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文档简介
1、第一章绪论1 1 测得某三角块的三个角度之和为180o00 02”, 试求测量的绝对误差和相对误差解:绝对误差等于: 180o00 02180o2相对误差等于:222180o180600.00000308641 0.000031%606480001-4 在测量某一长度时,读数值为 2.31m,其最大绝对误差为 20m ,试求其最大相对误差。相对误差 max绝对误差max100%测得值20 10-6100%2.318.66 10-4 %1 6 检定 2.5 级(即引用误差为2.5)的全量程为 l00V 的电压表,发现 50V刻度点的示值误差 2V 为最大误差,问该电表是否合格 ?解:依题意,该电
2、压表的示值误差为2V由此求出该电表的引用相对误差为2/100 2因为2 2.5所以,该电表合格。1-6 检定 2.5 级(即引用误差为2.5%)的全量程为 100V 的电压表,发现50V 刻度点的示值误差 2V为最大误差,问该电压表是否合格?最大引用误差某量程最大示值误差100%测量范围上限22%2.5%100%100该电压表合格1-8 用两种方法分别测量L1=50mm,L2=80mm。测得值各为 50.004mm,80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差150.004500.008%L :50mmI1100%50L 2:80mm80.006800.0075%I 2100%80
3、I1 I2所以 L2 =80mm 方法测量精度高。1 9 多级弹导火箭的射程为10000km 时,其射击偏离预定点不超过0.lkm ,优秀射手能在距离 50m远处准确地射中直径为2cm 的靶心,试评述哪一个射击精度高?解:多级火箭的相对误差为:0.10.000010.001%10000射手的相对误差为:1cm0.01m0.002%50m0.000250m多级火箭的射击精度高。1-10 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm,其测量误差分别为11 m 和9 m ;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为12 m ,试比较三种测量方法精度的高低。相对误差I111
4、 m0.01%110mmI 29 m0.0082%110mmI 312 m0.008%150mmI 3I 2 I 1 第三种方法的测量精度最高第二章误差的基本性质与处理2 4测量某电路电流共5 次,测得数据 ( 单位为 mA)为 168.41 ,168.54 ,168.59 ,168.40 ,1168.50 。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解:5I iIi 1168.49( mA)55(IiI )i10.08515( IiI )2i 1120.080.0535354( IiI )4i 110.080.065552 5 在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量5 次,测得数据 (
5、单位为 mm)为 200015,20.0016 ,20.0018 ,20.0015 ,20.0011 。若测量值服从正态分布,试以99的置信概率确定测量结果。解:求算术平均值nlii 1x20.0015mmn求单次测量的标准差nvi22610810 4 mmi12.55n 14求算术平均值的标准差x2.55 10 4 1.14 10 4 mmn5确定测量的极限误差因 n5 较小,算术平均值的极限误差应按t 分布处理。现自由度为:n 1 4; 1 0.99 0.01 ,查 t分布表有: ta 4.60极限误差为lim xtx4.60 1.1410 45.24104 mm写出最后测量结果xlim
6、x20.00155.2410 4mmL22-4 测量某电路电流共5 次,测得数据(单位为mA )为 168.41,168.54,168.59,168.40,168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。168.41168.54168.59168.40168.50x5168.488( mA)5vi 2i10.082(mA)51x0.0820.037( mA)n5或然误差: R0.6745平均误差: T0.7979xx0.67450.0370.025()mA0.79790.0370.030()mA2-5 在立式测长仪上测量某校对量具,重量测量5 次,测得数据(单位为 mm)为 20.
7、0015 ,20.0016 ,20.0018 ,20.0015 ,20.0011 。若测量值服从正态分布,试以 99%的置信概率确定测量结果。20.001520.001620.001820.001520.0011x520.0015( mm)5vi 2i 10.0002551正态分布p=99%时, t2.58lim xtx0.000252.58530.0003(mm)测量结果: Xx(20.00150.0003)mmlim x2-7 用某仪器测量工件尺寸,在排除系统误差的条件下,其标准差0.004mm,若要求测量结果的置信限为 0.005mm,当置信概率为 99% 时,试求必要的测量次数。正态分
8、布p=99% 时, t 2.58lim xtn2.580.004n2.0640.005n4.26取n 52 8 用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差0.001mm,若要求测量的允许极限误差为 0.0015mm,而置信概率P 为 0.95 时,应测量多少次?解:根据极限误差的意义,有tx根据题目给定得已知条件,有t 0.0015nt0.0015n1.50.001查教材附录表3 有若 n 5, v 4, 0.05 ,有 t 2.78 ,t2.782.781.24n 5 2.236若 n 4, v 3, 0.05 ,有 t 3.18 ,t3.183.18n42即要达题意要求,必须至少测量5 次。
9、1.592-10 某时某地由气压表得到的读数(单位为 Pa)为 102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其4权各为 1,3,5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值及其标准差。8pi xixi1102028.34(Pa)8pii 18pi vxi2i186.95(Pa)x8(81)pii 12-11 测量某角度共两次,测得值为124 13 36 ,224 1324 ,其标准差分别为13.1, 2 13.8 ,试求加权算术平均值及其标准差。p1 : p212 :1219044
10、 : 96112x24 132019044 16 961 41904496124 1335 xxi2pi3.1190443.019044961pii12-12甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量 5 次,测得值如下:甲:7 220 ,7 30 ,7 235 ,7 220 ,7 215 ;乙 :7 225 ,7 225 ,7 220 ,7 2 50 ,7 245 ;试求其测量结果。甲: x甲 7o220 60 3520157o230552vi222( -1022i 1( -10 ) (30) 5) ( -15)甲14518.45甲18.48.23x甲55乙: x乙7o22525 205
11、0 457o233552vi22222i 1(-8 ) (-8) ( )(17)(12)乙1351413.5乙13.56.04x乙55p甲 : p乙11113648: 67732:22 :2x甲x乙8.236.04xp甲 xp乙 x3648 306773337o27o232甲乙p甲p乙36486773p甲8.2336484.87xx甲p甲p乙36486773Xx 3x7 23215 2-14重力加速度的20 次测量 具有平均 值为 9.811m / s2、标准差为0.014m / s2。 另 外30 次测 量具 有平 均值 为 9.802m / s2,标准差为0.022m / s2 。假设这两
12、组测量属于同一正态总体。试求此50 次测量的平均值和标准差。p1 : p21:11:1242: 1472220.0222x12x220.0142030x2429.8111479.8029.808(m / s2 )2421470.014242(2)x202420.0025 m/s14762-15 对某量进行 10 次测量,测得数据为14.7,15.0,15.2, 14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。x14.96按贝塞尔公式10.263310vi按别捷尔斯法21.253i 10.264210(101)由21 u得 u1210.00
13、3412u0.67所以测量列中无系差存在。n12-16 对一线圈电感测量10 次,前 4 次是和一个标准线圈比较得到的,后6 次是和另一个标准线圈比较得到的,测得结果如下(单位为mH):50.82,50.83,50.87,50.89;50.78,50.78,50.75,50.85, 50.82,50.81。试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法:排序:序号12345第一组第二组50.7550.7850.7850.8150.82序号678910第一组50.8250.8350.8750.89第二组50.85T=5.5+7+9+10=31.5查表T14 T30TT所以两组
14、间存在系差2 19 对某量进行两组测量,测得数据如下:7xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解:按照秩和检验法要求,将两组数据混合排列成下表:T12345678910xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T11121314151617181920xi1.211.221.301.341.391.41yi1.
15、251.311.311.38T2122232425262728xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95现 n 14, n 14,取 x的数据计算 T,得 T 154。由xyia( n1 (n1n2 1)203 ;( n1n2 ( n1n2 1) 474 求出:212T a0.1t现取概率2(t )0.95 ,即(t)0.475 ,查教材附表1 有 t1.96 。由于 tt ,因此,可以认为两组数据间没有系统误差。第三章误差的合成与分配3-1 相对测量时需用 54.255mm 的量块组做标准件,量块组由四块量块研合 而成 ,它 们 的基 本尺 寸为 l140mm
16、, l 212mm , l 31.25mm ,l 41.005mm 。 经测量 ,它 们的 尺寸偏差 及其 测量 极限误差分别 为l 10.7 m ,l20.5 m , l30.3 m ,l 40.1 m,lim l10.35 m,lim l 20.25 m, lim l 30.20 m,lim l 40.20m 。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。8修正值 =( l 1l 2l 3l 4 )= ( 0.7 0.5 0.3 0.1)=0.4 ( m)测量误差 :l =2222lim l1lim l2lim l3lim l 4=( 0.35)2(0.25)2(0.20
17、) 2( 0.20) 2= 0.51( m)3-2为 求 长 方 体 体 积 V , 直 接 测 量 其 各 边 长 为 a161.6mm ,b44.5mm, c11.2mm,已知测量的系统误差为a1.2mm , b0.8mm ,c0.5mm,测量的极限误差为a0.8mm ,b0.5mm,c0.5mm, 试求立方体的体积及其体积的极限误差。VabcVf (a, b, c)V0abc161.644.511.280541 .44( mm3 )体积 V 系统误差V 为:Vbc aac bab c2745.744(mm3 )2745.74(mm3 )立方体体积实际大小为: VV0V77795.70(
18、mm3 )lim V(f) 2a2(f) 2b2(f) 2c2abc(bc) 22(ac) 22(ab) 22abc93729.11(mm3 )测量体积最后结果表示为:VV0Vlim V(77795.703729.11) mm33 3 长方体的边长分别为1,2 ,3 测量时: 标准差均为;标准差各为1、 2、 3 。试求体积的标准差。解:长方体的体积计算公式为:Va1 a2 a3体积的标准差应为:V)22V)22V)22V(1(2(3a1a2a3现可求出:Va2a3 ;Va1 a3 ;Va1a2a1a2a3若:123则有:(V)22(V)22(V)22(V)2(V)2(V)2V1a22a33a
19、1a2a3a1( a2 a3 )2( a1 a3 ) 2( a1 a2 ) 2若:123则有:( a2 a3 )22(a1 a3 )22(a1a2 )22V1233-4 测量某电路的电流 I22.5mA ,电压 U12.6V ,测量的标准差分别为I0.5mA ,U0.1V,求所耗功率 PUI 及其标准差P 。PUI12.622.5283.5(mw)Pf (U , I )U、I 成线性关系UI1P( f ) 2U 2( f ) 2I 22( f )( f ) u IUIUI10ffUIIUUI22.50.112.60.5UI8.55( mw)3 9 按公式 V=r 2h 求圆柱体体积,若已知 r
20、 约为 2cm, h 约为 20cm,要使体积的相对误差等于 1,试问 r 和 h 测量时误差应为多少 ? 解:若不考虑测量误差,圆柱体积为Vr 2h3.142220251.2cm3根据题意,体积测量的相对误差为1,即测定体积的相对误差为:1%V即V 1% 251.2 1% 2.51现按等作用原则分配误差,可以求出测定 r 的误差应为:r12.5112 V / r0.007cm1.41 2 hr测定 h 的误差应为:h12.5110.142cm2 V / h1.41r 23-11 对某一质量进行4 次重复测量,测得数据 ( 单位 g) 为 428.6,429.2,426.5,430.8。已知测
21、量的已定系统误差2.6g, 测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布,试求该质量的最可信赖值及其极限误差。11序号极限误差 g误差传递系数随机误差未定系统误差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81428.6429.2426.5430.8x4428.775(g)428.8( g)最可信赖值xx428.82.6431.4( g)521 3( f )2x( f ) ei 2i 2i 1xi4 i 1xi4.9( g)测量结果表示为 : xxx( 431.44.9)g第四章测量不确定度4 1某圆球的半径为r ,若重复10
22、 次测量得r r =(3.1320.005)cm ,试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度,置信概率P=99。解:求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为:D2r2其标准不确定度应为:uDr2224 3.1415920.0052r2r 0.0314cm确定包含因子。查t 分布表 t 0.01 ( 9) 3.25 ,及 K 3.2512故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为:U Ku3.25 0.0314 0.102 求圆球的体积的测量不确定度圆球体积为: V4r 33其标准不确定度应为:uVr224r22216 3.1415923.13240.00520.
23、616rr确定包含因子。查 t 分布表 t 0.01 ( 9) 3.25 ,及 K 3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U Ku 3.25 0.616 2.0024-4 某校准证书说明,标称值10的标准电阻器的电阻R 在 20 C 时为10.000742129( P=99%),求该电阻器的标准不确定度,并说明属于哪一类评定的不确定度。Q 由校准证书说明给定属于 B 类评定的不确定度Q R 在10.000742-129,10.000742+129 范围内概率为 99%,不为 100%不属于均匀分布,属于正态分布a129 当 p=99%时, K p2.58a129U R50( )K p2
24、.584-5 在光学计上用 52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径,量块组由三 块量 块研合而成, 其尺 寸分别是 : l140mm ,l 2 10mm ,l32.5mm ,量块按“级”使用,经查手册得其研合误差分别不超过0.45m 、0.30m 、0.25m (取置信概率P=99.73%的正态分布),求该量块组引起的测量不确定度。L52.5mml140 mml210mm13l32.5mmLl1l2l3Q p99.73%K p 3U l1a0.450.15(m)U l 2a0.30m)kp3kp0.10(3U l3a0.250.08(m)kp3U LU l1U l2U l30.1520
25、.1020.0820.20(m)4 6 某数字电压表的说明书指出,该表在校准后的两年内,其2V 量程的测量误差不超过 (14 10-6读数 +110-6 量程 )V,相对标准差为 20,若按均匀分布,求1V 测量时电压表的标准不确定度;设在该表校准一年后,对标称值为1V 的电压进行16 次重复测量,得观测值的平均值为0.92857V ,并由此算得单次测量的标准差为0.000036V ,若以平均值作为测量的估计值,试分析影响测量结果不确定度的主要来源,分别求出不确定度分量,说明评定方法的类别,求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。622202220101412064822336113xy2.9
26、5-1 测量方程为x 2 y0.9试求 x、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。误差2x3y1.9v12.9(3x y)方程为 v20.9( x2y)v31.9(2 x3 y)nnnai1ai1 xai1ai 2 yai1li列正规方程i 1i1i 1代入数据得nnnai 2 ai1 xai 2ai 2 yai 2lii 1i 1i 114x 5 y 13.4解得x0.9625x 14 yy0.0154.614v12.9(30.9620.015)0.001将 x、y 代入误差方程式 v20.9(0.96220.015)0.032v31.9(20.96230.015)0.021n3vi2vi2测量数据的标准差为i 1i10.038n t3214d115d121d11d125d1114d120求解不定乘数d21d2214d215d2205d2114d221解得 d11 d 22 0.082x、y 的精度分别为xd11 0.01yd220.01x3 y5.6, p115-5 不等精度测量的方程组如下:4xy8.1, p222xy0.5, p33试求 x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。v15.6 ( x 3 y), p1 1列误差方程 v28.1(4 xy), p22v30.5(2 xy), p33333pi ai1ai1 xpi
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