期望与分布列高考试题精选

1、期望与分布列高考试题精选.解答题（共20小题）1.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的 概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X的分布列；(H)若要求P (X< n)> 0.5,确

2、定n的最小值;（田）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其-，应选用哪个？5局仍未春乙获胜 1-12 .甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 的概率为各局比赛结果相互独立.（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率;（R）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求 X的分布列和均值（数学期望）.3 . 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率， 并假设每天的销售量相互 独立.(I )求在未来连续3天里，有连续2天的日

3、销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(n)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E (X)及方差D (X).0.W6 0 005 0 004 0,003 0.002050 100 150 200 250日销售里/个4 .在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物巾610场价格1儿/kg)概率0.40.6(I)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(H)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3

4、季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.5 .现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.(I )求张同学至少取到1道乙类题的概率；(n)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是工 答对每道乙类题的概率都是 言，且各题答对与否相互独立.用 X表 55示张同学答对题的个数，求 X的分布列和数学期望.6 . 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1, 2, 3, 4;白色卡片3张，编号分别为2, 3, 4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何 一张卡片的可能性相同).(I)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.(n)

5、在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量X的分 布列和数学期望.7 .某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销 售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完,平 均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按50, 150), 150, 250), 250, 350), 350, 450), 450, 550进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于 350 公斤,而另一天日销售量低于 350公斤的概率；(2)在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该

6、组的各个化(i)求日需求量X的分布列；(ii)该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值 为决策依据,他应该选择每日进货 300公斤还是400公斤？8 .已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口 袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1, 2, 3, 4, 5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉.(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列.9 .自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针 对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市

7、民使用共享单车情况进行了抽样调 查，结果如表所示：性别年龄性别女性合计18, 25)1804022025, 35)36024060035, 50)4010014050, 80)202040合计6004001000(1)采用分层抽样的方式从年龄在25, 35)内的人中抽取10人，求其中男性、 女性的使用人数各为多少？(2)在(1)中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；(3)用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人 数记为;求士的分布列.10 .某中超足球队的后卫线上一共有 7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只 能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫

8、，主教练决定选派 4名后卫上场比 赛，假设可以随机选派球员.(1)在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；(2)在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数 E的分布列与期望.11 .由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成 资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取 10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所 示：组别候车时可(单位：min)人数一0, 5)1二5, 10)5二10, 15)3四15, 20)1(I )估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(H)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来

9、自第二组的概率;(m)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组， 求X的分布列及数学期望.12 .数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、 丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛 学生中抽取30名参加问卷调查.(I)问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？(II)从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所 中学的概率；(田)在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、内两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽

10、得甲中学的学生人数，求 X的分布列.13 .某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1次故障，且每台机 器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现 故障需要维修的概率为 工.3(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90% ?(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1万 元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修， 就使该厂产生5万元的 利润，否则将不产生利润.若该厂现有 2名工人.求该厂每月获利的均值.14 .甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜.投篮进

11、行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为 Z,乙每次投篮命5中的概率为晟，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数 X的分布列与期望.15 .某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从丁1、丁2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约.甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两 人选择使用试题Ti,且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2, 并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约.已知甲、乙考试合格 的概率都是工，丙、丁考试合格的概率都是 1,且考试是否合格互不影响.23(I)求丙、丁未签约的概率；(I

12、I)记签约人数为 X,求X的分布列和数学期望EX.16.在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球， 乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这 两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游 戏结束后将球放回原箱)(1)在一次游戏中：求摸出3个白球的概率；求获奖的概率；(2)在两次游戏中，记获奖次数为 X:求X的分布列；求X的数学期望.17 . 一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球.规定：进 行一次操作是指 从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中； 如果取出的是白球，则该球不放回，

13、并另补一个红球放到箱中. ”(1)求进行第二次操作后，箱中红球个数为 4的概率；(2)求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望.18 .袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.(1)若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；(2)若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得 2分，取出每只黑 球得1分.求得分己的分布列和数学期望.19 .甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结 束.除第五局甲队获胜的概率是 工外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2.假23设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3: 0, 3:

14、1, 3: 2胜利的概率；(2)若比赛结果为3: 0或3: 1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果 为3: 2,则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的分布列.20 .医学上某种还没有完全攻克的疾病， 治疗时需要通过药物控制其中的两项指 标H和V.现有.三种不同配方的药剂，根据分析，A, B, C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5, 0.6, 0.75,能控制V指标的概率分别是0.6, 0.5, 0.4, 能否控制 H 指标与能否控制 V 指标之间相互没有影响(I)求A, B, C三种药剂中恰有一种能控制 H指标的概率；(n)某种药剂能使两项指标 H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果

15、.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X 的分布列期望与分布列高考试题精选参考答案与试题解析.解答题(共20小题)1.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买 几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I )求X

16、的分布列；(H)若要求P (X< n) >0.5,确定n的最小值;(田)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其-，应选用哪个？【解答】解：(I)由已知得X的可能取值为16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,P （X=16）型）2J,10025'P （X=17）100 10025 'P（X=18）=（疆）2+2 （黑）法,P （X=19）=，.一 ；x X的分布列为:X16171819202122P1254256256252 23125(n)由(I)知:(X=20)20100； 二二J J)2 100 100 25 5(X

17、=21)"一' 、:"-'I 】,，二'(X=22)=400J 25P (X< 18) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18)25后后25P (X< 19) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18)+P (X=19)=、=，25后后25 25P (X< n) >0.5中，n的最小值为19.(m)解法一：由(I)得 P (X< 19) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18) +P (X=19)，e再.25 后回 25 25买19个所需费用期望：EX=200X 19乂工(2

18、00X 19+500) X-L+(200X 19+500X 2) xZ+(200X 19+500252525X3) X ' =4040, £ 5买20个所需费用期望:EXF200X20X等(200X20+500) X-+ (200X20+2X500) X2=4080,252525. EX<EX买19个更合适.解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当 n=19 时，费用的期望为：19 X 200+500X 0.2+1000X 0.08+1500X 0.04=4040,当 n=20 时，费用的期望为：20X200+50

19、0X0.08+1000X0.04=4080,买19个更合适.2 .甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为1,乙获胜3的概率为工，各局比赛结果相互独立.3(I)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(R)记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求 X的分布列和均值(数学期望).【解答】解：用A表示甲在4局以内(含4局)赢得比赛的是事件，Ak表示第k 局甲获胜，民表示第k局乙获胜，则 P (Ak)咚 P (B0 卷 k=1, 2, 3, 4, 533(I ) P (A) =P (A1A2) +P (B1A2A3)

20、+P (A1B2A3A4)= () 2+X (2) 23x3333lx (2)等.3381(n) X的可能取值为2, 3, 4, 5.p(x=2)=p(A1A2)+p(B1B2)q,JP (X=3) =P (B1A2A3) +P (AB2B3) 卫,%P (X=4) =P (A1B2A3A4) +P (B1A2B3B4) 表，P(X=5) =P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5) +P( B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3&民)= 得，或者 P (X=5) =1-P (X=2) - P (X=3) - P (X=4) 4，81故分布列为： 一家面包房根据以往某种面

21、包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率， 并假设每天的销售量相互 独立.X2345P旦§2710 前8?52108 224E (X) =2*%3*+4*詈+5*9=若.998181 81(I )求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的 日销售量低于50个的概率；(n)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分【解答】解：(I)设Ai表示事件 日销售量不低于100个”，A2表示事件 日销 售量低于50个”B表示事件 在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1 天的日销售

22、量低于50个”，因止匕 P (A1) = (0.006+0.004+0.002) X 50=0.6,P (A2) =0.003X 50=0.15,P (B) =0.6X 0.6X0.15X2=0.108,(H) X可能取的值为0, 1, 2, 3,相应的概率为：P(X=0)=C5(l-0.6)3=0. 064PQ(二 1)二C；0. 6(1-0, 6) <0 288,PC£=2)=C1O. 62(1-0.6)=0.432,p(X=3)= C?0. 6邑。. 216,随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为 XB (3, 0.6),所以期望 E

23、 (X) =3X 0.6=1.8,方差 D (X) =3X0.6X (10.6) =0.72.4.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和 这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物巾610场价格1儿/kg)概率0.40.6(I)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(H)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于 2000元的概率.【解答】解：(I)设A表示事件 作物产量为300kg”，B表示事件 作物市场价 格为6元/kg ”，WJ P (A) =0.5, P

24、(B) =0.4,;利润二产量乂市场价格-成本，.X的所有值为：500X 10- 1000=4000, 500X6- 1000=2000,300 X 10 - 1000=2000, 300 X 6 - 1000=800,WJ P (X=4000) =P (A) P (1) = (1-0.5) X (1 0.4) =0.3,P (X=2000) =P (A) P (B) +P (A) P (1) = (1-0.5) X0.4+0.5 (1 0.4) =0.5,P (X=800) =P (A) P (B) =0.5X 0.4=0.2,则X的分布列为：X40002000800P0.30.50.2(H

25、)设G表示事件 第i季利润不少于2000元”(i=1, 2, 3) 则C1, C2, C3相互独立，由(I)知，P (C) =P (X=4000) +P (X=200。=0.3+0.5=0.8 (i=1, 2, 3),3季的利润均不少于 2000 的概率为 P(C1C2C3) =P(G) P(C2) P(C3) =0.83=0.512, 3季的利润有2季不少于2000的概率为P (3C2C3)+P (G己;C3) +P (GC2日) =3X0.82X0.2=0.384,综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896.5.现有10道题，其中6道甲类题，

26、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.(I )求张同学至少取到1道乙类题的概率；(n)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是上，答对每道乙类题的概率都是1,且各题答对与否相互独立.用 X表 55示张同学答对题的个数，求 X的分布列和数学期望.【解答】解：(I)设事件人=张同学至少取到1道乙类题”则二二张同学至少取到的全为甲类题P (A) =1-P (A) =1-f 二C3 6v10(II) X的所有可能取值为0, 1, 2, 3P(X=o)=。迢)°停巴)喘P(X=1)=*；P(X=2)=，9 +P(3 = : ；： = ；X的分布列为EX=

27、6; 乂亳+1X 噩+2X"+3X 送,26. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张，编号分别为2, 3, 4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(I)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.(n)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量X的分布列和数学期望.【解答】解：(I)设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A,则P (A)=所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为e7(II)随机变量X的所有可能取值为1, 2, 3, 4(X=1)(X=2)si j_ 35

28、JC4 4(X=3)35 735 2(X=4)X的分布列为i49d 17EX=-二二二十353517 5x1234P135q 3527旦 77.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销 售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完,平 均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按50, 150), 150, 250), 250, 350), 350, 450), 450, 550进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤,而另一天日销售量低于 350公斤的概率；(2)在频率

29、分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个化(i)求日需求量X的分布列；(ii)该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据,他应该选择每日进货 300公斤还是400公斤？【解答】解：(1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025+0.0015) X 100=0.4,则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于 350公斤的概率P=0.4X 0.4X (1-0.4) + (1-0.4) X 0.4X 0.4=0.192.(3 分)(2) (i) X可取 100, 200, 300, 4

30、00, 500,P (X=100) =0.0010X 10=0.1;P (X=200) =0.0020X 10=0.2;P (X=300) =0.0030X 10=0.3;P (X=400) =0.0025X 10=0.25;P (X=500) =0.0015X 10=0.15;所以X的分布列为：X100200300400500P0.10.20.30.250.15(6分)(ii)当每日进货300公斤时，利润Y1可取-100, 700, 1500, 此时丫1的分布列为：Y1一10070015000.10.20.7此时利润的期望值 E (Y1) =- 100X0.1+700X0.2+1500X 0

31、.7=1180;分)当每日进货400公斤时，利润Y2可取-400, 400, 1200, 2000,= 1200;(10 分)因为 E (Y) <E (%),所以该经销商应该选择每日进货 400公斤.(12分)8.已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口 袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 1, 2, 3, 4, 5的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉.(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列.【解答】解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：_2X4XgX 2X

32、1 _2户5X4X3X 2X 1 G(2)由题意得X的可能取值为p -1, -1,4 1二 2乂3乂2乂 1 _ 2 = 1=诙'=5X4X3X 2X 1 3广元'A2X2X3X 2X1= 4 =1P(不)=5X4X3X 2X 1=5 5：”，=认4 1 5X4X3X 2X 1 20 10A 二4乂2乂3乂 <X 1 = £ =2p1可户5X4X3X 2X 1 =20二'，- X的分布列为:X11_112345P11_321051059.自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针 对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用

33、共享单车情况进行了抽样调 查，结果如表所示：性别年龄性别女性合计18, 25)1804022025, 35)36024060035, 50)4010014050, 80)202040合计6004001000（1）采用分层抽样的方式从年龄在25, 35）内的人中抽取10人，求其中男性、 女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人 数记为;求士的分布列.【解答】解：（1）因为年龄在25, 35）人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为迦卫,侬二.600 5 600 5所以抽取

34、的10人中男性，女性人数分别为-X10=6,3乂10二4.55（2）由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4,C2c 2所以4人中恰有2女性使用者的概率为一产二号.11 Ju（3）由题知，己的可能取值为0, 1, 2, 3, 4,因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为 黑1000 5所以随机变量 阴艮从二项分布，即已BS,力，5哙 & 溪.p（&=i）=c；（|y（耕嗡,?需=2）气淖）2仔）2噬|PC & =3)=ci cf) 3(凯嗡 p 需寸(1)4 (f)。喘所以己的分布列为:01234P169621621681625625625625

35、62510.某中超足球队的后卫线上一共有 7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派 4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员.(1)在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率;(2)在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数 E的分布列与期望.【解答】解：(1)设事件A表示 选派的4人中至多有1人能打边后卫”,则 P (A)=C； 35,事件B表示 选派的4人中至少有2人能打边后卫”, . P (B) =1 P (A) =1 4 .3135 35(2)细勺可能取值为0, 1, 2,C4<=力1曝+r3 r 152 20 _4r2r292

36、 10 2一士的分布列为:012P74_72749 8EE =1 v+2x4=7-77 711 .由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取 10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示:组别候车时可(单位：min)人数一0, 5)1二5, 10)5二10, 15)3四15, 20)1(I )估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;(H)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；(m)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组,求X的

37、分布列及数学期望.【解答】解：(I)候车时间少于10分钟的人数为60X (R)设 至少有一人来自第二组为事件 A"，则P (A) =1 -：十一10 10口5 _c3 一 vio)=36 (人).1112(明X的可能值为1,2, 3,p(X=1)誓喝,P (X=2)=皤+C：) X2+C看 7P (X=3)=%X 2+C1+C； 3g12 .数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示:中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛 学生中抽取30名参加

38、问卷调查.（I）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（II）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所 中学的概率；（田）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、内两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求 X的分布列.【解答】（本小题共14分）解：（I）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为 反，100 10所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9, 12, 6, 3.乂？分）（R）设从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学 ”为事 件A,从30名学生中随机抽取两名学

39、生的取法共有 茂帝435种，（5分）来自同一所中学的取法共有-（7分）所以PCA）二装福答:从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为出（8分）（田）由（I）知，30名学生中，来自甲、内两所中学的学生人数分别为 9, 6.依题意得，X的可能取值为0, 1, 2,但分）cl 1P（心 0）二/二/，15 1rli -p （y- ）-_匕5C2P（X=2）=-=|.（12 分）C15所以X的分布列为:X012P工181273535（14 分）13.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1次故障，且每台机 器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现

40、故障需要维修的概率为3（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90% ?（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1万 元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修， 就使该厂产生5万元的 利润，否则将不产生利润.若该厂现有 2名工人.求该厂每月获利的均值.【解答】解：（1） 一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件 A,则事件A的概率为9； ,J该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为 X,则XB（4, 9），p（x=o）=c；e）m，P（X=1）=

41、c；二普， J 0 olP（X=2）二C； 母）“0）哈,则X的分布列为:X01234P明3121|8|LJJ Isi81SL31设该厂有n名工人，则 机台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修为 XW n,则X=0, X=1, X=2,，X=n,这n+1个互斥事件的和事件，则n01234P (X< n)164872801SI81gl81至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维 修的概率不少于90%;(2)设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18, 13, 8,P(Y=18) =P (X=0) +P(X=1HP熊2)名,olP(Y=13)-P(X=3

42、)T， olP(Y=8)=P *4)金； ol则Y的分布列为：Y181381P72 乳8SIIT贝 E(Y)=导 13 然得+8乂小；olol qL q!故该厂获利的均值为14 .甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为 名，乙每次投篮命 5中的概率为晟，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数 X的分布列与期望.【解答】解：(1)由题意甲获胜的概率:2 p=1231 312 62X-X-+X4-XX-K-=-.35 5 3 535 125(2)由题意知投篮结束时甲的投篮

43、次数X的可能取值为1, 2, 3,P (X=1)-2J '= =53 5'P (X=2) =1W4/x"KX=3=+ -、，-+3 2553535535353535s 5，- X的分布列为:X123P&4152525EX>IX 言+3 乂蚩嘿.15 .某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从Ti、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约.甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两 人选择使用试题Ti,且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2, 并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约.已知甲、乙考试合格 的概率都是9，丙、丁

44、考试合格的概率都是 得,且考试是否合格互不影响.(I)求丙、丁未签约的概率；(II)记签约人数为 X,求X的分布列和数学期望EX.【解答】解：(I)分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为A, B, C, D.由题意知 A, B, C, D 相互独立,且 P(A)：P(B)4, P(C)-PCD)=4. 士.L-1记事件为、丁未签约”为F, 由事件的独立性和互斥性得：P (F) =1- P (CD)(3 分)= 14X母吟(4分)(II) X的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4.分) P(X=O)=P(AB)P(F)=-X-XT,上 上 y Ou1P(X=1)= P(RB)P(F)+P(AB)

45、P(F)=2XMXe$， Z Z y 1 o1151199 1P(X-2)=P(ABF)+P(ABCD：- X - X-4- X-X-X, xzyzxjii ? 7P（X=3）=P（ABCD）+P（ABCD）=2Xx-x-x-,b 上 J J 31i9 9 1P（X=4）=P（ABCD）yX XX- £/1o on所以，X的分布列是：X01234P551213618499（12分）X的数学期望EX=0X各+1乂冬+2><；+3><春+4X!/（13分） 3b io q y y y16.在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球, 乙箱子

46、里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这 两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游 戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：求摸出3个白球的概率；求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为 X:求X的分布列；求X的数学期望.【解答】解：（1）记 在一次游戏中摸出k个白球”为事件Ak （k=0, 1, 2, 3）.c|cl I p（&3）二告（2 分）c|c?+clcicl 1 7 p【均J+ 志二为 （5 分）（2）p（x=Q）*>4J，Pg）=c>4卷,pixmax击端.X的分布列为X0112P9 1002150

47、49100（8分）X的数学期望E（X）=0X-77-H X鲁+2X鲁】.10050100 5(10 分)17. 一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球.规定：进 行一次操作是指 从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中； 如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中. ”(1)求进行第二次操作后，箱中红球个数为 4的概率；(2)求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望.【解答】解：(1)设Ai表示事件 第一次操作从箱中取出的是红球”，Bi表示事件 第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件 第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件 第二

48、次操作从箱中取出的是白球 则A1B2表示事件 第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是 白球”.由条件概率计算公式得 P (A1B2) =P (A1) P (B2IA1)二xZJL.55 25B1A2表示事件第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红 球”.由条件概率计算公式得p(B1A2)=p(B1)p(A2IB1)=|x4=-55 25A1B2+B1A2表示 进行第二次操作后，箱中红球个数为 4"，又A1B2与B1A2是互斥事件. P (A1B2+B1A2) =P (A1B2) +P (B1A2) =2 I 2 春25 25 25(2)设进行第二次操作后，箱中红球个数为 X,则X=3, 4, 5.14,、33 9,、P (XN) =1 乂卷展，P (X=4)=25，55 25212P(X=5 444-进行第二次操作后，箱中红球个数 X的分布列为:进行第二次操作后，箱中红球个数 X的数学期望914EX=:12 9325 25 ,X345P(X)925142522518 .袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.(1)若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；(2)若无放回地取3次，每次