指数函数与对数函数专题(含详细解析)

1、第讲指数函数与对数函数时间： 年 月 日 刘老师学生签名：兴趣与入没有人比胡更有权利支配邮巨己的生命彳尔该杉成独特的自我而不是任何一个什么人的影子这样才可以创造出独特的在西学前测试1 .指数式、对数式：2 .指数、对数的运算性质:b log a N .1 1). ax a y a2 2).log a MNlog a M n3 .常用关系式：y;( alog a Mn log)ylog;(Mxy . ;N;0,(ab)xN 0).bx.a log a Nlog a NN；loglog a a b Nx；log 口 NMNlog aMlog amn nMlog am4 .指数函数的定义、5 .对数

2、函数的定义、6 .备函数定义：y x ,（图象、性质图象、性质,5指、对函数间的关系。的x的值的集合，与性质：（）图象都过点（R,是常数）叫哥函数。定义 的取值有关。域是使 x的意义（2）在（0.+ 8 ）上，当11）.。时,是增函数,。时，是减函数。（3）若 为有理数，且定义域关于原点对称，则是奇或偶函数。7 .指数方程、对数方程：均属超越方程，解法是化成同底数哥（同底的对数），从而哥 指数（真数）相等。或用换元法、或两边取对数。8 .指数不等式、对数不等式：解法与指数方程、对数方程类似。、方法培养专题1:指数运算与对数运算例1已知logi227a,试用a表示10g616.分析 中膨数与真数

3、共出现4个自然敷I即2九6*1%它们的质因数知只有23网中, 因此，由换底公或等可知it>Ri 27口处16都可U用1sL2或lag：3来表示，从而可将问题解 决.解 由】，帅 以被换假公式得所以 IcRn 16="二，3十d变式练习：1 已知 x 1,31og a x 1og2.x 1nx,求证：e3 (2e)10g2e.分析 和前一跳相假，条件所第的对数式的底数不同.所以首先利用换底公式转化为相 同的底数.道明 由已知条件蹲= 1。事工+1&1=”= 1口&jt+强强豆.I。寿国I。耿匕乂国为I #】,所以1口建.1* 0,则 logta等价于 log； t

4、s = log； a (log； e+1) = log" 1。时.比较所止明的式子,匕式化为log J = log0g： 2e=】口图式化t即科 /"【北）一评注解决一个证明问爰.优是零叠在条件与鳍论之间架一座”桥家。为了架“桥，方 便.应使能件与结轮尽量”靠近二因此，话题之前可将条件与结轮作一些比较,作一些等价支 柒.以便找到证明的途择，本例欲证的等式中无，义有一个以2%成的豺数，故可将已知等 其中的4敦全揍或以"豹鹿的时教.2 若 a>1,b>1 且 1g(a+b)=1ga+1gb,则 1g(a 1)+1g(b 1)的值(A)等于1g2(B)等于1

5、(C)等于0(D)不是与a,b无关的常数I jj| 选 CI理由；因 lg( a + A) = Iga + IgA .有孙 + b = at .- 1)( 4 - I) = I # 困此 lg( a - 1) +bg(b- 1) =0、.专题2:指数函数与对数函数例2求下列函数的定义域：(1) y log a log a log a x(a 0,a 1)； (2) y3 9 (3)x3x 2log 0.1 2x 1解(1)据题意有 logalogax>0.a>1时，上式等价于logax>1,即x>a.0<a<1时，上式等价于0<logax<1,即

6、1>x>a .a,1)所以，当a>1时，函数定义域为(a,+ °<>；而当0<a<1时，函数定义域为(2)据题意有, 3x 2log 0.1 2x 11 x133(3)x(”(3)93即3x 20,0 3x21 2x 102x13x 21 00, 即0.2x 12 x所以函数定义域为(2冏33解得x 2或x1,即2 x 3.3233.例 3 设函数 y=f(x),且 lg(lgy)=lg3x+lg (3-x).(1)求函数y=f(x)的表达式及其定义域；(2)求f(x)的值域.解-I)由条件得 &辰浦=1屋上斗1/3 (3Jr),所以

7、1电二3H(3 *3即¥=10。】一,I j-J>0f 03又因为<3 -1>0一,Lyj> 1：因此函数的襄达式及定义域为N=】炉中*0工霜(力困为 3x(3丁)= 3/一斗ry j +弓. fOVjr<§)所以有。<3工(3 ，丁)因此函数八上)的值域为 yEfl,】倩，评注在求有关利救医班的题目时一定要拄意算较大于靠这个建金的条件.看财会出 现幡疆第H)小意有的同学在求定义域的舒候,因没有考虑其搬大于搴的条件.认为定义域 为R使将12中的yn/工)值堞也跟着求错了.,x2变式练习3设xC R, f(x)为奇函数，且f(2x)a一a,

8、函数g(x) log -4x1y、，2 2若xC1,2时 有f 1(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围, 2 3分析 先求函数，的解析式再利用奇函数求出的值.最后通过变城分腐的方法来求实数山的取值范解 因为 /X 2 7) = -：14 f = -.上 匚:，所以 fa、= °.二；-.-tar|«1W'又因为由数，(上)为奇函数*则有m 1 a * 2 - * q '1白 7却 a * 2s a 1 z/ %，'_)= z，+i= i+27=rn求得"工1,即八1)二一I，所以反函数为a i(x>=h&:d 十Ii*因

9、为函数£()一 l口R7于二三一 21口如上M，JP则要使对任意的M L J j r a)</窑)恒成立即r 1+1广,1+ M、*,(“厂)*>0一.，专a等价 r 率<(i+h)( i x)=+ 】11£丁单方 .6>0.± U!J所以#的取值范围为 口<长於.理注一般电讲，求指定的套数范围，便给定的不等戈恒成立这不同鼎.可以归纳为两 大却籥一娄筒称为*可分离变量”型.也即所给不等式，中，含承数的代载式可以单独分离到不 筝式的一辿,在另一迪中不再含有参裁.最简明我有如下两种情况*(1)若(上)工切时遥数”上)定乂城中的一切二横成立

10、.事实参殿tn的取值范围.(2若/(x)>w对函数 ”1)定义战，中的一切丁怩成立，求实参数 由的取值范围.报明显,这两类阿蓦等同于求系盘)的最值,即f I1)名用恒成立旧,/工)及/( J )#海 恒成立0m<T r第二类是“不可分鬻变量型”，所给不等式中的参能不能用有限的代数式整合到一边.这 集间黑一般采用二次函数根的分布讨论或利用基本不箸式来处理.例 4 已知 f(x) log a (xVx 1),其中 a 1.(1)求函数f(x)的反函数f 1(x);(2)若实数m满足f 1(1 m) f 1(1 m2) 0,求m的取值范围，l&O)由于。n>|x|,所以函数

11、 门工)的定义域为R,且易求得南敷1MHi为奇函数，剜当h£1j.十七J时,函数"上)一历上(上卜/7TT)单调避搪.所以： ).当工W (8 .Q时，有音南鞅的性诙知 >F(一工'0,故函数的值地为3R所以原函数的反函数为/”，工ER.壮)首先求函数f iJ)的奇偶郎和单调性.由定义科函数,/ '£1为奇函数，且在定义域内是单调递增 的于是 / 1 (1-Z/I)+ / 1 U-加)<0=i/-1l-j/i'> >/-1 ( l-m>< fU - 3 +ma)等侨于I" w<Z, j 1

12、 +肉=桁>1或wiV 2.2已知函数 f (x) log 2 -2-xn (m, n R).mx 1n的的.若m N*,x R且f(x)的最大值为2,最小值为1,求m,若n 1,且f(x)的值域为R,求m的取值范围.H.设,由已知得尸忌3葩理为幅>/+了7/+21+川即fpT+Tr + x殖=0故 4 = I - 4 (m v 3)(5 n) m+ 即 册 - f 3 + er ) y+ 3胃 一 1MoL.3 +风情_ r1mE - 1qi a故，r (或中与不介题札舍去).I 3w u I ff*=3SdI m2苔5 一时1编工人(11+ 2j- 7 J£ IC港足

13、要求.者用HO时.要使f J)W»C,只需红三4m的偷域包常E.+gj.世5 二红二nt.r + J*+1即2 工 +.+ 100从而一$一 也my3My+U>。,即所*"3 *，¥ I;。变使画数的值域包含. t二 .R需jw<F方程琳 (3e)#一4川；T匕-T1广0有两个杀根，故Vf，*£ -U 或一 1 这E<d*.& ,金 £ > 0I * *® J. 19 M的瞅值,陶虺E £： r g或一Jw£E四、强化练习2-1 .函数y山2x 4x 5的值域是.2 .已知函数y l

14、og2ax2 (a 1)x 1的定义域是一切实数，则实数a的取值范围4是 .3 .若log a2 1,则a的取值范围是 .34 .若(log23)x (log5 3)x (log23)y (log53)y,则 x y与 0 的关系为 .5 .设a 0, a 1,函数f(x) loga|x2 x |在卜3,4上是增函数，则a的取值范围是 .I*解析的4 -。=1冠上孰又/一"+ 5=1一办工+ 1M，所04一/故作1。，G1(日 >0q 4-代工群析必，+脑一”才+；>。对一切冥数都成立，则I今产.4|4<02工解析/口&9<2|2,则1 2 成1&am

15、p;- ，得口，弓)U5+8).I 3 I 34.解析令 = logt 3/b= 1。即 3 <1<明取函数人力=1一歹，由于0>1,口<6<1*从而南牧人力为单调逆措函数，由/Q).3尸(一"知,工:一y'即十¥；_?。.乩解析.寺/工11工I.当心1时,要使函数/"),如1鼎/一丁|在13 打上是雄函效应壮足3i<G (。*+8卜” .> 1 *当0<a< 1.应有4匚层一)修得卷*五、训练辅导例 5 已知函数 f(x) 1 f(-)?log2 xo x(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(2)

16、的值；(3)解方程f(x) f(2)。分析通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值 及方程。一，1解析(1)由于 f(x) 1 f(-)?log2x,x11_1_ 1_上式中，以一代x可得：f() 1 f(x)?log2,则有 f(-) 1 f(x)?log2x, xxxx1 f (一)?10g 2x 可得： x解得 f(x)1 1og2 x1 10g 2 2f(2)、一1；1 1og2 2(2)得 f(2) 1,_ 1- 一一把 f(一) 1 f (x)?log2 x代入 f (x) xf (x) 1 1 f (x)?log2 x?log2 x,(2

17、)由(1)得 f(x) 1 10g22x ,则 1 1og2 x(3)由(1)得 f (x)1 10g22x ,则1 1og2 x则有 f(x) -10g22xf (2) 1,即 1 1og2 x 1 log 22 x ,1 1og2 x解得10g2x 0或10g2x 1,所以原方程的解为： x 1或x 2。六、家庭作业布置：家长签字：(请您先检查确认孩子的作业完成后再签字)附件：堂堂清落地训练(坚持堂堂清，学习很爽心)1.函数f x4x 4, x2 4xx 1的图象和函数g x 3,x 110g2 x的图象的交点个数是(A. 4B.B；解析函魏f x3C. 2D. 14x 4, x 1y2的

18、图象和函数g x 10g2x的图象如下:x2 4x 3,x 1根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。考点透析作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工 具作用。特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线y x对称。在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。C;解析函数f(x)=1 log2x的图象是由函数 y2.函数f(x)=1 log2x与g(x)=2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是()log2 x的图象向上平移1个单位而得来的；又由于g(x)=2 x 1 = 2 (x 1),则函数g(x) =2 x 1的图象是由函数y 2 x的图象向右平移1个单位而得来的；故两函数在同一直角坐标系下的图象大