河南省南阳市2020届高三数学上学期期末考试试题文

1、河南省南阳市2020届高三数学上学期期末考试试题 文第I卷（共60分）、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=；x1 wx ：二3;B=x x2 44,则AI (RB产()A. 1,2 B 1-2,1 C . 1,2 1. 1,21 -i2.已知 !=1+i （i为虚数单位），则复数 zB . 1 -i C . -1 i -1-i3. 已知双曲线 C的一条渐近线的方程是:= 2x,且该双曲线 C经过点（v,2,2）,则双曲线c的方程是（=1714c 222y x714二1C.22 xy1422 y dx - -

2、 =144.设 sin53 ° = a,则 cos2017 '=(A.-a C1 - a25.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A.9256.A.C.7.y -x -1已知实数x,y满足2x + y之3,则目标函数I2y -x -6z=2x 3y (zmaxzmax如图,-7 , z无最小值网格纸上小正方形的边长为 zmax zmax113113zmin - -7z无最小值1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积V =（）A. 2 B .4 C.8 D . 43338 .运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）零降J : 一|s=5+

3、（二iy * HI k=kl睡A. 2017 B . 2016 C . 1009 D , 1008（ 冗、9 .为得到y=cos 2x- I的图象，只需要将 y=sin2x的图象（6nA.向右平移一个单位3nB.向右平移一个单位6nC.向左平移一个单位3nD.向左平移一个单位610.函数 f (x )=ln3 .，-x的大致图象为（A.B . C . D1111.*11.设数列 an的通项公式 an=-+L +(nw N ),右数1 12 1 2 31 2 3 L n列an 的前n项积为Tn ,则使Tn >100成立的最小正整数 n为()A. 9B . 10 C . 11 D . 121

4、2.抛物线C : y2 =2px( p >0)的焦点为F,过F且倾斜角为60。的直线为l,M(3,0), 若抛物线C上存在一点N ,使M ,N关于直线l对称，则p =()A. 2B . 3 C.4 D .5第n卷(共90分)二、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13 .曲线f(x) = 2x-ex在点(0, f (0 )处的切线方程为 .IUKJ ruI14 .已知点 A(2,m), B(1,2), C(3,1),若/BBC AC = 0 ,则实数 m 的值为.15 .已知 MBC得三边长分别为3,5,7 ,则该三角形的外接圆半径等于 .a2 b216 .若不等式 一-

5、十1至m(a+b )对任意正数a,b恒成立，则实数 m的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .等差数列 QJ中，已知anA0 ,a1+ a2+a3=15 ,且a1+2 ,a2+5,a3+13 构成等比数列bn 的前三项.(1)求数列 /bn 的通项公式；(2)设cn =an bn,求数列cn的前n项和Tn.18 .某二手车交易市场对某型号二手汽车的使用年数x(0<x<10 )与销售价格y (单位：万 元/辆)进行整理，得到如下的对应数据:使用年数246810售价16139.574.5nV xyi - n xy _(1)试

6、求y关于x的回归直线方程；(参考公式：I? =,夕=y -bX .)noJ22v X - nx i 4(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为w = 0.05x2 1.75X+17.2万元，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？19.如图，在三柱 ABC AB1cl 中，侧面 ABB1Al 为矩形，AB=1, AA=J2, D 是 AA1的中点，BD与AB1交于点O ,且CO，平面ABBA .(1)证明：BC _L AB1 ；(2)若OC _L J2OA ,求三棱柱ABC A BC1的高.2220 .平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:0+4=1 ( a

7、 > b > 0 )的左焦点为F ,离心 a b率为口，过点F且垂直于长轴的弦长为 无.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(-2,0)的直线与椭圆相交于不同两点M、N ,求AMNF面积的最大值.21 .已知函数f (x )=ln x+ax2+bx (其中a, b为常数且a=0)在x = 1处取得极值.(1)当a=1时，求f (x)的单调区间；(2)若f(x )在(0,e】上的最大值为1,求a的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .选修4-4 :坐标系与参数方程，一一 x=1+t cosct .在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程

8、为3(t为参数)，在极坐标系(与直y =2 + tsinau J角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，圆 C的方程为P=6sin日.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B ,求| PA |十|PB |的最小值.23 .选修4-5 :不等式选讲已知a>0, b >0 ,函数f (x) =| x-a |+| x + b |的最小值为2.(1)求a +b的值；22(2)证明：a +a>2与b +b >2不可能同时成立.2017秋期终高三数学试题参考答案（文）、选择题1-5:ACDBB 6-10:CC

9、DDC 11、12: CA二、填空题13. xy1=014 .工 15. 73-16.(应,133三、解答题17 .解析(1)设等差数列的公差为 d ,则由已知a1 +a2 +a3 =15 =3a2 a2 =5又(5d +2)(5+d +13) =100，解得 d =2或 d =13 (舍去)a1 =3 ,an =2n +1又 b1 =5,b2 =10 ,q =2,，bn =5 2n(2) Cn =an bn = 5(2n 1) 2ndTn =53 5 2 7 22， ，(2n 1) 2n2Tn =53 2 5 22 :;+(2n -1) 2n,(2n 1) 2n两式相减得-Tn =53 2

10、2 2 222 2n,-(2n 1) 2n= 5(1 -2n) 2n -1则 Tn =5(2n -1) 2n 1_5518 .解：(1)由已知：x =6, y =10 ,2 Xi yi = 242 , Z x2 = 220,i 1i 1n“ Xy -nxy_1? = = -1 , 3 = y-1?<=18.7 ；，22xi -nxi 1所以回归直线的方程为7?=1.45x 18.7(2) z = 1.45x 18.7 一 0.05x2 -1.75x 17.22=-0.05x0.3x 1.52=0.05(x3) +1.95,所以预测当x =3时，销售利润z取得最大值.19.解：（1）在矩形

11、 ABB1Al中，由平面几何知识可知 AB1 _L BD又 CO_L平面 ABB1A1, . AB1 _LCO,CoCbD=D , BD,CO?平面 BCD, AB1 _L 平面 BCD ,BC ?平面 BCD , 二 BC .L AB1.3、6（2）在矩形 ABB1Al中，由平面几何知识可知 OA =, OB =,62.3OC = V2OA，OC = . AC = 1, BC =, Saabc33又 SA ABA 1设三棱柱ABC AB1C1的高为h,即三棱锥 A1 ABC的高为h.2,由V三棱锥C _ABA, = V三棱锥A -ABC得SAABC h SA ABA 1 OC , h 展.c

12、20.解：（1）由题息可得e=一b2令x = -c,可得y=±,即有 a2b2=4,又 a2 -b2 = c2,所以 a = 42 , b =1.所以椭圆的标准方程为(2)设 M(x，y1)N(x2, y2)直线 MN 方程为 x = my-2 ,代入椭圆方程，整理得(m2 +2)y2 -4my +2=0,则=16m28(m2+2)=8m216>0,所以 m2 a 2 .4m二段S MNF1= -|pf I |y fl,8m2 -16m2 2.m2 -22m -2,24当且仅当、m2 -2 =0,2m -2(此时适合 > 0的条件)取得 2ax2 +bx,则AMNF面积的

13、最大值是 421 解：(1)因为 f (x )= ln x +,1所以 f x = - 2ax - b . x因为函数f f (x )= ln x+ax2+bx在x=1处取得极值,所以 f 1 =1 2a b =0.- 2当 a=1 时，b = 3, f <x )=2x -3x 1 xf '(x ), f (x )随x的变化情况如下表:X(0亨i2(9/)1(1, + 9)r+00*极大值极小值所以f(x )的单调递增区间为：0,1J 和(1尸)，单调递减区间为l-,1 j.22fix)”2'xf一一.一1令 f (x )=0,解得 x1 =1,x2 = 2a因为f （x

14、谯x=1处取得极值，所x2 =1=1.2a.1当一 <0时，f（x用（0,1）上单倜递增，在（0,e上单倜递减.2a所以f（x处区间（0,e上的最大值为f（1）.令 f (1)=1,解得 a = -2上单调递增,在,11 i上单调递减，在（1,e）上单调递增, 2a'、“1 .一1当 0<1 时，f (x 心,0,1所以取大值1在x =或x = e处取得.2a2Mln 2 a 2a -2a 1=ln2a 2a 4a-1<0,所以1< 一2a<e时，f（x）在区间（0,1）上单调递增，在11上单调递减，在i,ei上单调2a,21f (e) = ln e+ae

15、 (2a +1 )e = 1 ,解得 a =a -2递增.所以最大值1在x =1或x=e处取得.而 f =ln1 +a(2a +1 )<0 ,所以 f (e ) = ln e+ae2(2a+1 )e =1 ,1,1斛得a =，与1 < < e矛盾.e -2 2a1一之e时，f x城区间0,1上单调递增，在 1,e ）上单调递减，所以最大值1在x = 1处2a取得，而 f (1 )=ln1 +a(2a+1 )#1 ,矛盾.一一1,综上所述，2=或2 = 2.22 .解：（1）由P = 6sinH得P2=6Psin日，化为直角坐标方程为 x2+（y 3）2=9（2）将l的参数方程

16、代入圆 C的直角坐标方程，得t2+2（coso（since）t-7 = 0 （*） 由 =4（sinc（cost/）2+28 >0,故可设上是方程（*）的两根,t1 +t2 =2(sins -cos«)t t2 = -7又直线过点P(1,2),故结合t的几何意义得：|PA| |PB|=|t111t2 Kti t2K. (t1t2)2 4t1t2 = j324sin2: _2,7| PA |十|PB|的最小值为2".23 .解：(1) a >0, b>0,f (x) =| x - a | | x ' b| | (x _a) _ (x b) |=| a

17、 b |= a b二 f(X)min =a+b.由题设条件知f (x)min = 2 ,a +b =2 .证明：(2) .a+b=2 ,而 a+b 至2«b ,故 abE1. 22假设a +a>2与b +b >2同时成立.即(a+2)(a -1) >0 与(b+2)(b1) >0 同时成立， a >0 , b>0,则 a >1 , b>1, ab>1 ,这与 ab W1 矛盾，22从而a +a>2与b +b>2不可能同时成立.2017秋期终高三数学试题参考答案（文）.选择题.1-12 ACDBB CCDDCCA二.填空

18、题.13. x - y -1 =0 14.7 15.1 16.(-二,133三.解答题17.解析（1）设等差数列的公差为a1'a? ' a3 =15 = 3a2, - a2 = 5又(5-d +2)(5+d +13) =100，解得 d =2或 d = 13 (舍去) 3分,二 a1 二3 ,二 an =2n +14分又 1bl =5,b2=10q=2, ，,bn=5 2n46分n -1 Cn =an bn =5(2n+1) 2a Tn =53 +5 2 +7 22十(2n + 1) 2n-8分2Tn = 53 2 5 22(2n -1) 2n1 - (2n 1) 2n两式相减

19、得Tn =53 +2 2+2 22 + - +2 2n,(2n+1)，2n 10分= 5(1 2n) 2n -1则 Tn =5(2n1)，2n+112分5518.解：(1)由已知：x=6, y=10，汇xy=242，汇x2= 220,3分nEx yi nxy1 = 1 t)= -= 1.45, a=y bx= 18.7 ;5分Ex2- nx2 i =1所以回归直线的方程为 勺=1.45x+18.76(2) z=- 1.45 x+ 18.7 -(0.05 x2- 1.75 x+ 17.2)8分=-0.05 x2+ 0.3 x+1.5=-0.05( x3)2+1.95,所以预测当x= 3时，销售利

20、润z取得最大值.12分19.解：(1)在矩形 ABB1A中，由平面几何知识可知AB1 -L BD 2分又 CO_L平面 ABB1Al，, AB _LCO,COn BD = D , BD,COQ平面 BCD336OB= '，二 AB1 ±¥® BCD, BC 1 平面 BCD ,，BC _L AB16分(2)在矩形 ABB1Al中，由平面几何知识可知 OA =OC = J2OA, OC =-6 , 323-2AC -1, BC -, - Saabc -36设三棱柱ABC - AB1G的高为h,即三棱锥 A1 - ABC的高为h.又 SA ABA 1三棱锥C

21、-ABA = V三棱锥A -ABC得12SAABC h =SA ABA1 OC, h= 6.c20.解：（1）由题息可得e= 令x = -c ,可得y =b士即有2b2一 222-又 a b =c，所以 a=，2,所以椭圆的标准方程为y2=1 ；设 M (x1, y1),N(x2, y2)直线MN方程为x = my 2,代入椭圆方程，整理得(m2 2)y2 -4my 2=0则 =16m2 8(m2 +2) =8m2 _16 > 0 ,所以 m2 > 2 .4m'72y1y2"Eo o o 1S.MNF - S；PNF - S.PMF - ？ 1 PF 1 1 丫1

22、 '丫2 |二1 128m2 -16m2 2.m2 -2当且仅当m2 -2 =2，即 m =6 . 、2则AMNF面积的最大值是4（此时适合>12110的条件）取得21.解析 (1)因为 f (x) = ln x + ax2+ bx,1所以 f (x) = x+2ax+ b.因为函数f （x） = ln x+ax2+ bx在x=1处取得极值,所以 f' (1) =1 + 2a+b=0.当 a= 1 时，b= 3, f ' (x)=2x2 3x+ 1X(0,；)121(1, + 8)f+00*极大值极小值（x）, f（x）随x的变化情况如下表:x ， , 1 一所以

23、f(x)的单调递增区间为(0, 2)和(1, +8),1单调递减区间为(2，1) .5分(2)f'(x) =2a+ 1xx+12ax 1x- 1x6令 f ' (x) =0,解得 x1 = 1, x2=.2a一, ， 一，1因为f ( x)在x= 1处取得极值，所以 x2=x1 = 1.2a当 A。时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(0，e上单调递减.所以f(x)在区间(0 , e上的最大值为f(1).令 f (1) = 1,解得 a=- 2.当0<；<1时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(41)上单调递减，在(1 , e)上单调递增, 2a2a2a所以最大值1在x = 丁或x = e处取得.2a而 f (白=In l+a(1)2(2a+1)/=工一1<0，2a2a 2a2a 2a 4a所以 f(e) = Ine + ae2(2 a+1)e = 1,解得 a=-10分e 2当1<；<e时，f (x)在区间(0,1)上单调递增，在(1 ,；)上单调递减，在(g, e)上单调 2a2a2a递增.所以最大值1在x=1或x=e处取得.而 f(1) =In1 +a-(2a+1)<0 ,所以 f (e) = Ine + ae2 (2 a+ 1)