惠州市2019届高三第一次调研考试(理数)

1、惠州市2019届高三第一次调研考试数学(理科)全卷?茜分150分，时间120分钟.注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写 在答题卡上。2 .作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3 .非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写 在本试卷上无效。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求.5 ，一，一一(1)复数旦的共轲复数是(i 220(A) 2 i(2)已

2、知集合(B)2(C)x ax 1，若N(D)2则实数a的取值集合为()(A) 1(3)函数 f (x)3(A) -2(B)22cos1,1一 2x sin(C)1,0(D)1,1,0(B)x+2的最小正周期为(C) 1(D)(4)下列有关命题的说法错误的是(A)若“p q”为假命题，则p与q均为假命题；(B) x 1”是x 1”的充分不必要条件；20；(C)右命题p： Xo R, Xo 0,则命题 p： x1 ，、，一，一(D) Sinx 一的必要不充分条件是 2(5)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和Sn()x.6中，a11, 2a3,a53a4成等差数列，则数列an(A) 2n 1(

3、B)2n1 1(C) 2n 1(D) 2n(6)牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个 曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助 线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(A)凶(D)(7)若函数 f(x) ax2,g(x) loga|x| (a 0,且 a 1),且 f(2)g(2) 0 ,则函数f(x) , g(x)在同一坐标系中的大致图象是(B)中观测次数i12345678观测数据ai4041434344464748图

4、(其中a是这8个数据的平均数),则输出的S的值是(在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程(D)(8)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.(A) 6(B) 72 x (9)已知F1和F2分别是双曲线w a(C) 824 1 a 0,b b2心，以OR为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,曲线的离心率为 ().3+1(B) 、3 1(C)3(10)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3.2(A) 108(B)72(11)已知函数f (x)开始A和B是以。为圆的两个焦点,且VF2 AB是等边三角形，则该双(D) 2,则这个四棱锥外接球的表面积为()(C) 3

5、6(D) 12x xlnx,若k Z且k(x 2)f (x)对任意x 2恒成立，则k的最大值为()(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(12)设抛物线y24x的焦点为F ,过点2,0的直线交抛物线于 A,B两点，与抛物线准线交于点w SVACF,右SVBCF2,一,则 AF5(A)(B) 4(C) 3(D) 2x y 1 0x y 1 0 ,则函数z 2x y的最大值是y 1 0r r r1),且a b与b共线，则x的值为.填空题：本题共 4小题，每小题5分。(13)若实数x, y满足的约束条件r r(14)已知向量 a (2,1),b (x,(15)某公司招聘5名员工，分给下属的甲、 乙

6、两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数(16)已知数列 an是公差不为 0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合x x aaj,iN, j N ,1 i j n的元素个数为Cn ,把Cn的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为.C3C4C5C6C7C8C9c10cl1C12三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第每个考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。(17)(本小题满分12分)1721题为必考题,25在ABC中，锐角C满

7、足2sin C cos 2C -.32(1)求角C的大小；(2)点P在BC边上,求ABC的面积。PAC PB 3, sin BAP 57 ,338(18)(本小题满分12分)如图，直四棱柱 ABCD AB1clD1的底面是菱形，侧面是正方形，DAB 600, E是棱CB的延长线上一点，经过点 A、C1、E的平面交棱BB1于点F, B1F 2BF .(1)求证：平面 AC1E 平面BCC1B1 ；(2)求二面角E AC1C的平面角的余弦值.(19)(本小题满分12分)1 ,且离心率为22如图，椭圆E:勺之 a b0经过点A 0,_22(1)求椭圆E的方程;(2)经过点1,1 ,且斜率为k的直线与

8、椭圆E交于不同两点P, Q (均异于点A),证明：直线 AP与AQ的斜率之和为定值.(20)(本小题满分12分)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成 4元，超出40单的部分每单抽成 6元.假 设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010(1)现从甲公司记录的这 100天中随机抽

9、取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答以下问题：(i )记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X的分布列和数学期望；(ii)小明拟到甲、 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由(21)(本小题满分12分)已知函数fx x 2 ex a a R ,(1)试确定函数f x的零点个数；(2)设x1，X2是函数f x的两个零点，证明：Xi X2 2 .(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。(22)(本小题满分1

10、0分)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 C的圆心C ,2,4 ，半径r V3 .(1)求圆C的极坐标方程；x 2 tcos(2)若0,直线l的参数方程为(t为参数)，直线l交圆C4y 2 tsin于A、B两点，求弦长 AB的取值范围.(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f (x) x 3 x 2 k .(1)若f (x) 3恒成立，求k的取值范围；(2)当k 1时，解不等式：f (x) 3x .数学(理科)参考答案、选择题:题号123456789101112答案BDCDaBaBCCBD(1)【解析】B； 2 i, 其共轲复数为 2 i；i 2【解析】D；注

11、意当a 0时，N ,也满足N M ,故选d；22352.(3)【斛析】C； f(x) 2cos x sin x+2 cos2 x - , T =,=1;2221 1(4)【斛析】D；由题可知：x 一时，sinx 一成立，所以满足充分条件； 但sinx -时,622(5)【解析】x不一定为一，所以6必要条件不成立，故 D错;A ；设 an的公比为22 a3q2a3 3a3q ,212q 2 3q , q 2 或 q 2n 1 n /Sn ai a2 , , an 12 , , 221；(6)【解析】B;因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个

12、圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选 B;loga x是对数型的且是一个偶函(7)【解析】A ；由题意f x ax 2是指数型的，g x数，由f 2 g 20,可得出g 20 ,故log a 2 0 ,故0 a 1,由此特征可以确定C、D两选项不正确，且 f x ax 2是一个减函数，由此知 B不对，A选项是正确答案，故选A;1(8)【解析】B; Qx - 40 41 43 43 44 46 47 4844,821oooooooo ,2 2 2 22 2 22s -431102347 .故选 B;8(9)【解析】C；设 FF

13、2=2c,QVABF2是等边三角形，AFi=30, AFi =c, AF2 J3c ,3c ca 丁因此 e - V3 1 .故选c； a(10)【解析】C;可求出正四棱锥的高为 3.设其外接球的半径为 R,则由两者的位置关 系可得3 R 232 R2 ,2解得R 3,所以S 4 R 36 .故选C.(11)【解析】B；考虑直线y k(x 2)与曲线y f(x)相切时的情形。设切点为(m, f (m), 此时 f(m) 0 f(m), m 2即 m mlnm 2 mm,化简得：m 4 2lnm 0, m 2222 一设 g(m) m 4 2ln m , 由 于 g(e) e 4 2ln e 0

14、g(e3) e3 4 2lne3 0。故e2 m e3,所以切线斜率k=f(m)=2 Inm的取值范围是 4,5 ,又k Z,kmax 4,选 B；(12)【解析】D；设直线l : y k x 2 , A为，W，B x2,y2 ,将直线方程代入抛物线方程得：k2x2 4 1 k2 x 4k2 0 ,由韦达定理得：Xi x? 4，分别过点A, BSVACFSvBCFAC | |aaJ |afbc| |bb| |bf作准线的垂线AA, BB ,垂足分别为点 A,B ,1-,即 5x1 2x2 3 0 ，解得 x11 ,X2 15AF 2,故选D。、填空题：(13) 3(14)(13)【解析】画出不

15、等式组2(15) 12x y 1 0x y 1 0表示的平面区域,y 1 0(16)293z 2x y在点2, 1处取r r r ra b 2x,2,又ab与b共线，可得最大值，zmax 3.r r(14)【解析】向重a2,1 , b得2x 2 x ,解得X 2 .(15)【解析】由题意可得，有 2种分配方案:甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有 2种可能; 根据分步计数原理，共有 3X2=6种分配方案.甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英3X2=6种分配方案.由分类计数原理，可得不语翻译人员的分配方法有2种；共同的分配方案共有

16、6+6=12种。(16)【解析】an a司 2a1 i易知2时，ij 2取最小值n时，i j 2取最大值2n 3,2可取遍1,2,3，2n3 ,即 Cn 2n3 n 3 .数阵中前16行共有16 136个数，所以第17行左数第10个数为G48 2148 3293。三、解答题:(17)解析:，、 一一 2 一(1) Q 2sin Ccos 2C1 cos2ccos 2C 一 3cos2C1 八 cos2c2由 sin2c 2cos 2C 6又一2c 6(2)由(1)可知VAPC为等边三角形，且APB在VAPB中PBsin BAPAB 2 sin 一333% 5738ABsin 3AB19AB2P

17、A2PB2 2PA2 PB cos 319 PA29 3PAPA2,故BC 2 35, AC 211分SVABC1八八CA CBsin12分(18) (1)设四棱柱ABCD AB1GD1的棱长为a. BiF 2BF , B1ciF s BEF, . BE a2由 DAB 600 ABE, ABC 1200,得 AE a , AC 73a2 分. CE 3a, . AE2 CE2 AC2, AE CE3 分2ABCD ABC1D1 是直四棱柱，C ABCD,又 AE ABCD,. C1C AE,. CEI CC1 C, . AE 平面 BCGB14 分AE平面AGE ,；平面AGE 平面BCGB

18、15分（2）（方法一）过C作CG AC1于G,CH GF于H,连接GH6分由平面AGE 平面BCG4,平面AGEI平面BCGB GE, CH 平面AGE7 分. . CH AC，又CG AC, CGI CH C, . AG 平面CGH,AG GH ,CGH是二面角E AC1 C的平面角9分一 一，一二一 一3在 Rt ACC1 中，AC V3a , CC1 a , AC 2a , CG - a ,在 Rt ECC1 2中，CE 3a, CC1 a, EG 亚a, CH 迅a （CG *a、CH 幽a 2213213（求得任何一个给2分，两个全对给3分）GH .CG2 CH2 0a, 26-GH

19、 13八cos CGH 12分CG 13（方法二）以E为原点，EC、EA所在直线为x轴、y轴，平行于BB的直线EE1为z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,a,0),2tt设平面EAC1的一个法向量为n (p,q,r),则tttut、3nEA一aq02tttttt3nEC1-apar即0q3P2rttr,不妨取 n ( 2,0,3), 0(D知 B(a,0,0) , D(a,-a,0),22平面BCGBi的一个法向量为irtttrn1 BD13(a,a,0)2211分面角E AGC的平面角的余弦值trcos4nuu n -tuI ni I I n I.131312分(19)解：(

20、1)由题意知a2 b2所以椭圆E的方程为222 x2b=1,(2)证明：设直线 PQ的方程为y=k(x 1)+1(kw2)得(1 + 2k2)x2-4k(k 1)x + 2k(k 2)= 0,由题意知设 P(x1, y1), Q(x2, y2),且 x1x2W0,则 x1 x2x1x2所以2k k 22k2kAPkAQVi 1X9分y2 1x2kx1 k 2kx2 k2代入2A 0,4k k 12k9 12k22k 2x2x1x2x1x24k k 1 k -2k k 22k 2 k故直线AP与AQ的斜率之和为定值 2.12分(20 )解：（1 ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40P(M) C2

21、0C10019;495(2)(）设乙公司送餐员送餐单数为38时,38152；当 a 39 时，X 39 4156;40时,40160;当 a 41 时，X 40 4 16 166;42时,40172.所以X的所有可能取值为152, 156, 160, 166, 172.X152156160166172P111211055510故X的分布列为：E(X) 15211115616016610551172162108(ii)依题意，38 0.2分甲公司送餐员日平均送餐单数为39 0.4 40 0.2 41 0.1 420.1395所以甲公司送餐员日平均工资为70 2 39.5 149元.由（i ）得乙

22、公司送餐员日平均工资为162元.因为149 162,故推荐小明去乙公司应聘.10分11分12分(21)解:(1)由f x 0 得 a 2 x ex，令g x函数f的零点个数即直线Qg x如图,0得 x 1,1，函数3分gmax x又当x 2时,20,当 x 2时，g x(2)a e时,函数没有零点；当a e或a 0时,函数f x有一个零a e时，函数 证明：f x有两个零点。证法一:函数f x的零点即直线 y a与曲线g x2 x ex的交点横坐标,由（1）知a 0,不妨设x1,1上单调递增，在 1, 上单调递减,1单调递减，在 1, 上单调递增；,一函数g x 2 x ex在，函数f x g x a在要证x, x2 2,只需证为 2 x2, 只需证f x1f 2 x2 ,又f x10 ,即要证f 2 x202 x2x2x2ex2 2 e x2 11 x ex e2 x , 10分由 a g x2 得 f 2 x2 x2e2 / a构造函数h x xe2 xx 2 ex,贝U h x当 x 1 时，ex e2 x , h x0 ,即函数h x在1,上单调递减，调递减,12分f x f 2 x x 1 ,8分xe是减函数，当x