初一数学竞赛专题26奇偶分析

1、专题26奇偶分析阅读与思考整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属 性，即奇数W偶数.由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性 来解决问题的方法叫奇偶分析.运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：1 .奇数W偶数.2 .奇数土奇数=偶数，奇数土偶数=奇数，偶数土偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数 的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.3 .若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数4 .若a是整数，则a与a, -a, an （ n为自然数）有相同的奇偶性 .5 .设a, b是整数，则a+

2、b, ab, a+b , ab都有相同的奇偶数6 .偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是 4的倍数加1.例题与求解【例1】 数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,的排列规律是：前两个数是 1,从第三个 数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2 004个数中共有一个偶数.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律【例2】 如果a, b, c都是正整数，且a, b是奇数，则3a+（b1）%是（）.A.只当c为奇数时，其值为奇数B.只当C为偶数时，其值为奇数C.只当C为3的倍数时，其值为奇数D

3、.无论C为任意正整数时，其值均为奇数（五城市联赛试题）解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择.【例3】 能否找到自然数 a和b,使a2 =2002+b2.（“华罗庚金杯”邀请赛试题）解题思路：假设存在自然数 a和b,使等式成立，则（a + b）（ab） =2002 ,从a+b, a b的奇偶 性展开推理.例4在6张纸片的正面分别写上整数1,2, 3, 4, 5, 6,打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上 16这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出 6个 数，请你证明：所得的 6个数中至少有两个是相同的.（北京市竞赛试题）解题思路：从反面入手，即设这 6个

4、数两两都不相等，利用ai -bi|与ai biG=1, 2, 3, 4, 5, 6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.例5表甲是一个英文字母电子显示盘， 每一次操作可以使某一行 4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变成B, B变成C最后字母Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变 化过程，如不能，说明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲表乙（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否

5、能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.【例 6】 设 x1 , x2,xn为+ 1 或一1,并且 x1x2x3x4+x2x3x4x5+x3x4x5x6 + -+xnxn/xnxn+ Xn/XnXnXi +*门%*#2 +4x1x2x3 =0.证明 n 能被 4 整除.解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易.能力训练1.若按奇偶分类，则11十22十33十一十201 12011是2.已知a是质数，b是奇数，且2a +b =2001 ,贝U a +b =（江苏省竞赛试题）3.若质数m , n满足5m

6、 +7n =129 ,则m +n的值为.（河北省竞赛试题）4,在12, 22, 32,，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有 个.（全国初中数学联赛试题）5 .将1, 2, 3, 4, 5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和 都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有（）种.A. 2B. 3C. 4D. 56 .设a , b为整数，给出下列四个结论（1）若a +5b是偶数，则a3b是偶数（2）若a +5b是偶数，则a-3b是奇数（3）若a +5b是奇数，则a-3b是偶数（4）若a +5b是奇数，则a-3b是奇数其中正确结论的个数是（）.A. 0B

7、. 2C. 4D. 1 或 3（“五羊杯”竞赛试题）一,a b b c c a7 .如果a, b, c是三个任意整数，那么 , ,一（）.A.都不是整数B.至少有两个是整数C.至少有一个是整数D.都是正数（“T1杯”全国竞赛试题）8 .将1 000到1 997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中,奇数的个数至多有（）.A.499 个B. 496 个C. 996 个D. 995 个9 .设 a1，a2,a® 是 1, 2, 3,，1999 的一个排列，求证：1)+(a? 2) +(a999 -1999)为偶数.10 .在黑板上记上数1, 2, 3,，1

8、 974,允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零.（数学奥林匹克竞赛试题）11 .你能找到三个整数 a , b , c ,使得关系式（a+b+c） （ab+c） <a + bc） （b + c a） =3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由 （“希望杯”邀请赛试题）12 .设标有A, B, C, D, E, F, G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关 .现在A, C, E, G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯 A开始，顺次拉动开关，即从 A到G,再从A开始顺 次拉动开关，即又从

9、A到G,，他这样拉动了 1 999次开关后，问哪几盏是开的？专题26奇偶分析例1 668提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是：从第一个数开始，每组连续的3个数中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004+3= 668.所以前2004个数中共有668个偶数.例2 D22例3假设存在自然数a和b,使a = 2002 + b .则（a+b） （a b） = 2002 = 2x 1001若a, b同为奇 数或同为偶数，则（a + b） x （a b）必定是偶数X禺数"；若a, b为一奇一偶，则（a+b）（ab）必 定是 奇数 X数”上述两种情况均与等式右边的偶数 X数”相矛盾，故找不到自

10、然数a和b,使22a = 2002 b例4提示：设6张卡片正面写的数是“a2, a3，%，a5，% ,反面写的数对应为 心与力印4力5，灯,则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为a1 一 b1 , a2 b2，a6 一 b6设这6个数两两都不相等,则它们只能取0,1,2,5这6个值，于a1 h , a2 b2，,a6 一 b666= 0+1 + 2+ 5=15是个奇数.又 ai - biai -b（i = 1, 2, 3，6）的奇偶性相同，所以a _ b + a9 _ b + . + a _ bR1122o6al-bla2 -b2.a6 -b6= al a6 ；一沙1+ b2+. +

11、b6)=0 的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾 例5提示：不能，理由如下:A用1, B用2,，Z用26代替），这样将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁:19 15 2 1820 26 6 16815 3 14142224表丙11 241985 24 718 202 1936 25 1表丁这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换:1 一2, 23,，2526, 26 1.16个数字的和分别为 213, 174,它显然，每次操作不改变这 16个数字和的奇偶性，但表丙、表们的奇偶性不同，故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙.xxxxxxxx xxx

12、x例6由于乘积“x-4, x - 5，., 。入3都是+ 1或一1,且总和为0.所以一定有偶数项，即n一定是偶数2m.将上面的n个数相乘，一方面，其中的+ 1和一1各有m个，所以它们的乘积为（一1），另一方面，m在乘积中，X1，x2，.，X n作为因数都出现四次，所以乘积为+ 1,于是（-1）=1, m为偶数，故n是4的倍数.【能力训练】1 .偶2 2一一一 一.一 ,一2.1999提小：由a +b = 2 001知a ,b必为一奇一偶.又a是质数且a为偶数.，a=2, b= 997,故 a + b= 1 999.3. 19 或 252 O222c24. 19提示：在1，2，. 10中，十位数

13、子是奇数的只有4 =16, 6 =36,两位数的平万可以表示为2（10a +b） =100a2 +20ab+b2 ,它的十位数的奇偶性与 b2十位数字的奇偶性相同，因此， b只能取4与6,即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇数.5. D提示：设a1，a2，a3，a4,a5是i, 2, 3, 4, 5中一个满足要求的数列，首先，对于包，,久，药,不能连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果ai (1wiW3)是偶数，ai +是奇数，则a不是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个 奇数是最后一个数.所以，a a 2，a 3，a 4，a

14、5只能是偶奇奇偶奇，故有如下5种情形满足条件：2 ,1, 3, 4, 5;2, 3, 5, 4, 1;2, 5, 1 , 4, 3;4, 3, 1 , 2, 5;4, 5, 3, 2, 1.6. B 7. C 8. Da1-1a2-2- .a1999- 1999 ) = ：a1a2a1999- 12.1999 ) = 09 .10 .考虑黑板上保留奇数的个数.经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则和或差仍为奇数，奇数的个数保持不变.如果是两个奇数，则和或差为偶数.奇数的个数减少2个；如果是两个偶数，则和或差为偶数.奇数的个数保持不变.由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变.1974；-二987由于一开始黑板上共有2奇数，即有奇数个奇数.经过若干次操作后，黑板上一定仍保留着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为0.11 .找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数a, b, c满足等式，则左边四个式子中至少有一个是偶数，不妨 a+b+c 为偶数，则 ab+c= (a+b+c)2b, a+ bc= (a + b+c) 2c, (b + c a) (a+b