第六章 定积分 - 西南交通大学

1、定积分是积分学中一个重要的内容本章将通过实际问题引.摘要：6.2.2 微积分基本定理定理3(微积分基本定理)设函数在区间上连续,且是在上的任一个原函数,则或记作 (15)证 已知是在上的一个原函数,而 也是在上的一个原.关键词：积分,微积分类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！第六章 定积分定积分是积分学中一个重要的

2、内容。本章将通过实际问题引入定积分的概念，讨论定积分的基本性质，然后通过定积分积分上限函数的性质，导出微积分基本定理（又称牛顿莱布尼兹公式），从而揭示出定积分与不定积分、微分与积分之间的联系，最后介绍定积分在几何、经济等方面的应用。§6.1 定积分的概念与性质6.1.1 引例图61a bOy=f(x)xy1. 曲边梯形的面积所谓曲边梯形，是指由直线、（），轴及连续曲线（）所围成的图形如图61所示。其中轴上区间称为底边，曲线称为曲边。不妨假定，下面来求曲边梯形的面积。由于（）无法用矩形面积公式来计算，但根据连图62a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1

3、 x2y=f(x)xy续性，任两点 ，很小时，间的图形变化不大，即点、点处高度差别不大。于是可用如下方法求曲边梯形的面积。（1） 分割 用直线，（）将整个曲边梯形任意分割成个小曲边梯形，区间上分点为：这里取，。区间被分割成个小区间，用表示小区间的长度，表示第块曲边梯形的面积，整个曲边梯形的面积等于个小曲边梯形的面积之和，即（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第个小区间上任取一点，用以为底，为高的小矩形面积，近似代替这个小曲边梯形的面积（图6.2）， 即.（3）求和 整个曲边

4、梯形面积的近似值为 个小矩形面积之和，即上式由于分割不同，选取不同是不一样的，即近似值与分割及选取有关（图62）。（4）取极限 将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零，它的高度改变量趋于零，曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近，从而和式的极限就定义为曲边梯形面积的精确值。令 ，当时，有2. 变速直线运动的路程已知物体以速度作变速直线运动，求从时刻到时刻物体所经过的路程。物体作变速直线运动，不能使用匀速直线运动路程公式，但在上连续，当时间间隔不大时，速度变化较小。可以用类似计算曲边梯形面积的方法来计算路程。图63（1） 分割 将区间分割成份。分点为每个小时间段长度记作。用表示在时间内物体

5、经过的路程。于是时间间隔内物体经过的路程等于每一小时间段上物体经过的路程之和，即（2） 近似代替 分割后每一小时间段内物体仍作变速直线运动，但时间间隔很小时，速度变化也很小，故在小时间段上物体可看成匀速直线运动，于是（3） 求和 物体在时间间隔上以速度作变速直线运动的路程近似等于每个小段时间内物体作匀速直线运动的路程之和（图63），即其中为上的任一点。近似值随着分割与的选取不同而不同。（4） 取极限 分割加细，让时间间隔趋于零。令 ，则当时，。于是，物体在上运动的路程以上两个不同的实际问题处理方法是相同的，都归结为求同一结构的总和的极限问题。还有许多实际问题的解决也是归结于求这类极限。因此，我

6、们有必要把它抽象出来进行研究，这就引出了高等数学中的定积分的概念。6.1.2 定积分的概念定义1 设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点把分成个小区间：各个小区间的长度依次为：, 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积。并作和记，如果不论对怎样分割，也不管在小区间上点（）怎样取法，只要当时，和总是趋于确定的极限，我们称这个极限值为函数在区间上的定积分（简称为积分），记作，即 （1）其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分下限，称为积分上限，称为积分变量，称为积分和。按定积分定义，引1、引2可以表述如下：（1） 曲边梯形的面积是曲边方程在区间上的定积分。即（2） 物体作变速直线

7、运动所经过的路程是速度函数在时间段上的定积分，即函数在上定积分存在称为函数在上可积，否则称函数在上不可积。说明：（1）如果函数在上可积，则的值是常量，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即（2） 在定积分的定义中，总是假设，为了今后使用方便，特作如下规定， （2）= （3）（3）在定义中，不能改为。保证了所有小区间的长度趋于0，而即把分法中小区间的个数增加，不能保证每个小区间的长度趋于0。例如，将0，1如下分法：分为第一个小区间，把细分成n1个小区间。时，第一个小区间仍然不变，只能使小区间个数增加，不能使每个小区间的长度都趋于0。函数满足什么条件可积呢？下面给出两个

8、可积的充分条件，证明从略。定理1 在上连续，则在上可积。初等函数在其定义域中的任何有限区间上连续，因而是可积的。定理2 在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。例1 用定义计算解 因为被积函数在区间上连续，所以定积分存在，于是，由定积分的定义可知，它与积分和式中区间的分法以及小区间上任一点的 取法无关。为了便于计算，采取等分区间及点均取在小区间的右端点的方法，具体作法如下（图64）：（1）分割 插入个分点把区间分成等份，各分点的坐标依次是，每个小区间的长度均为，。（2）近似 取每个小区间的右端点为，即，作乘积（3）求和 这里运用了正整数平方和公式（3） 取极限 当，即时，取上式右端的极限，得

9、，所以所求的定积分。由定积分的几何意义可知，为曲线，直线和所围成区域的面积，经计算得其值为。6.1.3 定积分的几何意义设函数在区间上连续，从几何上来看：（1） ，根据定积分的定义知：由曲线，直线，及轴所围成的曲边梯形（图61）的面积是在上的定积分，即y=f(x)baOyx（2） ，（图65），根据定积分的定义，其和式小于等于零，在上的定积分为曲线，直线，及轴所围成的曲边梯形的面积的负值，即图6-5（3） 在上异号，如图66所示。将区间分割，使同一小区间上同号。由上述（1）、（2）知，在上的定积分为曲线，直线，及轴所围图形轴上方部分面积减去轴下方部分的面积。图66如果规定曲线，直线，及轴所围图

10、形，轴上方部分面积为正，轴下方部分面积为负。于是，定积分的几何意义为：在上的定积分为曲线，直线，及轴所围图形面积的代数和。利用定积分的几何意义，可知：（1）为高度取1、长度为的矩形（如图67）的面积，即xyaaO图67（2）为半径取的四分之一圆（如图68）的面积，于是（3）函数在上可积且为奇函数，则 （4）奇函数关于原点对称，（如图69），面积代数和为零。图68（4）函数在上可积且为偶函数，则 （5）偶函数关于轴对称，（图610）。6.1.4 定积分的基本性质在下面的讨论中，我们总假设函数在所讨论的区间上都是可积的。性质1 常数因子可以提到积分号前，即 （为常数） （4）这是由于 性质2 函数

11、的和（或差）的积分等于它们的定积分的和（或差），即 （5）因为 这个性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况。性质3 （定积分对区间的可加性）如果积分区间被分点分成两个小区间与，则 （6）这是由于，积分存在与区间的分法无关，所以我们总可以将分点取为区间的一个分点，比如，（如图611）即图611得到因为函数在区间上可积，所以在与上也可积。因此，当所有小区间长度趋于0时，上式两端的极限都存在而且相等，即（6）式成立。当不介于，之间时，等式（6）仍然成立，如果（如图612），这时只要在上可积，由（6）式有 图612移项后，即得同理，当时，（6）式亦成立。性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个

12、性质可以用于求分段函数的定积分。例2 已知 求.解 由于被积函数是分段函数，在不同取值范围内，其表达式不同。根据性质3，有利用定积分的几何意义（图613），可分别求出；所以有.性质4 .如果在区间上恒有，则 （7）由定积分的几何意义，结论显然成立。由这个性质不难得出以下推论：推论1 如果在区间上恒有，则 （8）推论2 （9）性质5 （估值定理）如果函数在区间上的最大值与最小值分别为与，则 （10）图614因为由推论1可得 ,有它的几何意义是：由曲线,直线，及轴所围成的曲边梯形面积，介于以区间为底，以最小纵坐标为高的矩形面积及最大纵坐标为高的矩形面积之间，（如图614）例3 试估计定积分的值.解

13、：在区间上，函数是增函数，且最大值，最小值。根据性质5，则有，即 .性质6 （积分中值定理）如果函数在区间上连续，则在内至少有一点使得下式成立 （11）因为函数在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理，在上一定有最大值和最小值，由定积分的性质5，有即 即数值介于在上的最大值和最小值之间。根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得下式Oxybxaf(x)y=f(x)图615 （12）成立，即有 积分中值定理的几何意义是：曲线,直线，及轴所围成的曲边梯形面积，等于以区间为底，以这个区间内的某一点处曲线的纵坐标为高的矩形的面积（如图615）。称为函数在区间上的平均值。

14、67;6.2 微积分基本公式在 §6.1中，我们介绍了定积分的概念。定积分就是积分和式的极限。用定义计算定积分，一般地讲，计算复杂，难度较大。我们必须找到一种比较有效且简便易行的方法。这一节将介绍定积分计算的公式：牛顿莱布尼兹公式，由§6.1已知：时间段上以速度作变速直线运动物体所经过的路程；设物体的位置函数，时间段上物体经过的路程又可表示为。于是有而函数与有如下关系：即是的一个原函数。是上的增量，故而可以认为是的一个原函数在上的增量值。这样的计算方法是否具有普遍意义？如果具有普遍意义，这不但说明了定积分与不定积分（原函数）之间有密切关系，而更重要的是提供了由原函数计算定积

15、分的方法。下面先介绍变上限积分的概念，然后揭示不定积分与定积分之间的内在联系，证明微积分的基本公式牛顿莱布尼兹公式6.2.1 积分上限的函数及其导数f (c)F(x)xbaxOy图616设函数在闭区间上连续，则对于任意的（如图616），积分存在 ，且对于每一个取定的值,定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，即是以积分上限为变量的函数。这里要特别注意：积分上限与被积表达式中的积分变量是两个不同的概念，在求积时（或积分过程中）积分上限是固定不变的，而积分变量是在积分下限与上限之间变化的。为了使初学者区分它们的不同含义，我们根据定积分与积分变量记号无关的性质，另用字母表示积分变量。于是以积分

16、上限为变量的函数记为，即f (x)F(x)xx+DxxbaxOy 函数具有以下重要性质。定理1 如果函数在区间上连续，则积分上限的函数 图617在上可导，并且它的导数是 （13）证 如图617所示，不妨设，因为由积分中值定理，得，这里介于与之间。把上式两端各除以，得 当时，有，从而，根据导数的定义以及函数的连续性，由函数在区间上连续，有，即 若，取，则同理可证；若，取，则同理可证.这个定理也可以用几何图形来说明：如果定积分的积分上限是变量，则曲边梯形的面积随变化而变化，当取得改变量时，面积也取得改变量，它的值介于与之间，即或（此处假设，如果，则不等式反向）当时，与趋于同一极限，于是由极限存在准

17、则，得到这一定理表明：变上限积分所确定的函数对积分上限的导数等于被积函数在积分上限处的值，就是在上的一个原函数。定理2（原函数存在定理）如果函数在区间上连续，则函数 （14）是函数在区间上的一个原函数.例1 设函数，求.解 因为函数连续，根据定理1,得，从而 .例2 求 解 因为函数连续，根据定理1,得.例3 求 解 现在求它是以为上限的积分，作为的函数可以看成是以为中间变量的复合函数，根据复合函数求导公式,由公式（13）有 所以方法熟练以后，上述过程可以简化如下：例4 求极限.解 当时，故此题为型未定式，使用洛必达法则，16.2.2 微积分基本定理定理3（微积分基本定理）设函数在区间上连续，

18、且是在上的任一个原函数，则或记作 （15）证 已知是在上的一个原函数，而 也是在上的一个原函数，所以是某一个常数，即令，得，而，则，即有再令，得.上式称为牛顿（Newton）莱布尼兹 (Leibniz)公式，也称为微积分基本公式。牛顿莱布尼兹公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值时，只要先求出被积函数的一个原函数，然后计算原函数在区间上的增量即可。该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的联系。如§6.1例1 中我们计算了。现在应用牛顿莱布尼兹公式计算。 因为是被积函数的一个原函数，根据牛顿莱布尼兹公式，有例5 求.解 因为是被积函数的一个原函

19、数，根据牛顿莱布尼兹公式，有.例6 求 .解 .例7 求.解 由定积分对区间的可加性5应当注意的是，利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时，要求被积函数在积分区间上连续，否则会产生错误，例如显然是错误的，因为被积函数在区间上不连续，点是其无穷间断点，被积函数不满足牛顿莱布尼兹公式条件。根据牛顿莱布尼兹公式，定积分的计算与不定积分的计算密切相关，不定积分的计算有换元积分法和分部积分法，相应的定积分也有换元积分法和分部积分法。§6.3 定积分的换元积分法设函数在区间上连续，令，如果（1）在区间上有连续的导数；（2）当从变到时，从单调地变到。则有 （1）公式（1）就是定积分的换元积分公式，简称换

20、元公式。证 如果，则由不定积分的换元公式有于是有 这里应当注意，定积分的换元积分法与不定积分的换元法不同之处在于：定积分的换元法在换元后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”。在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原积分变量。新积分变量的积分限可能，也可能，但一定要求满足，即对应于；对应于。例1 求积分 .解 令，则，当从0变到2时、从0变到8，所以.例2 求积分 .aaOxy解 令，则，当从0变到时、从0变到，所以 .图618在区间上，曲线是圆周的（如图618），所以半径为的圆面积是所求定积分的4倍，即.例3 求.解 令，则，且当时，；当时，t1.所以有在例3中，如

21、果用凑微分法求定积分可以更方便些，即不引入新的积分变量，那么积分上、下限也不需要作相应的变换，也就是说“不换元也不换限”，具体解法如下：.例4 求.解 用凑微分法求解.例5 求.解 .这里利用了奇偶函数在对称区间的积分性质。§6.4定积分的分部积分法设函数与在闭区间上连续可导，则 ，即等式两端取由到的积分，即得 （1）或写为 （2）这就是定积分的分部积分公式.例1 求积分.解 令，代入分部积分公式，得例2 求.解 令，代入分部积分公式，得 而可以继续用分部积分公式求得， 所以 定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法比较，选取，的方法是一样的，所不同的是在积出项后，立刻将其值算出。因

22、此，计算时，不必设，利用(2)式更方便。例3 求.解 例4 计算.解 例5 计算.解 令，则，当时，；时，2例6 已知，且，求.解 由，得，所以.§6.5 定积分的应用前面我们由实际问题引出了定积分的概念，介绍了它的基本性质与计算方法，现在将以上定积分的知识用于实践。6.5.1 平面图形的面积 1 设函数在区间上连续，由曲线、直线、，及轴所围成的曲边梯形面积： （1）2 函数在区间上连续，由曲线、直线、，及轴所围成的曲边梯形面积： （2）3 对于在上函数有时取正值有时取负值，（如图619a），曲边梯形面积可以表示为 （3） 类似地，由连续曲线、直线，及轴所围成的曲边梯形（图619b）

23、面积为： （4）图6194 如果在上总有，由曲线、直线， 所围成的图形（图620）面积为：y=g(x)y=f(x)Oyxba （5）类似地，由连续曲线，（）及直线，所围成的图形（图620）面积为：图620例1 求曲线及直线所围成的平面图形的面积.解 这个图形如图621所示求抛物线与直线的交点，解方程组得 ，所以点坐标为.所求图形由曲线，直线，所围成，于是图621例2 求由曲线，所围成的平面图形的面积。解：如图622所示，将面积表示成对的定积分，将图形分成二块，面积分别为，（1）求 ，取， 图622（2）求 ，取， 所以 例3 求抛物线与直线围成的平面图形的面积.解 如图623a所示。首先求两曲

24、线的交点，解方程Oy=x-4xy+dyyy2=2x(8,4)(2,-2)y 得 ，故的坐标为， 的坐标为，将该图形的面积表示成对的积分.图623a，取，于是Oy=x-4xy2=2x(8,4)(2,-2)y所以，面积是.另法： 如图623b所示，面积表示成对的积分，将图形分成二块： 和，设面积分别为，图623b （1）求 ，取， （2）求 ，取， 所以 .对比二种方法，注意以下二点：（1） 对选做积分变量的定积分和选做积分变量的定积分都可以计算平面图形的面积；（2） 选用不同的积分变量，计算的繁简程度往往相差较大；因此，求平面图形的面积时，积分变量的选择是非常重要的。6.5.2 旋转体的体积由一

25、个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体。这条直线称为旋转轴。圆柱可视为由矩形绕它的一条边旋转一周而成的立体，圆锥可视为直角三角形绕它的一条直角边旋转一周而yObay=f(x)xxx+dx成的立体，球体可视为半圆绕它的直径旋转一周而成的立体。上述旋转体都可以看作是由平面上的连续曲线、直线、及轴所围成的图形绕轴旋转一周形成一旋转体(图624a)，如何求该旋转体的立体呢？图624立体的体积我们计算的最简单的图形是圆柱体及长方体，而旋转体的侧面是有凹凸变化的曲面组成的立体，这种立体的体积不能用以前的简单立体的体积公式来计算。由连续可知，当即旋转体很薄时，侧面的变化会比较小，旋转体可近

26、似看成圆柱体。这种 “以不变代变”、“以直代曲”正符合定积分的思想。因此，我们用如下方法：1 用分点把分成个小区间，这些小区间的长分别为，过作与轴垂直的平面，将旋转体分成个小旋转体。2 把每个小旋转体分别用底半径为高为的直圆柱来近似代替，这些直圆柱的体积分别为3 用表示所有中最大者，当时，整个旋转体的体积 （6）同理可得绕轴旋转的旋转体（图624b）的体积为 （7）例4 求圆绕轴旋转一周所成的球的体积( 图625).aaOxy解 取，为积分变量， ，于是 所以，球的体积为.图625例5 求由抛物线，直线与轴所围成的平面图形(1)绕轴、(2)绕轴旋转一周所得立体的体积解 抛物线与直线的交点为A(

27、2,4)(1) 积分变量为，积分区间为抛物线绕轴旋转而成的旋转体体积(如图626a)为：(2,4)2y=x2xy O (b)y=x2Oxy2(a)图626（2）积分变量为，积分区间为抛物线绕轴旋转而成的旋转体体积(如图626b)为：6.5.3积分学在经济分析中的应用举例（一） 已知边际求总量例6 某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本的变化率（即边际成本）是日产量的函数，已知固定成本为1000元，求总成本函数.解 因总成本是边际成本的一个原函数，所以已知当时，代入上式得，于是总成本函数为例7 某产品销售总收入是销售量的函数。已知销售总收入对销售量的变化率（即边际收入），求销售量由100增加到

28、400时所得的销售收入.解 因销售收入是边际收入的一个原函数，按题意，有（元）（二） 利润、产量与开工时数的最佳值的确定例8 某厂生产一种产品，年产量为吨时，总费用的变化率（即边际费用）为（单位：百元/吨），这种产品每吨的销售价为3000元，问一年生产多少产品工厂利润最大，并求出年利润的最大值.解 总费用是边际费用的原函数，故而收入函数（百元），又由则 令 ，得（吨）。驻点唯一。此时，由实际问题可知，当时，取得最大值(百元).因此，年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元。例9 某工厂生产一种产品，每日总收入的变化率（即边际收入）是日产量的函数（单位：元/件）。该厂生产此种产品的能力为每小

29、时30件，问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大？并求出此最大总收入值.解 由题意 ，令 ，得， 又，因为只有唯一的驻点，由实际问题知，当时，取得最大值.因此，每日取得最大总收入的产量为150件，此时（元）.完成150件产品需要的工时为（小时），所以，每天生产这种产品5小时，就使每日收入最大，最大值为2250元。（三） 资本存量问题例10 资本存量是时间的函数。它的导数等于净投资。现知道净投资（单位：10万元/年）。求第一年底到第四年底的资本存量.解 因资本存量是净投资的一个原函数，故14（10万元）所以，第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元。例11 某银行根据前四年存款情况

30、，知该行现金净存量的变化率是时间的函数（单位：万元/年），计划从第五年起积存现金1000万元。按此变化率需几年时间？解 依题意1000即 1000由此，得 解此方程，得 图627.所以，从第五年开始积存1000万元现金约需6年.（四） 消费者剩余和生产者剩余 在自由市场中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述，它的状态可在如图627上直观表现如下：的经济意义是供应者会生产此商品的最低价。是消费者会购买此种商品的最高价。是免费供给此种商品的需求量（如卫生纸）经市场功能调节后，市场将趋于平衡价和平衡数量，两条曲线在相交。消费者以平衡价格购买了某种商品，他们本来打算出较高的价格购

31、买这种商品，消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数。用积分式来表达就是：消费者剩余曲边三角形面积.生产者以平衡价格出售了某种商品，他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品，生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入。用积分式表达就是生产者剩余曲边三角形面积.§6.6 广义积分与函数前面所讨论的定积分都是在有限的积分区间和被积函数有界（特别是连续）的条件下进行的，在科学技术和经济管理中常需要处理积分区间为无限区间或被积函数在有限区间上为无界函数的积分问题，这两种积分都被称为广义积分（或反常积分），相应地，前面讨论的积分称为常义积分。6.6.1 广义积分（一） 无限区间上的积分定义1

32、设函数在区间上连续，如果极限存在，就称此极限值为函数在上的广义积分，记作 （1）这时我们说广义积分存在或收敛。如果不存在，就说不存在或发散.类似地，可以定义在及上的广义积分 （2） （3）其中。对于广义积分其收敛的充要条件是： 和都收敛。相对于广义积分，前面所学习的定积分称为常积分。广义积分是一类常积分的极限。因此，广义积分的计算是先计算常义积分，再取极限.例1 求.解 按定义1，有例2 求 .解 例3 试问：积分，当取什么值时收敛？取什么值时发散？解 （1）当时，按定义1有当时，有；当时，有。故当时，广义积分发散.（2）当时，有 故当时，广义积分发散。综上所述得：广义积分当时发散，当时收敛.

33、y=bxyO例4 求.解 方法1 因被积函数在内为偶函数(图628)，故再利用例1的结果有图628 方法2 按定义1有 （二） 无界函数的反常积分定义2 设函数在上连续，当时，如果存在，就称此极限值为无界函数在上的反常积分（或瑕积分）。记作 （4）这时我们说广义积分存在或收敛。如果不存在，就说不存在或发散.类似地，可以定义函数在上有定义，当时，及在上除点外连续，而时的广义积分 （5） （6）对于时的广义积分，其存在的充要条件是：，都存在. 无界函数广义积分的计算和无限区间上的广义积分的计算方法一样，首先计算常积分，而后再求极限。例5 求.解 被积函数在内连续，且，故为广义积分，按定义取，有 例

34、6 讨论积分的收敛性.解 被积函数在中除外连续，且，故为广义积分，取，有 故广义积分发散.例7 证明：广义积分当时收敛；当时发散.证 （1）当时，于是当时，有而当时，有即积分，当时收敛，当时发散.（2） 当时，有从而，当时积分发散.综上可得：广义积分当时收敛；当时发散.6.6.2 函数下面讨论一个在概率论中要用到的积分区间无限且含有参变量的积分。定义3 积分 （7）是参变量的函数，称为函数.可以证明对于每个正实数，这个积分都是收敛的。而且，在上是连续的。下面我们给出函数的几个重要性质：（1） （8）因为（2） （9）这是因为.这是一个递推公式。利用此公式，计算函数的任意一个函数值都可化为求函数

35、在上的函数值.特别地，当为正整数时，有 （10）例8 求.解 （3） 例9 计算.解 例10 计算积分.解 .习 题 六一、 不计算积分，比较下列各组积分值的大小：（1）； （2）.二、利用定积分性质估计下列积分值：（1）； （2）.三、求下列函数的导数：（1）； （2）.四、计算下列定积分：（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.五、计算下列积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）；（9）.六、计算下列积分：（1） ； （2）；（3）； （4）.七、计算下列积分：（1）； （2）.八、求下列极限：（1） ； （2）.九

36、、求下列各题中平面图形的面积：（1） 曲线与轴所围成的图形；（2） 曲线在区间上的曲边梯形；（3） 曲线与所围成的图形.十、求下列平面图形分别绕轴、轴旋转产生的立体的体积：（1） 曲线与直线、所围成的图形；（2） 曲线与直线、所围成的图形.十一、大福鞋厂最近生产新一款的健步鞋。已知该产品的边际成本函数为，其中表示生产的数量.（1） 作出边际函数的图像并指出哪部分表示前50双鞋子成本；（2） 利用定积分求出生产前50双鞋子的成本.十二、已知前进巴士公司的边际收入函数为 ，其中表示车票的销售量。计算并解释其经济意义.小不点玩具公司给出了新一代战斗模型的边际成本函数，（），其中代表每天生产的数量.（1） 作出边际成本函数的图像并指出哪部分表示生产前30个模型的成本；（2） 利用定积分求出前30个模型的成本.数学家的故事之六高斯数学王子高斯（Gauss Grl Fiedriech）(17771855)是德国数学家、物理学家和天文学家。1777年4月30日生于布伦瑞克1855年2月23日萃于哥廷根。高斯的祖父是农民，父亲是园丁兼泥瓦匠。高斯幼年就显露出数学方面的非凡才华。当高斯6岁时，一天晚上，高斯的父亲在灯下核算着一笔工程款项，当他好不容易得出结果时，不想在一旁的小高斯却