了所考察 的对象是直角三角形 4. 勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 A B C 中, 90C=,则c=b=, a = 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量 关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c 满足 222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中 c

4、 为 斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “ 数转 化为形 ” 来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 22a b +与较长 边的平方 2c 作比较,若它们相等 时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形 ;若b G EDCB A bacbac abcab a bbaED CBA222a b c +<, 时, 以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形; 若 222a b c +>, 时, 以 a , b ,c为三边的三角形是锐角三角形; 定理中 a , b , c 及 222a b c +=只是一

5、种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三 边长 a , b , c 满足 222a c b +=,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为 斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时, 不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和 时,这个三角形是直角三角形6. 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数, 即 222a b c +=中, a , b , c 为 正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3, 4, 5; 6,8,10; 5,12,13; 7, 24, 25等 用含字母的代数式表示 n 组勾股数:

6、 221, 2, 1n n n -+(2, n n 为正整数 ;2221, 22, 221n n n n n +(n 为正整数 2222, 2, m n mn m n -+(, m n >m , n 为正整数 7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的 证明问题. 在使用勾股定理时, 必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中, 斜边 和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线 ,构造 直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8. .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的

7、数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形, 在具体推算过程中, 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较, 切不可不加思 考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不 可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形, 又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常 见 图 形 :ABCD C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 这样的两个命题叫做互逆 命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题

8、。 二、 经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理 例1. 在 A B C 中, 90C =.已知 6AC =, 8B C =.求 AB 的长已知 17AB =, 15A C =,求 BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c +=解: 10AB =CB DA 8 BC = 详细解题步骤如下:解:设正方形ABCD的边长为 4a , 则 BE=CE=2 a ,AF=3 a ,BF= a在 Rt CDE 中, DE 2=CD2+CE2=(4a 2+(2 a 2=20 a 2 同理 EF 2=5a 2, DF2=25a2在 DEF 中, EF 2+ DE2=5a 2+ 20a 2=25a 2=D

9、F2 DEF 是直角三角形,且 DEF=90°.注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。 题型四 :利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E ,将 ADE 折 叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F ,求 CE 的长 . 解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。 详细解题过程如下:解:根据题意得 Rt ADE Rt AEF AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设 CE=x cm ,则 DE=EF=CD-CE=8-x 在 Rt ABF 中由勾股定理得:

10、AB 2+BF2=AF2,即 82+BF2=102, BF=6cm CF=BC-BF=10-6=4(cm 在 Rt ECF 中由勾股定理可得: EF 2=CE2+CF2,即 (8-x 2=x 2+42 64-16x +x 2=2+16 x =3(cm,即 CE=3 cm注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直 例题 5 如图 5, 王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 C D 边,他测得 AD=80cm, AB=60cm, BD=100cm, AD 边与 AB 边垂直吗?怎样去 验证 AD 边与 CD 边是否垂直?解析:由于实物

11、一般比较大, 长度不容易用直尺来方便测量。 我们通常截取部分长度来 验证。如图 4,矩形 ABCD 表示桌面形状,在 AB 上截取 AM=12cm,在 AD 上截取 AN=9cm(想想 为什么要设为这两个长度? ,连结 MN ,测量 MN 的长度。如果 MN=15,则 AM 2+AN2=MN2, 所以 AD 边与AB 边垂直;如果 MN=a 15, 则 92+122=81+144=225, a 2 225, 即 92+122 a 2,所以 A 不是直角。 利用勾股定理解决实际问题 例题 6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高 4.5米 的墙上,任何东西只要移至 5米以内,灯就自动打开,

12、一个身高 1. 5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯 5米还是脚先距 离灯 5米,可想而知应该是头先距离灯 5米。转化为数学模型,如 图 6 所示, A 点表示控制灯, BM 表示人的高度, BC MN,BC AN 当头(B 点距离 A 有 5米时,求 BC 的长度。已知 AN=4.5米 , 所以 AC=3米,由勾股定理,可 计算 BC=4米 . 即使要走到离门 4米的时候灯刚好打开。题型六 :旋转问题:例 1、 如图, ABC 是直角三角形, BC是斜边,将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后, 能与 AC P 重合, 若 AP=3,求 PP 的长

13、。 变式 1:如图, P 是等边三角形 ABC 内一点, PA=2,PB=求 ABC 的边长 . 分析:利用旋转变换,将 BPA 绕点 B 逆时针选择 60°,将三条线段集中到同一个三角形中, 根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形 .变式 2、如图, ABC 为等腰直角三角形, BAC=90°, E 、 F 是 BC 上的点,且 EAF=45°, 试探究 222BE CF EF 、 、 间的关系,并说明理由 .题型七 :关于翻折问题例 1、如图,矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm, BC=6cm, E 为 BC 上一点,将矩形纸片沿 AE 折

14、 叠,点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长 .变式:如图, AD 是 ABC 的中线, ADC=45°,把 ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C 的 位 置 , BC=4,求 BC 的长 . 题型八 :关于勾股定理在实际中的应用 : 例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/ 小时

15、，那么学校受到影响的时间为多少？ 题型九：关于最短性问题 例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处， 它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫， 便决定捕捉这只害虫， 为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从 背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用 计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方 形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面

16、 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点， 最少要花几秒钟？ 三、课后训练： 一、填空题 1如图(1，在高 2 米，坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米 D C D B E O 第 3 题图 图(1 2种盛饮料的圆柱形杯（如图） ，测得内部底面半径为 2.5 ，高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露 出 4.6 ，问吸管要做 。 3已知：如图，ABC 中，C = 90° ，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB， 点 D、E、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分

17、别等 于 cm 4在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后 直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。 A 20 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、 3 2 2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_. 二、选择题 B 1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角边的长为 11，另

18、两边为自然数，则 Rt的周长为（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 3如果 Rt两直角边的比为 512，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A、6013 B、512 C、1213 D、60169 4已知 RtABC 中，C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（ ） 2 2 2 2 A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm 5等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 C A 第 4 题图 A F B 6某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植

19、草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 E D A 售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a 元 20m B、225a 元 150° 30m C、150a 元 D、300a 元 B 第 7 题图 第 6 题图 F C 7已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ） 2 2 2 2 A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm B 8在ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC 的周长为 C A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 9. 如图

20、，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是 （ ） A （A）直角三角形 (B锐角三角形 (C钝角三角形 (D以上答案都不对 三、计算 1、如图，A、B 是笔直公路 l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和 500m，两村庄之间的距 2 2 离为 d(已知 d =400000m ，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？ B A l 2、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角 顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点 P： 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能