导数应用含参函数的单调性讨论教师版

1、导数应用：含参函数的单调性讨论教师版一、思想方法：讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解例1讨论f(x) x 9的单调性，求其单调区间 x解：f(x) x a的定义域为(，0) (0,) x2f'(x) 1 4 X 2 a (x 0)(它与 g(x) x2 a 同号) x xI)当a 0时，f'(x) 0(x 0)恒成立，止匕时“*)在(，0)和(0,)都是单调增函数，即f(x)的增区间是(，0)和(0,)；II)当 a 0 时 f'(x) 0( x 0) xta 或 x «此时”)在(，国和(Ta,)都是单调增函数，&

2、quot;*)在(4a ,0)和(0, Ja)都是单调减函数，即f(x)的增区间为(,V)和(G )；f(x)的减区间为(Va,0)和(0,va).步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数(化为乘除分解式，便于讨论正负)，3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况，4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负，以其零点分界)，5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习1：讨论f(x) x alnx的单调性，求其单调区间解：f (x) x alnx的定义域为(0,)f'(x) 1 a x一a(x 0)(它与 g(x) x a 同号) x xI)当a 0时，f'

3、;(x) 0(x 0)恒成立，此时f (x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,),不存在减区间；II)当 a 0时 f'(x) 0(x 0) x a;此时f(x)ft ( a,)为单调增函数，f(x)在(0, a)是单调减函数,即f(x)的增区间为(a,); f(x)的减区间为(0, a).例2.讨论f (x) ax ln x的单调性 解：f (x) ax lnx的定义域为(0,)f'(x) a 1 x1(x 0)(它与 g(x) ax 1 同号) x xI) 当a 0时，f'(x) 0(x 0)恒成立(此时f'(x) 0 x没有意义) a此时f

4、(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)II ) 当 a 0 时，f'(x) 0(x 0)恒成立，(此时f'(x) 0 x二不在定义域内，没有意义) a止匕时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)III)当 a 0时，令 f'(x) 0x1 a于是，当x变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象数,f (xpB (-,)是单调减函 a即f(x)的增区间为(0, 1)； f(x)的减区间为(-,). aa小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域 和连续性。即先求出f'

5、;(x)的零点，再其分区间然后定f'(x)在相应区间内的符 号。一般先讨论f'(x) 0无解情况，再讨论解f'(x) 0过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的)，即根据 f'(x)零点个数从少到多，相应 原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间(最好结合导函数的图象)确 定相应单调性。变式练习2.讨论f(x) 1ax2 lnx的单调性2解：f(x) 1ax2 lnx的定义域为(0,) 22f'(x) ax - ax(x 0),它与 g(x) ax2 1 同号.x x令 f&#

6、39;(x) 0ax2 1 0(x 0),当a 0时，无解；当a 0时，xn1圣(另一根不在定；a a义域内舍去)i)当a 0时，f'(x) 0(x 0)恒成立(此时f'(x) 0 x2没有意义) a此时“*)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)ii)当 a 0 时，f'(x) 0(x 0)恒成立，(此时方程ax2 1 0判别式 0,方程无解)止匕时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)iii)当 a 0时，当x变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定 号)x0增/减所以，止匕时“刈在(0二)为单

7、调增函数，“刈在(3,)是单调减 aa函数，即f(x)的增区间为(0 口)； f(x)的减区间为(.O,).a.、 a小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。对于二次型函数(如g(x) ax2 1)讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。例3设函数f(x)=x3-x2+ bx+ c,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为 y=1.(1)求b, c的值；(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)= f(x) + 2x,且g(x)在区间( 2, 1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解(1)f，(x) = x2ax+

8、b,由题意得即(2)由(1)得，f' (x) = x2ax=x(x a)(a>0),当 xC (8, 0)时，f，(x)>0；当 xC (0, a)时，f' (x)<0;当 xC (a, 十 °°)时，f，(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(一8, 0), (a,+8),单调递减区间为(0, a).(3)g (x) = x2 ax+ 2,依题意，存在xC ( 2, 1),使不等式g ' (x)= x2ax+2<0成立，即 xC (2, 1)时，a<(x+ ) max= 2,当且仅当乂=即乂=时等号成立.所

9、以满足要求的a的取值范围是(一8, 2).引申探究 ：在本例 3(3) 中，1 .若g(x)在(一2, 1)内为减函数，如何求解解 方法一 ,. g, (x) = x2-ax+2,且g(x)在(一2, 1)内为减函数，-g' (x)<0,即 x2-ax+2<0 在(一2, 1)内恒成立，.即解之得a< 3,即实数a的取值范围为(8, 3.方法二 g' (x)=x2ax+ 2,由题意可得g' (x)W0在(2, 1)上恒成立，即awx+在( 2, 1)上恒成立，又丫=乂+ , xC(2, 1)的值域为(3, 2,aw 3,实数a的取值范围是(一8, 3.

10、2 .若g(x)的单调减区间为(2, 1),求a的值.解.g(x)的单调减区间为(2, 1),-xi = -2, X2=- 1 是 g' (x)=0 的两个根, (2)+(1) = a,即 a = 3.3.若g(x)在(一2, 1)上不单调，求a的取值范围.解 由引申探究1知g(x)在(一2, 1)上为减函数，a的范围是(一8, 3,若g(x)在(2, 1)上为增函数，可知 anx+在( 2, 1)上恒成立，又 y= x+的值域为(3, 2, .a的范围是2, + 8),函数g(x)在(一2, 1)上单调时，a的取值范围是(一 00 , 一 3 U - 2, 十 °°

11、;),故g(x)在(-2, 1)上不单调，实数 a的取值范围是( 3 ， 2) 思维升华 已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a, b)上单调，则区间(a, b)是相应单调区间的子集.转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f (x)>0；若函数单调递减，则f' (x)w。”来求解已知函数 f(x) = exinx- aex(aCR).若f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线y=x+ 1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0, +8)上是单调函数，求实数a的取值范围.解(1)f' (x) = exinx+eX

12、aex=( a+inx)ex,f' (1)=(1 a)e,由(1 a)e = 1,得 a=2.(2)由(1)知 f' (x)=(-a+lnx)ex若f(x)为单调递减函数，则 f' (X)W0,在x>0时恒成立.即a+ lnxw 0,在x>0时恒成立.所以a> + lnx,在x>0时恒成立.令 g(x) = + lnx(x>0),则 g z (x)=- + = (x>0),由 g' (x)>0,得 x>1 ;由 g' (x)<0,得 0<x<1.故g(x)在(0,1)上为单调递减函数，在1

13、,+8)上为单调递增函数，此时g(x)的最小值为g(x)=1,但g(x)无最大值(且无趋近值).故f(x)不可能是单调递减函数.若f(x)为单调递增函数，则f' (x)>0,在x>0时恒成立，即a+ lnx>0,在x>0时恒成立，所以a< + lnx,在x>0时恒成立，由上述推理可知此时a< 1.故实数a的取值范围是(8,1.思想与方法赛列1 .已知函数f(x) lnx a.,求f(x)的单调区间. x解：函数的定义域为(0,+ ) , f x1鸟W, x x x2 .已知函数f(x)= -x2 ax+(a-1) lnx,讨论函数f(x)的单调

14、性，求出其单调 2区间。解：f(x)的定义域为(0,).(1)若a 1 0即a 1时，f'(x) 0 x 1; f'(x) 00x1(2)若a 1 0即a 1时，若a 1 1即a 2时，f,(x) 乂1>0,故£区在(0,)单调递增. x若0<a 1 1,即1 a 2时，由 f'(x) 0得，a 1 x 1；由 f'(x) 0得，0 x a 1或x 1故f(x)在(a 1,1)单调递减，在(0,a 1),(1,)单调递增.若a 1 1,即a 2时，由 f'(x)0得，1 x a 1;由 f'(x) 0得，0 x 1或x a

15、1故f(x)在(1,a 1)单调递减，在(0,1),(a 1,)单调递增.综上所述，当a 1, f(x)单调增区为(1,)，减区间是(0,1)； 当1 a 2时， f(x) 的减区间是(a 1,1)，增区间是(0,a 1),(1,) ；当a 2时，f(x)在定义域上递增，单调增区为(0,)(不存在减区间)；当a 2时，f(x)的减区间是(1,a 1),在增区间是(0,1),(a 1,).15.已知函数 f(x)= alnxax3(aC R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线的彳斜角为45°,对于任意的tC1,2,函数g(x)

16、= x3 +x2f' (x)+在区间(t,3)上总不是单调函数，求 m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0, +8),且 f' (x) = ,当a>0时，f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1, 十 °0)；当a<0时，f(x)的增区间为(1, +°°),减区间为(0,1)；当a = 0时，f(x)不是单调函数.由(1)及题意得f' (2) = -= 1,即 a= - 2,.f(x)=- 2lnx+ 2x-3, f' (x)=.g(x)=x3+(+2)x2-2x, " g (x) = 3x? + (m+ 4)x 2.g(x)在区间(t,3)上