概率论与数理统计练习题

1、概率论与数理统计练习题、填空题 1、设A、B为随机事件，且 P(A尸，P(B尸，P(BA尸，则P(A+B)=。2、？，2是常数 的两个 无偏估计量，若D(?) D(与，则称？比？2有效3、设 A、B 为随机事件，且 P(A)=, P(B)=, P(AUB)=,则 P(ab )=o4.设随机变量X服从0,2上的均匀分布，Y=2X+1,则D(Y)= 4305 .设随机变量X的概率密度是：f (x)3x20 x1 ,且 p x0 其他3xy20,0 x 2,0 y 1 ,则 E(Y)= 340其他10.随机变量X的概率密度函数f (x)1 x2 2x 1e则 E(X)=6 .已知随机向量(X, Y)

2、的联合密度函数f(x - f ( x, y )7 .若随机变量XN (1, 4), YN (2, 9),且X与Y相互独立。设Z= X-Y+ 3,则Z N (2, 13)。8 .设 A, B为随机事件，且 P(A)=, P(A-B)=则 P(A B) _ 。9 .设随机变量X N (1,4),已知=,二，则P X 211 .已知随机向量(X, Y)的联合密度函数f(x v) xy, 0 x 2,0 y 1 ,则E(X)= 43f(x,y) 0,其他12 .设 A, B为随机事件，且 P(A)=, P(AB)= P(AB),则 P(B)=13.设随机变量X N(2),其密度函数f (x)1x2 4

3、x 46,则(X EX ) MDX",则 DY=114 .设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y15 .随机变量X与Y相互独立，且 D(X)=4, D(Y>=2,则D(3X -2Y )= _44 11116 .三个人独立地向某一目标进行射击， 已知各人能击中的概率分别为则目标能被击中 5 4 3的概率是35_17 .设随机变量 X N (2,2),且 P2 < X <4=,则 PX < 0=_。18 .设随机变量X的概率分布为P(X 1) 0.2,P(X 2) 0.3,P(X 3) 0.5 ,则X的期望EX=19 .设(X, Y)的联合概率

4、分布列为-104-21/91/32/911/18ab若X、Y相互独立，则a=1/6 , b = 1/9 。20 .设随机变量X服从1, 5上的均匀分布，则P2 X 41/2。21 .设随机变量XN(1, 4),则P |X| 2 =。(已知=,二)22 .若随机变量XN (0, 4), YN (- 1, 5),且X与Y相互独立。设Z= X+ Y- 3,则ZN (4, 9)。23 .设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3P X 2 P X 4 ,则 =6。24 .设随机变量X的概率分布为X-1012P25.26.1设随机变量X的概率密度函数f(x) 亍ex22x1,则 Jd(x)咤某人投篮，每次命

5、中率为，现独立投篮 5次,恰好命中4次的概率是C540.740.3127.,则 c=-228.随机变量X N ( ,4),则Y 工_2N(0,1)。29.30.设随机变量XN (2, 9),且PX a = PX a,则a= 2 。称统计量 为参数 的无偏估计量，如果E( )= 0、选择题1.设随机事件A与B互不相容，且P(A) P(B) 0,则(D )A. P(A) 1 P(B) B. P(AB) P(A)P(B) C. P(A B) 1D. P(AB) 12.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为(A )。22A/B.C2CIC.2!P422!D. 一4!3.设随机变量

6、Xf (x),满足 f (x)f( x),F(x)是x的分布函数，则对任意实数2有(A.aF( a) 10 f (x)dxB.F( a)a0 f(x)dxC. F( a) F(a)D.F( a) 2F(a) 14.设A, B为随机事件，P(B) 0,P(A|B)1,则必有(AA.P(A B) P(A) B. A BC. P(A)P(B)D.P(AB)P(A)注：答案应该为A,因B不严谨，A和B可以相等。5.设Xi,X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是A )0“)1、，1、，A.Xi X222B.)12X1 二 X233C. )4X1：X2D.) 2X1 3X2556.、已知

7、A、B、C为三个随机事件，则A、B C不都发生的事件为(A)。A.ABCB. ABCC.A+B+CD. ABC7.(X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y) 0不等价的是(D )A.E(XY) E(X)E(Y) B. D(X Y) D(X) D(Y) C. D(X Y)D(X) D(Y)D.8.A.9.A.Y相互独立设总体X N( ,22),其中未知，Xi, X2,方差为s2 ,则下列各式中不是统计量的是(2XC. X若随机事件A与B相互独立，则P(A B)=P(A) P(B) B. P(A) P(B) P(A)P(B)10.若A与B对立事件，则下列错误的为(,Xn为来自总体的样本，样本均值

8、为C )oD.B )0样本A. P(AB) P(A)P(B) B. P(A B) 1C.11.设随机事件A、B互不相容，P(A) p,P(B)A. (1 p)qB. pqC. q12.设 xx,(n 1)s22C. P(A)P(B) D. P(A) P(B)P(A B) P(A) P(B)q ,贝U P(AB)= ( C )。D. P2, 4是一组样本观测值，则其标准差是(B )0D. P(AB) 0i nA. n i ：ii(xix)2B.1n (xi x)2 n i i ic i n , C.(xin i ix)2D.-n in(xi x)i13.设随机变量XN(内9), YN(%25),

9、记piPX3, P2 Y(B )。A.pi<p2B. pi=p2C. pi >p2D. pi与p2的关系无法确定14.若事件A,A2,A3两两独立，则下列结论成立的是B )0A. A, A2, A3相互独立B. A, A2, A3两两独立D. Ai, A2, A3相互独立C. P(AiA2A3) P(Ai)P(A2)P(A) 15.设随机变量XN(4,9),则(A) E(X) 2(B) D(X)(0 D(X) 9(D)以上都不是三、计算题i.已知连续型随机变量 X的概率密度为f(x)a x0,0 x i其它求(i) a；(2) X的分布函数F (x);(3)P ( X >0解

10、：f (x)dx3/2(2)当 x0时,F(x)f(t)dtx i时,F(x)f(t)dt“tx3/2i时,F(x)f (t)dt0, 故 F (x) x3/2 i,(3) P (X>74) =iF(#4)=782 .已知连续型随机变量X的分布函数为2 x F(x) A Be 万，x 0 0,其它求(i) A, B;(2)密度函数 f (x); (3) P (i<X<2 )(1) lim F(x) A 1 x解： lim F(x) A B 0 x 0B 1x 1/2 xef(x) F (x)0, P (1<X<2) =F(2)-F(1)=e 1/2 e 23 .设

11、随机向量(X, Y)联合密度为Ae (2x 3y), x 0,y 0;f(x, y)=甘0,其它.(1)求系数A;(2)判断X, Y是否独立，并说明理由;(3)求 P (X X< 2, 0<Y< 1。f(x,y)dxdy 0 0 Ae(2x3y)dxdy A oe 2xdx e 3ydy =0A( 1e2x2)(1e 3y3(2)因(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为2x, 2e仅(x) =0,x 0;其它.3e y fY(y)=Qy 0;其它.则对于任意的(x,y) R2,均成立f (x, y)= fX(x)* fY(y),所以X与Y独立，入一2八1八(2x 3y)dx

12、dy 2e 2xdx3e 3ydy002x=(e2)( e 3y0八10) (1 e4)(1 e3).4.某车间生产滚珠，其直径 XN (,从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下(单位:毫米)：若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为的置信区间(已知 :to.05(9)=2.262, to.05 (8)=2.306, Z 0.025 =1.960 )P| U | U0.0250.95解：由于滚珠的直径X服从正态分布，所以U 上N(0,1)9经计算 X -9Xi 14.911i 1/ - n所以 的置信区间为：(X U0.025 -y=,X U0.025的置信度为的置信区间为1X5

13、分(14.911 1.96 等,14.911 1.96萼)即,5.工厂生产一种零件，其口径X(单位:毫米)服从正态分布N( , 2),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下：已知零件口径X的标准差0.15,求的置信度为的置信区间。(已知 :t0.05 (9)=2.262, t05 (8)=2.306, U0.0251.960 )解：由于零件的口径服从正态分布，所以U -一lN(0,1)/ .nP| U | U0.0250.95所以 的置信区间为：(X u0025 k,X u0 025 ,n经计算9Xi14.91的置信度为的置信区间为(14.9 1.96%5,14.9 1.96 0

14、35) 即1一6.设总体X服从参数为1的指数分布，Xi,X2,X3,K ,Xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。1n 1n解：L Fef 1 ehi 1一 ,11nln L nln xii 1 id ln Ldn 1 n2i 1Xi07.已知P(A) 1/ 4,P(B| A) 1/ 3,P( A| B) 1/2,求 P(AUB)。已知 P(A) 1/4,P(B|A) 1/3,P(A|B) 1/2,求 P(AUB)112-P(AB) 111解：P(B|A) 1/3() P(AB) P(A) 一P(A) 333P(AB) 11P(A| B) 1/2P(B) 2P(AB) 2 P(B)212P(A

15、UB) P(A) P(B) P(AB)11114 6 12 38.设总体X的概率分布为X0123P22 (1)21 2其中(01/2)是未知参数，利用总体X的如下样本值：3,1,3,Q2,3,求 的矩估计值和极大似然估计值.22(1) EX 01 2 (1)23(12) 3 4,令EX X,可得 的矩估计量为？(34根据给定的样本观察值计算X 1 (3 16X),因此的矩估计值(2 )对于给定的样本值似然函数为L()2 5(1 2 )3(1)ln L( ) ln 251n31n(1 2 )ln(1 )令 dlnL()* d18 2 225 0(12 )(1)可得的极大似然估计值11 、311811311810分9. (10分)设总体X的概率密度为f(x)e0,0为未知的参数)，而的矩估计量和极大似然估计量。Xi , , xn为总体X的一个样本。试求未知参数解：E(X) x e xd