常微分期末考试试题和答案a

1、常微分方程期终考试试卷(A)(适用班级：班)得分阅卷人下属学院班级姓名成绩题号一四五总分分数一、填空(每小题3分，共30分)1.形如的方程当y = f(x) - g(y) g(x)工0的通解为2、一阶方程Mdx+ Ndy = 0 若存在可微函数使卩(x,y)(HO)时，称为这个方程卩(匕刃的积分因子。3、称为黎卡提方程，若它有一个特解yx),则经过变换，可化为伯努利方程。4、对V(x，x),(x,)，2)wR，存在常数N(>0),使则称在fgy)R上关于满足李y普希兹条件。5、若为毕卡逼近<p(Q序列也的极限，贝I有W(x)-也(x)ISo6、方程泄义在矩 = x2+y2形域/?：

2、 -2<x<2, -2<y<2上，则经过点解 dx的(0,0)存在区间是7、若是阶齐线性旺(i = 123,加方程)W+几= 0的“个解，汐为其伏朗基斯行列式，则满足一阶线汐性方程o8、设是二阶齐线A-,丰0性方程的一个兀'+ «, (/)# +(t)x = 0解,则该方程的通解为、9、若为齐线性方兀(/)(： = 123,川)程的一个基本解组，元为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为如驻定方程组的bf+y奇点类型为得分阅卷人二、求下列方程的解(每题8分，共24分)dx 2x_y22、Ixydx + (x2 + y)dy = 03、y = l

3、n(l + /2)得分阅卷人三、计算题（每题8分，共24分）1、求儿+2y； + y = 0的通解。2、求x： + 10x；+25兀=14严的特解。3、求 y"-2y" + 5y = 2cos，x的通解。得分阅卷人得分阅卷人四、求下列方程组的基解矩阵（8分）d = 2x -y + z< yf = x + 2y-zzf = x-y + 2z.五、1.若函数具有连y(x)续的二阶导数，且y(0) = 0,试由方程确定 y(x) = 1 一丄*(s) + 4y(s)ds 此函数。(8 分)5丿心2、一质量为千克加的物体以初速度 (秒/米)向前滑动，已知它所受的阻力为-如朴

4、牛顿。试问该物体何时才能停下来此时滑过了多少路程？(6分)常微分方程期终考试试卷(A)参考答案一、】、OQiM) _ 6(p/V)dy dx3. = P(x)y2 + Q(x)y + R(x), y = z + y. dx4 |/(.vI)-/(x,y2)|<N|y1-y2|.5、ML!XS + l)!其中Mp即g)|,厶为李普希兹常数，h = min (a.),MR = a.b7x w' + “W = 0.8、x(/) = c内 + C2x)(r)j-Le'-" a',s 'didt.n9、x(/) =c,兀(f) +元(/)jU)20、稳楚结

5、点。dx 2二.1.解：方程化为=x y 9 dy y由一阶线性方程的求解公式得：(J (-必dy + c)= -y2ln|y| + cy27 分另外，y = 0也是方程的解。8分2、解：方程可化为(Ixydx + x2dy) + ydy = 0 ,3 分即(兀2刃+ (+于)=0,6分 8分故方程的通解为x2y + -y2 =c.2(注：用公式或用其它方法均可)2分4分5分6分8分3、解：这是y = /U/)型 令 yf = p.则有 y = ln(l + /r). 两边对X求导：=日1血1 + /r dx2故有“ =0或dx = dp1 + 由得为方程的p = Oy = 0特解.由 dx=

6、 W x = 2 arc t an /? + c 1+ /?' dx故含参数的方0程的通解为x = 2arctan/? + c,y = ln(l + /?2)三、1、解：特征方程的根疋+2疋+1 = 0为九=九2 =，九3 =九4 = _'4 分故方程的通解为 y(x) = Cj cosx + c2xcosx + c3 siiix + c4xsinx.8 分2、解：齐次方程的特征方程的根为A?+10九+ 25 = 0入1 =九2 = -52分因为是方程的九=-5特征根，故可设方程的一个特解为J(r) = At2es,5 分将代入原方程x(t)可得A = 77分故原方程的一个特解

7、为：x(t) = 7t2e518 分3、解：齐次方程的特征方程的特征V-2X + 5 = 0根为X, =1 + 2/,九2 =1-2/.2 分又因为2cosS=cos2f + l,且或0不是方X = ±2/程的特征根，故可设方程的一个 特解为y(x) = Acos2x + Bsin 2x + c 5 分141将代入原方程只兀)可得：A = -, B = C =-7分9958分故方程的通解为141y（x） = ex（q cos2x + c2 sin 2x） + -cos2x- sin 2x + .四、解：A= 12-1由 P（丸）=det（XE A）=（九一1）（九2）（九3） = 0

8、 得: Xi = 1 » 九2 = 2 ,九3 = 3 X设对应的特征九|向量为儿=y ,则由（知£一小勺=0得x = 0 , y = z_o'取 y = ,得 Vj = 1 .10故原方程组对应于的一个特知=1解为91(0 = rv, = R九3 =3对应的解分别为:'e3te2190e21010工0,10 1又因为w（0） = 111 1所以原方程的基解矩阵为=五、1、解：方程两边对求 y(x) = 1 f y"(s)+ 4y(s)Js % 导:5心十=一扣“ + 4刃5分7 分即)产+ 5)+ 4y = 0 解之得y = *7+。2广又由 y(0) = 0 > y(x°) = l 得：q =所以所求的函数为:2、解：设物体在时刻/路程的函数为s(/), 由牛顿第二泄律：F = m