圆锥曲线解题方法技巧归纳

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan ,0,)点到直线的距离dAx0 By C夹角公式：tan7 A B21 k2ki(3)弦长公式直线 y kx b上两点 A(xi,y) B%9)间的距离：| AB Ji k2|xi x2(1 k2)(xi X2)2 4x1X2或 1AB j 土访 y2(4)两条直线的位置关系 11 i2k1k2=-1 l1/l2k1 k2且b1 b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式) 22标准方程：1(m

2、 0, n 0且m n) m n距离式方程：，(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a参数方程： x acos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程： 1(m n 0) m n距离式方程：| .(x c)2 y2 - (x c)2 y2 | 2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?22如：已知F1、F2是椭圆 3 七1的两个焦点,平面内一个动点M满足MFi MF2 2则动点M的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，Sfpf b2 tan-122（其中 F

3、1PF2,cos|PFi|2 IPF2I2 4c2 器？器,PF1 . PF2I PFi | | PF2 |umr ULULTIPF1II PF2 1cos ）(6)、记住焦半彳5公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a ex0;焦点在y轴上时为a ey0 ,可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在x轴上时为e|xo| a(3)抛物线焦点在x轴上时为|xj ,焦点在y轴上时为|yj p(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？_ 第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)22B32 , M a,b为椭圆）方1的弦AB中点则有2222x1y11x2y24343221;两式相减得小工422vy23

4、xx2 xx2y y2 y y23kAB3a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b,就意味着k存在。例1、已知三角形A

5、BC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点A是椭圆短 轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程;（2）若角A为900 , AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的 斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB，AC,从而得X1X2 y1y2 14（yi N2 16 0,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；2222解：(1)设B (x/) ,C(X2,y2 ),BC中点为诲.)尸(2,0则有: 荒 噫 亲1两式作差有(X1 x2)(x1

6、x2)(y1 y2)(y1 门)0 0纪 0(1)201654F(2,0)为三角形重心S所以由2,得x0 3,由y1 y2 4 0得y02,33代入(1)得k 65直线BC的方程为6x 5y 28 02)由 AB，AC 得x1x2 y1y2 14(y1 y2) 16 0(2)设直线 BC 方程为 y kx b,代入 4x2 5y2 80,得(4 5k2)x2 10bkx 5b2 80 0xx210kb4 5k2 xx22_5b 804 5k2y1 y28k4 5k2,yy24b2 80k24 5k2代入（2）式得_2 _9b 32b 164 5k20 ,解得b 4（舍）或b4.y直线过定点(0

7、,-),设 D (x,y),则9 -1,即 9y2 * 4 9x2 32y 16 09x x所以所求点D的轨迹方程是x2 (y)2 (即)2(y 4)。993、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中AB 2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当3”求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质, 推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy ,如图，若设C 2,h2Xe L，Ye L ,再代入与 a22，代入今当1 ,求得h L ,进而求得 22a b24 1,建立目标函数f(a,

8、b,c, ) 0,整理f(e, ) 0, b2此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c,)0,整理f(e, )0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy,则CD，y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记a c,0，c卦E X0, y0 ,其中 c 2 |AB |为双曲线的半焦距，h是梯形的高,由定比分点坐标公式得h y0122设双曲线的方程为4 1, a b则离心率e ca由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e c代入双曲线方程得a2一2e22h2

9、T -11 b2.22由式得。土 1,b 4将式代入式，整理得2 e一4412,4故1 -23-e2 1由题设23得，2 1上334 3 e2 2 4解得7 e .10所以双曲线的离心率的取值范围为 方,而 分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE , AC用E,C的横坐标表示, 回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，AE a exE , AC a e% ,c产又揭厂，代入整理3得, 423312 -3 e2 2 4解得.7 e .10所以双曲线的离心率的取值范围为 后,而 4、判别式法例3已知双曲线c之 1,直线l过点aG。，斜率为k,当0 k 1时，

10、22双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线l的距离为近,试求k的值及此时点B 的坐标分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形 结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对 照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代 数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：l: y k(x ,2)0 k 1分析2:如果从代数推理白傩度去黑磬乎就跑雪把底离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为 血”，相当于化归的方程有唯一解.占J 、)V，令判别式由于0 k 1 ,所以V2 x2x kx,从而有则点M到

11、直线l的距离于是关于x的方程k 1可知:方程k2 1 x2 2k 2(k2-1)、2kx一22,2(k2 1) ,2k2 0的二根同正，故2(k2 1)72k kx 0恒成立，于是等价于k2 1 x2 2k . 2(k21)2kx 2(k2 1)22k 2 0.由如上关于x的方程有唯一解,判别式。，就可解得kT点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C：x2 2y2 8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于A、B两 点，在线段AB上取点Q,使黑 黑，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰

12、，学生往往不知从何入 手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是选定参数, 然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的 目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率k 作为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面AP AQ就是运用题目条件：-QB来转化.由a、& p、Q四点共线，不难得到x 4(Xa Xb) 2XaXb、要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方8 (XA XB)程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已

13、经做到心中有数二在得到x f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x, y的方程(不含k),则何由y k(x 4) 1 解得 k将直线方程代入椭圆方程，消去 y,利用韦达定理口，直接代入 x 4X f k即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程简解：设AXM ,B(x2, y：VQ氏Q尹则由BAP程：用取得)+_1- PB QB+1 ，4肖叫1数x x1 , x2 4 x2 xI点Q的轨迹方 解之得：x 4(X1 X2) 2X1X28 (xiX2)(1)设直线AB的方程为:y k(x 4)代入椭圆C的方程，消去y得出关于X的一元二次方程:2,22k 1 x4k(1

14、4k)x2(12_4k)8 04k(4kx x22-2k2,.、2J)1代入(1),化简得x 2 k 2与y k(x 4) 1联立，消去k得:2xy 4 (x 4)0.2(1 4k)8X X2-2 2k 1还，结合(3)可求416 2.10、x ).在(2)中，由 64k2 64k 24 0 ,解得2-得 16 2 1016 2 101 - x .99故知点Q的轨迹方程为：2x y 4 0(电会五点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方 程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在 应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何

15、综 合问题求解的一条有效通道.5、求根公式法22例5设直线l过点P（0, 3）,和椭圆- 上1顺次交于A、B两点，试求-94PI的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：竺=%，但从此后却一筹莫展，PB Xb问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1从第一条想法入手，*XA已经是一个关系式，但由于有两个变量Xa,Xb,同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量一直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转

16、化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得出关于X的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.当k 0时,0的情形.y kx 3,代入27k 6 9k2 5Xi2) X29k 427k 6 9k2 529k2 4所以由所以APXi _ 9k 2 9k2 5 _18k_=-1 = 118 PBx29k 2.9k2 5 9k 2,9k2 59 2 9 59.9 k29，AP 1 .PB 5则应该考虑到：判别式往往是产(54k)2 180 9k2 40,解得 k211181,综上 19 2 95 25k分析2:如果想构造关于所求量的不等式， 生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定

17、k的取值范围，于是问题转 化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 竺 上不是关于X1,X2的对称关 PBx2系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于X1,X2的对称关系式.简解2:X1X1X2y得令土X2从而有5.综上，在(*)中，由判别式 Q可得k224笔一蛆，所以45k205结合01得11.5彳 AP 11.PB 5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式 法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合 的角度入手，给出又一优美解法解题犹如打仗，不能只是

18、忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知着，树立 全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性 质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过 程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要 性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己 的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B, O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF FB

19、 1 , of- 1 . ( I )求椭圆的标准方程；(II)记椭圆的上顶点为M ,直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线 1,使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理 由。思维流程:/ T uuur uuu(由 AF ?FB 1 ,(a c)(a c) 1 ,(n)由F为 PQM的隼:写山椭副方 F元解题过程： f 两根之(I)如图建系，设椭圆方程为22打工a2b2得出关于解出m又 AF FB 1 即(a c) (a c)1 a21(a b 0),则 c 1x2故椭圆方程为：y2 1(H)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设 P(X1,

20、 y1), Q(x2, y2),M(0,1),F(1,0),故 kpQ 1,于是设直线l为y x m,由y x m2222 得，3x 4mx 2m 2 0x2 2y2 2uur uur MP FQ 0 x1(x2 1) y2(y11)又 yixi m(i 1,2)得 x1(x2 1) (x2 m)(x1 m 1)22x1x2 (x1 x2)(m 1) m m 0由韦达定理得4 ,4解得m 3或m1 (舍)经检验m 3符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A( 2,0)、B(2,0)、C 1,3

21、 三点.2(I )求椭圆E的方程:(H)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0),当4DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标;思维流程:(I)由椭圆经过A、B、C*设方程为得到m, n的方2 mx-(n)ny2 1二转化为DFH面积最解题社从坐标3色对值最,、(I)望椭圆噂程为B(2,0)、4m 1,9 解得m -, n m - n 144CDF,3)艘麻僻E的3琲D为椭圆轴轴1 m 0, n 02L 1322mx ny椭圆E的方程2(H) 1FH1 2 设DFH 边上的高为 SDFH 2 2 h h当点D在椭圆的上顶点时，h最大为百，所以S dfh的最

22、大值为V3 .设ADFH的内切圆的半径为R,因为ADFH的周长为定值6.所以,八1 C八S DFH R 62所以R的最大值为 夸.所以内切圆圆心的坐标为(。,争点石成金:S的内切圆1的周长2r的内切圆例8、将 y k(x 1)代入 x2 3y2消去y整理得(3k2 1)x26k2x 3k2 5 0.设 Nx y1), B(x2, y2),36k4 4(3k2 1)(3k2则6k2x1 x2记1.5)白线段AB中点的横坐标是得 Xi x23k23k2 1解得k亭，符合已知定点C( 1,0)及椭圆x2 3y2 5,过点C的动直线与椭圆相交于A, B两点.(I )若线段AB中点的横坐标是 二，求直线

23、AB的方程；2(n)在x轴上是否存在点m ,使MA而为常数？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由思维流程：(I)解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y k(x 1),题意。所以直线AB的方程为x岛0 ,或 x 73y 1 0.(H)解：假设在x轴上存在点M(m,0),使MA MB为常数.当直线AB与x轴不垂直时，由(I)知6k23k2 5xix221x1x22.(3)3k 13k1uur uuur2MA MB(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m) k(x11)(x21)(k2 1)XiX2 (k2 m)(x1 x2) k2 m2.将代入，整理得MA MB (6m

24、 1* 5 m23k2 112(2m )(3k2 1) 2m 33k2 114m22m1 6m 14二 一 一23 3(3k1)注意到MA MB是与k无关的常数， 从而有6m 14 0uuur uuur 4 MA MB .9此时 当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为,uur uuur 亦有MA MB综上，在x轴上存在定点，使MA MB为常数.点石成金:uu uuur(6m 1)k2MA MB23k2 112(2m -)(3k2 1) 2m323k2 11433例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2, 1),平行于OM的直线1在y轴上的截距为

25、m (m#0)A、B两个不同点。(I )求椭圆的方程;(H )求m的取值范围;(田)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解:2(1)设椭圆方程为今 a24 1(a b 0) b2a 2b则412a b解得1a2 8b2 2椭圆方程为(H) .直线1平行于OM ,且在y轴上的截距为又 KOM= 21的方程为:1 y -x 由222 22x y82x2 2mx 2m2直线1与椭圆交于A、B两个不同点,解得(2 m)22 4(2m22,且m4) 0,0(m)设直线MA、MB的斜率分别为 k2,只需证明k1+k2=0即可设 A(xi, yi), B(x2,y2),且xix22m,

26、 xix22m24则kiyixii2，k2y ix22由 x2 2mx22m 4 0可得而kik2yi ixi 2y2ix2 2(yi i) d2) (y2 i)(xi 2)(xi 2)(x2 2)2m222m 4m 4mki k2(xi2)(x2 2)00故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形ki k20例I0、已知双曲线9 i的离心率e穹,过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是d求双曲线的方程;(2)已知直线ykx 5(k0)交双曲线于不同的点C, D且C, D都在以B为圆心的圆上,求k的值.思维流程:丁，原点到直线AB

27、:二X i的距离 a babab、a 2 b 2 c b i, a 3 .、32故所求双曲线方程为把y kx 5代入x 23 y 23中消去V,整理得(i223k )x 30kx 78 0.设 C(xi,yi),D(x2,y2),CD 的中点是 E(x,y),则即% : k ,又 k , k2故所求k= V7.BEX CD;点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上 BC=BD例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程； (II)若直 线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以 AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线1过定点，并求出该定点的坐标.思维流程：解：(I)由题意设椭圆的标准方程为2 y2-21(a b 0),b由已知得：a c 3, a c 1,a 2, c 1,222 cb a c 3椭圆的标准方程为2匕1.3y kx m,(II)设 A(x1，y1)，Bd, y2).联立 x2 y2143得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0 ,则22又 y1y2 (kx1 m)( kx2 m) k x1x2 mk(x1 x2) m3(m2 4k2)3 4k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD1,即y1.x1 2 x2