平面向量的概念及线性运算练习题

1、§ 5.1 面向量的概念及线性运算、选择题1 .两个非零向量a, b满足| a+b|= | a-b| ,那么下面结论正确的选项是A.a/ bB.a±bC.0,1,3D.a+b=a - b【解析一】由I/对二平方可得占-炉Om所以应选B.【解析二】根据向量加法、流法的几何意义可知I才引与g-同分别为以向量第S为邻边的 平行四边形的两条对角线的长,由于|/时二|西-引,所以该平行四边形为矩形,所以 应选B.答案B2 .对于非零向量a, b, “a+ b=0是“a/b的.A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析假设a+b=0,那么a= b.

2、a/ b；假设a/b,那么a=b, a+ b=0不一定成立.答案 A3 .设P是ABCf在平面内的一点,BtBA= 2BP,那么.A.前 Pfe- 0C.曲 » 0B.脸限0D.PA+ 曲 PC= 0解析 如图,根据向量加法的几何意义,BU 瞅2BP? P是AC的中点,. 知心0.N 匚答案 B4.向量 a=(x,2),b=(3, 1),假设(a+ b) /(a 2b),那么实数 x 的值为()A. -3 B . 2 C . 4 D .6解析由于(a+b)/(a 2b) , a+b=(x + 3,1) , a 2b=(x 6,4), 4(x + 3) (x 6) = 0, x= 6.

3、答案DA.矩形C.梯形5.在四边形ABCDK.a+ 2b, 哈 一4ab, 融 一5a 3b,那么四边形ABCD 的形状是().平行四边形以上都不对解析 由 AD=AB+BC+C* -8a- 2b = 2(4ab) =2BC.AD/BC,又ABfCDf平行,四边形ABCLM梯形.答案 C6,ABCft点M满足宿脸 M(10,假设存在实数m,使得超 AU mAlM;立, 那么 m=().A. 2B . 3C . 4D . 5解析 /MaMbMc= 0, .点M是ABC勺重心,丽板3AM3.答案 B7.点O为 ABC外接圆的圆心,且OA + OB + CO =0,那么 ABC的内角A 等于()A.

4、 30°B. 600C. 90°D. 120°解析：由OA + OB+CO =0得OA + OB=OC,由o为abc外接圆的圆心, 结合向量加法的几何意义知四边形 OACBJ菱形,且/ CA060° .答案：A二、填空题T TAB| BC |8 .平面上不共线的四点 O, A, B, C,假设OA3 OB+2 OC =0,那么里毕=解析：由 OA3 OB+2 OC =0,得 OA OB=2( OB - OC ),即 BA =2CB ,于是LABW = 2. | BC |答案：29 .给出以下命题：向量AB勺长度与向量的勺长度相等；向量a与b平行,那么a与

5、b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同；两个有公共终点的向量,一定是共线向量；向量AB与向量C是共线向量,那么点 A B C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为.解析中,二向量丽与敢为相反向量,它们的长度相等,此命题正确.中假设a或b为零向量,那么满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,此命题错误.由相等向量的定义知,假设两向量为相等向量,且起点相同,那么其终点也必定相 同,该命题正确.由共线向量知,假设两个向量仅有相同的终点,那么不一定共线,该命题错误.共线向量是方向相同或相反的向量,.假设 丽与Cfe共线向量,那么A, B, C, D四点不一定在一条直线

6、上,该命题错误.答案 310 .向量a,b夹角为45.,且a =1,一b=j而；贝U b =.2a-be=> Q白一否y=10 <=>4+ b -4 dlcos45' =10 » b =3无解析II答案3., 237 1f11 .假设M为 ABC内一点,且满足AU 画 AG那么 ABM与 ABC的面积之比 为.解析 由题知B M C三点共线,设BMk入BC那么：AM-AB=入(AC-AB), AM=(1 入)Ab+ 入 AC、1 入=:,4,S>A ABM 1-二 T.S>A ABC 412.假设点O是 ABC所在平面内的一点,且满足|dfe-g

7、 = |曲g2曲,那么 ABC勺形X犬为.解析 (等价转化法)曲 OC- 2加 OB- 加 OC- 加 超 ACOfe- OC=品 AB- AC.|AB+ 由:| AB- AC.故A, B, C为矩形的三个顶点, ABCXj直角三角形.答案直角三角形【点评】 此题采用的是等价转化法,将 ABC的三个顶点转化到相应矩形中, 从而判断三角形形状.此题也可用两边平方展开得出结论.三、解做题13 .如下图, ABO, 也 |陶 DE/ BC交AC于E, AM是BC边上的中线,交DE于N设届a, AC= b,用a, b分别表示向量Afe, BC, DE 弟 AM ANd u.-2 2- 1解析 AE=

8、-b,瞅b-a,隹-(b-a), N-(b-a), 333T 171AM= (a+b) , AN(a+ b). 2314 .设a, b是两个不共线的非零向量,假设a与b起点相同,t CR, t为何值时,1a, tb,?a+b)二向量的终点在一条直线上？ 3解析 设 a tb=；v|a 1 a+bX R),_ 3八一一 i2、(1、化简整理得q入一1月+ 1 3入p=o,a与b不共线,.由平面向量根本定理有2. 一不人1 = 0, 3前、需;、3入=2,1 t=2.=.,故t=1时,a, tb, 1(a+b)的终点在一条直线上. 2315.如下图,在ABC, D F分别是BC AC的中点,aE2

9、r V -.= -AD , AB =a, AC =b.3(1)用a, b表示向量AD、AE、A?(2)求证：B、E、F三点共线解析：(1)延长AD至IJG,使 ad=2Ag,连结BG CG得至U ?ABGC 所以 AG = a+b,1 111AD =2 AG =2(a+ b),AE = 2AD =3(a+ b),AF 4 AC 4b,AE一'=3a：.孙T"1 T 11“ c、BF = AF AB =2b a=(b 2a).证实：由(1)可知BE=2b?, 3所以B、E、F三点共线.16.O, A, B三点不共线,且 是 mOAnOB (m n R).(1)假设m+ n=1,求证：A, P, B三点共线;假设A, P, B三点共线,求证：mH n=1.证实m, n R,且mn=i,/.m3 A- n&B= m3 A- 1 n如即招碓网队画.施而融0,且mC R故小与助共线,