第五讲定积分

1、第五章 定积分一、学习目的与要求1、加深理解定积分的定义，熟悉定积分的有关性质。2、加深理解牛顿莱布尼兹公式的内容及其意义，能熟练地应用此公式计算定积分。3、掌握变上限函数的极限、导数、极值等问题的求法。4、熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。5、知道广义积分，掌握两类广义积分的计算二、学习重点定积分的换元积分法与分部积分法三、内容提要1、定积分的定义及性质（I）定义 由定义可知，定积分值与积分变量的记号无关：（II）几何意义当0时，的值等于四条线所围成的曲边梯形面积。（III）可积函数类 下列函数均可积：（i）在连续； （ii）在单调有界；（iii）在有界且至多有有限个第一类间断点。（I

2、V）性质 假设在所涉及区间可积，则下列性质成立：（i）线性性质 （ii）区间可加性 （iii）比较性质 若，则特别有 （iv）估值定理 设,则（v）中值定理 设在连续，在可积且不变号，则，使特别，当时，有 2、变上限积分函数定义 为变上限积分或变上限函数或积分上限函数。若连续，变上限函数有下列性质：特别地,当可导，则有 3、定积分的计算（I）Newton-Leibniz公式设在连续，则（II）定积分换元法 若则（III）定积分的分部积分法 设上的导数连续，则4、广义积分（I）无穷区间的广义积分定义为若等式右边的极限存在，称左边的广义积分收敛，否则称发散。定义其中的变化相互独立，只要等式右边有一

3、个极限不存在，则等式左边的广义积分发散。（II）无界函数的广义积分设连续，的某右邻域无界，则定义若等式右边的极限存在，则称等式左边的广义积分收敛，否则称发散，称为奇点。类似可定义为奇点的情况以及奇点出现在（）内部的情况。四、思考题1、定积分定义中所说的和式的极限存在，特别要强调两点是什么？2、函数在区间a,b上可积的充分条件是什么？必要条件是什么？3、当函数在a,b上具有原函数时，则在a,b上一定可积吗？试考察函数 4、用换元积分法计算定积分时要注意些什么？若用两种不同方法计算定积分，可得出两个不同的结果：（1）（2）。你认为哪个是对的，而另一个错在什么地方？5、在定积分中，用换元计算行吗？为

4、什么？6、用分部积分法计算定积分如下：设，则 于是 即 ，结果得出：0=1，试说明这个错误是怎样产生的？7、因为的一个原函数为，于是根据牛顿莱布尼兹公式，有，此结果对吗？为什么？8、由于函数在区间内为奇函数，因此，有所以广义积分收敛，此结论对吗？9、如下的几个定积分常用公式是怎样推导出来的：（1） （2）若为奇函数，则；（3）若为偶函数，则（4）若是周期为T的函数，则（5）（6）（7）（8）五、典型例题分析例1 求。分析 用定积分求这类和式的极限，关键是选取适当的可积函数与积分区间，将所求和式的极限转化为某函数积分和的极限，从而转化成定积分。解 =由此可知以上和式是函数在区间0,1上的积分和，

5、又因为该函数在区间0，1上连续，所以定积分存在，故=例2 设函数连续，试求。分析 这是含积分上限函数的极限问题，属型，符合使用罗比塔法则求极限的条件。在利用罗比塔法则求极限时，分子对求导应注意，被积函数中所含变量相对于积分变量而言是常量，从而可将分子拆成两项，且可提到积分号外面。解 例3 证明函数在区间0，+上的最大值不超过，其中为正整数。证 是积分上限函数，根据变上限求导定理，有 令 而处有极大值（此处即最大值）。当0时，有0所以 证毕。例4 计算。分析 被积函数上连续，故定积分存在，根据被积函数是三角函数有理式的特点，可用换元法令化成有理函数的积分；如果被积函数分子、分母同乘，又可转化为函

6、数的积分；也可利用公式计算，且用此法最为简便。解 如果设，所以 此题的作法实际也是证明公式的方法。例5 计算 。分析 因被积函数是以为周期的函数，因此可用公式，其次再利用奇偶函数积分的性质以及有关积分公式，问题就简单了。解 = =例6 计算定积分。分析 本题被积函数属型，故可用（或）换元，将其化为三角函数有理式的积分。解法1 = = 解法2 由于 于是 例7 设0，时，积分的表达式。分析 本题求解的关键是：（1）被积函数中出现不易积分，需利用进行换元；（2）是分段函数，应注意区分0与时的不同表达式。解 令 当0时， =所以 例8 设为连续函数，求证分析 本题求证中应把握：（1）对于被积函数中出

7、现变上限积分的形式，常用分部积分法，且一般选取变上限积分为，即；（2）注意定积分与积分变量的记号无关；（3）被积函数中出现的在积分过程中相对于积分变量应视为常数。证 例9 已知，且。分析 被积函数中出现抽象函数的导数形式，常用分部积分法，且将抽象函数的导数放入。解 而 =所以 即 故 例10 设。分析 分段函数的定积分，一般化为分段区间上的定积分。本题被积函数为,积分时需由已知的求出或先换元更简便一些。解法1 =解法2 所以 例11 计算。分析 由于被积函数中，而在0，内不恒大于零，所以开方后需取绝对值。积分时可去掉绝对值记号，按分段函数的定积分处理。解 =例12 计算。分析 在被积函数中含绝

8、对值函数的定积分中，一般根据绝对值性质，化为分段函数在分段区间上的定积分。或根据有关性质化为不含绝对值函数的定积分。解法1 =解法2 解法3 说明 本题给出了含绝对值函数的积分法。就以上三种解法，以解法2最好，它利用了奇函数在对称区间积分的性质，避开了含绝对值的积分。例13 设在上具有连续导数，且，试证 分析 不等式两端分别出现与，可考虑利用关系，而，又进一步考虑利用柯西积分不等式，再积分，不等式可得证。证 在已知条件下，利用柯西积分不等式，有两边在区间a,b上作定积分，得 例14 利用的结果，计算广义积分。分析 为利用已知结果，必须考虑所求积分的被积函数通过有关运算（代数运算恒等变形或积分等）化成型，本题如进行一次分部积分，问题就明显多了。解 说明 本题属区间为无穷的广义积分是很明显的，而时被积函数无定义，但它为去间断点，所以，可不按为瑕点的广义积分对待。为了书写简洁，这里采用了广义下的牛顿莱布尼兹公式。例15 计算。分析 本题被积函数在处出现无穷型间