八年级上册数学期末复习：几何常用模型

1、八年级几何模型整理一.几种常见的三角形角度模型1.8字模型A结论：N A+N D=N B+N Co模型分析：8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到【例1】如图，线段ABCD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图的图形称之为“8 字形:如图，在图的条件下，NDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且 与CD、AB分别相交于M、N,试解答下列问题：（1）在图中，请直接写出NA、NB、NC、ND之间的数量关系：（2）应用（1）的结果，猜想NP与ND、NB之间存在着怎样的数量关系并予以证明。2.飞镖模型如图所示角度结论：N D=Z A+Z B+Z Co长度结论：AB+AC >BD+

2、CD模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到L如图.BE 平分NABD,CF 平分/ACD.BE、CF 交于 G若NBDC=140。，NBGC=U0。，则N2 .如图NA = 70° ,点P、0分别是NABC、ZACB的三等分线的交点，则NOPC =【例2】（1）如图，在AABC中，ZA=50° , BP平分NABC, CP平分NACB。求NBPC 的度数：（2）如图，若BP、CP分别为aABC的外角NABC、NECB的平分线，且NA=50° , 求NBPC的度数：（3）如图，若CP平分NACE, BP是NABC的平分线，ZA=50°求NP。【

3、方法归纳】涉及到三角形的内外角平分线的问题常常可借用如下三个基本图形和基本结 论：（1）如图，若点P是NABC和NACB的平分线的交点（即三角形两内角平分线相交所成的角）,则NP=90° +NA；（2）如图，若点P是NABC和外角NACE的平分线的交点（即三角形一内角平分线和 一外角平分线相交所成的角），则NP=NA：（3）如图，若点P是/CBF和NBCE的平分线的交点（即三角形两外角平分线相交所成的角）,则NP=90° -ZA.3 .问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图a,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点.BM与CN相交于点0

4、,若N BON=60,则 BM=CN；如图b,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点.BM与CN相交于点0,若N BON=90,则 BM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图c,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点.BM与CN相交于点O,若N BON=108,则 BM=CN；任务要求：(1)请你从，,三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索：i、如图d,在正n(n> 3)边形ABCDEF中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于 点0,试问当NB0N等于多少度时，结论BM=CN成立?(不要求证明)ii、如图e,在正五边形ABCDE

5、中,M、N分别是DE、AE上的点.BM与CN相交于点O.若 NBONT08时，试问结论BM=CN是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立。请说 明理由。例1.如图，ZkABC的外角NACD的平分线CP与内角NABC的平分线BP交于点P,若NBPC=40° ,则NCAP=o2 .如图，在凸六边形ABCDEF中，已知NA+NB + NC=ND+NE+NF,试证明: 该六边形必有两条对边是平行的.3 .如图所示，六边形 ABCDEF 中，NA=ND, NB = NE, ZC=ZF,求证：AFCD.4 .如图，求N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7 的度数。26二.角平分线模型模型1角平

6、分线上的点向两边作垂线 如图，P是NMON的平分线上一点，过点P作PA1OM于点A, PBXON于点B。结论：PB=PAo模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相 等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例1 1).如图，CP、BP分别平分AABC的外角NBCM、NCBN.求证：点P在NBAC的平分线 上.模型2截取构造对称全等如图，P是NMON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA,连接 PBo结论：OPBgZkOPA。M模型分析:利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得

7、到对应边、 对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图所示，在AABC中，AD是4ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的 任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由：（2）如图所示，AD是AABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB 的大小，并说明理由。例1.如图，已知在4ABC中，ZC=2ZB, AD平分NBAC交BC于点D, 求证：AB=AC+CDa2 .如图，在ABC 中，ZBAC=60° , ZACB=40° , P、Q 分别在 BC、AC ±,并且 AP、BQ分别为NBA

8、C、NABC的角平分线上.求证：BQ+AQ = AB + BP模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是NMO的平分线上一点，AP±OP于P点，延长AP于点Bo结论：AAOB是等腰三角形。模型分析：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三 角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起 来模型实例如图，已知等腰直角三角形ABC中，ZA=90° > AB=AC, BD平分NABC,CEXBD,垂足为 Eo 求证：BD=2CEo模型4角平分线+平行线如图，P是NMO的平分线上一点，过点P作PQ/7ON,交0M于

9、点Q。结论：APOQ是等腰三角形。模型实例如图所示，在4ABC中，EFBC,点D在EF上，BD、CD分别平分NABC、ZACB, 写出线段EF与BE、CF有什么数量关系，三.中点模型模型1倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形模型分析如图，AD是4ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD,易证：AADCAEDB (SAS)o如图，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD,易证：AFDBAFDC (SAS)o当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。模型实例如图，在AABC中，D为BC的中点.求证：AB + AC2AD：(2

10、)若AB=5, AC = 3,求AD的取值范围.(1).如图.AD是4ABC的中线,E是AC上的一点,BE交AD于F,已知AC=BF,NDAC=35。，ZEBC=40<> ,则 NC=.(2),已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作交AE于点F, DF=AC.求证：AE平分(方法1：倍长AE至G,连结DG方法2：倍长FE至H,连结CH)(3),已知：如图3, AD是aABC的中线，NBAC=/ACB,点Q在BC的延长线上，QC=BC,求证：AQ=2AD.(4).如图，已知在4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC 于点 F, AF=EFO

11、 求证：AC=BEo四.直三角形中点例1.如图，已知NAOB=90° , OM是NAOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA, 0B交于点C, D.求证：PC=PD.例2.D为等腰斜边AB的中点，DM1DN,DM.DN分别交BC,CA于点E.F。 当绕点D转动时，求证DE=DF.若AB=2,求四边形DECF的面积.1.已知 RtABC 中，AC=BC, ZC=90° , D 为 AB 边的中点，ZEDF=90° , NEDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交AC、CB （或延长线）于E、F.当NEDF绕D点旋转到DE_LAC于E时（如图

12、1）,易证.+ SCEF =SABC当NEDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否 成立？若成立，请给予证明：若不成立，Sa Scef，S.® 又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证明.EI)8)c五.截长补短如图，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法。截长法：如图，在EF上截取EG=AB,再证明GF=CD即可。补短法：如图，延长AB至H点，使BH=CD, 再证明AH=EF即可。截长补短(1) .如图.四边形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD=60° , ZBCD=120° 求证：AC=

13、BC+DC.(2) .如图，ZABC+ZBCD=180° , BE、CE 分别平分NABC、ZBCDo求证：AB+CD=BCc(3) .如图，已知AABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，连接AD, E为AD上一点，且满足AB=AE,连接BE,交AC于点F.求证：AD=AF+CD(4) .已知，AD为AABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，且HC = AB如图1,求证：ZB=2ZC： 如图2,若AF平分NBAC,求证：AC=AB + BF： 在(2)问的条件下，求证：AC=FC + 2DF.DHD F H六.三垂直全等模型如图，ZD=ZBCA=ZE=90° ,

14、BC=ACa 结论：RtABCDRtACAEo模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位, 很多用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几 何图形去求解。图和图就是我们经常会见到的两种弦图0模型实例1 .在ABC 中，ZACB=90° , AC=BC,直线 MN 经过点 C,且 ADLMN 于点 D, BE±MN于点E。（1）当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，求证：DE=AD-BE：（3）当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，线段DE

15、、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不用证明。2 .如图，ZBCA= a , CA=CB, C, E, F分别是直线CD上的三点，且NBEC=NCFA =。，请提出对EF, BE, AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明.3如图点 C 在线段 AB 上，DA_LAB, EBXAB, FC1AB,且 DA=BC, EB=AC, FC=AB,ZAFB=51° ,则 NDFE=七.手拉手模型模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。通常以两个等边三角形、两个等腰直角三角形或两个正方形等图像的形式出现如图，直线AB的同一侧作4ABD和4BC

16、E都为等边三角形，连接AE、CD,二者交点为Ho求证：(1) AABEADBC：(2) AE=DC：(3) ZDHA=60° ：(4) AAGBADFB：(5) AEGBACFB：(6)连接 GF, GFAC：(7)连接 HB, HB 平分NAHC“1、由正多边形的定义知等边三角形的三条边都相等，每个内角都等于60。如图,AABC、CDE都等边三角形。(1)试确定AE、BD之间的大小关系：(2)若把4CDE绕C点按逆时针旋转到图的位置时，上述结论仍成立吗？请说明理由。(2)如图.D 是aABC 外一点.AB=AC=BD+CD, ZABD=60° 求NACD 的度数.如图，A

17、 ABC 是正三角形，NADC=120" ,求证：BD=AD+CD.(4)如图，点是等边内一点,将绕点按顺时针方向旋转得，连接.求证：是等边三角形：当时，试判断的形状，并说明理由；探究：当为多少度时，是等腰三角形？A八.半角模型如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若NEAF=45°探究图中 线段BE, EF, FD之间的数量关系.(1)如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD=120° , NB = NADC=900 .E, F 分别 是BC, CD上的点，且NEAF=60° .探究图中线段BE, EF, FD之间的

18、数量关系并证 明.1 .问题：如图（1）,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45° ,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把4ABE绕点A逆时针旋转90°至AADG,从而发现EF=BE+FD,请 你利用图（1）证明上述结论.【类比引申】如图（2）,四边形ABCD中，NBADW90° , AB=AD, ZB+ZD=180° , 点E、F分别在边BC、CD上，则当NEAF与NBAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图（3）,在某公园的同一水平而上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB =AD=80 米，Z

19、B = 60° , ZADC=120° , ZBAD=150° ,道路 BC、CD 上分别有 景点E、F, ZEAF=75°且AE_LAD, DF=40米，现要在E、F之间修一条笔直道路, 求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：书141, 1.73）构造等腰三角形的常用方法角平分线+平行线=等腰三角形角平分线+垂线（或高）=等腰三角形线段中垂线构造等腰三角形将2倍角转化为相等角构造等腰三角形（1） .等腰三角形一边上的高等于某边的一半，则它的顶角度数为（2） .请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形（在图中 画出分割线，并标出必要的角的度数）.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三 角形的“三阶等腰线工请你在图1,图2中用两种不同的方法画出顶角为36o的等腰三角形的“三阶等腰线”， 并标注每个等腰三角形顶角的度数.（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为 同一种）.如图3,AABC中,NB=36。.AD和DE是AABC的“三阶等腰线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD.DE=CE,设