小升初六年级奥数——几何(平面图形)

1、小升初六年级奥数重点难点分析一、分数百分数问题,比和比例这是六年级的重点内容,在历年各个学校测试中所占比例非常高,重点应该掌握好以下内容：对单位1的正确理解,知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别；求单位1的正确方法,用具体的量去除以对应的分率,找到对应关系是重点；分数比和整数比的转化,了解正比和反比关系；通过对“份数的理解结合比例解决和倍按比例分配和差倍问题；二、行程问题应用题里最重要的内容, 由于综合考察了学生比例, 方程的运用以及分析复杂问题的能 力,所以常常作为压轴题出现,重点应该掌握以下内容：路程速度时间三个量之间的比例关系,即当路程一定时,速度与时间成反比； 速度一定时,路程

2、与时间成正比； 时间一定时,速度与路程成正比.特别需要强调的是在很多题目中 一定要先去找到这个“一定的量；当三个量均不相等时,学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比；学会用比例的方法分析解决一般的行程问题；有了以上根底,进一步增强屡次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理 解,重点是学会如何去分析一个复杂的题目,而不是一味的做题；三、几何问题几何问题是各个学校考察的重点内容, 分为平面几何和立体几何两大块, 具体的平面几 何里分为直线形问题和圆与扇形； 立体几何里分为外表积和体积两大局部内容. 学生应重点 掌握以下内容：等积变换及面积中比例的应用；与圆和扇形的周长面积相关的几何问

3、题,处理不规那么图形问题的相关方法；立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题；立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；四、数论问题常考内容,而且可以应用于策略问题, 数字谜问题,计算问题等其他专题中, 相当重要, 应重点掌握以下内容：掌握被特殊整数整除的性质,如数字和能被9整除的整数一定是 9的倍数等；最好了解其中的道理,由于这个方法可以用在许多题目中,包括一些数字谜问题；掌握约数倍数的性质, 会用分解质因数法, 短除法,辗转相除法求两个数的最大公因数 和最小公倍数；学会求约数个数的方法,为了提升灵活运用的水平,需了解这个方法的原理；了解同余的概念,学会把余数问题转化成整除问

4、题,下面的这个性质是非常有用的：两个数被第三个数去除,如果所得的余数相同,那么这两个数的差就能被这个数整除；能够解决求一个多位数除以一个较小的自然数所得的余数问题,例如求10111213149899除以11的余数,以及求 20212021除以13的余数这类问题；五、计算问题计算问题通常在前几个题目中出现概率较高,主要考察两个方面, 一个是根本的四那么运算水平,同时,一些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点.我们应该重点掌握以下内容：计算根本功的练习；利用乘法分配率进行速算与巧算；分小数互化及运算,繁分数运算；估算与比拟；计算公式应用.如等差数列求和,平方差公式等；裂项,换元与通项公式.

5、第一讲：几何综合之圆与扇形解析例】如图,是一个对称图形.里色新分面积大还是阴密局部面积多？国二届"华杯要"决驱试试通小学组【分析与解】能At仔矩现察图形,可知四个小园面根和恰好等于大国的面积,由于设大图半径为2 ,小国学径为1 , 所以,通=尸,7工4不,法悔=m而阴燮局部是四个司遇的相重金的局部.里色局部是由 重疑而言空余出来的局部,息以这两局部面积因漆相等.且P-祥大.解法: 照色面积二大幽积-H个小画面积朝鹤面面 帮影面机由于大国面积与4个小国®积相等 E息评】朝的面相与半径呈平方关系.第二讲：几何综合之体积不变解析1例I 一个酒精瓶.它的瓶身呈圆拄形不包括

6、瓶颈上如以下图.己知它的容积为26.4H立方 厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘泄.瓶子倒放时,空余局部的高为2 康米.问工瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合承少升？分析由题意,液体的体枳是不变的.瓶内空余局部的体积也是不变,的,因此可知液体体积是空余局部体积的3倍5 + 2.a解 2647rx 言-62 172 立方厘半.取n三丸462R2立方厘米二旌172毫升=0 062172ft,普工酒精的体积是6X 172立方厘米.合0. Q62172升.【嫉习1】大、中,小三个正方体形的水缸者有1,3缸的水,它们的边长分别先4分米、3分米、z分米.把 两雄碎石分剧沉漫在中,小水缸的水中,两个

7、水池的水面分别升高了 4屋米和U厘米.如果将这 两堆碑石都玩漫在大水缸中.大水缸中水面将升德多少胞米中【分析与解】两堆碎石的障积之和3分米=31®米,玲米=如展羯知X4+?pX】1=H00H立方血米.沉 渡在大水缸中水面应升高高度：4分米=4®米.3000-405【腹米L第三讲：几何综合之立体涂色解析1例1第年首师大队中考题一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为L0厘米的大正方体,大正方体外表涂油漆后再分开为原来的小正方体,这些小正方体至 少有一面被油漆涂过的数目是多少个？解：1000-512=488E点评】总结：立方即深色公心顶点三面涂色：8个棱上二面除色

8、：4X-2+4X f宽-3+4X 高-第面上一面徐色长-2乂宽-2 X2+ -2 X ®-2X2+ 5-2 X -2 X 2?内耕没有除色：t长rX 宽-2xS-2练习L小明把一个校长为m厘米m为自然数的外表涂红色的正方体据成棱长为1厘米的小正 方体,然后他数了数,发现一面涂色的小正方体的个数正好等于外表无色的小正方体的 个数.那么萨.?QT年希望杯培训题hf8第四讲：几何综合之几何之比解析【例1】一个正方形如图,分成四个长方形,它们的面根分别为平方米J平方米,3平方米和2平方米, 105105图中阴影局部是一个正文形,求图中阴密露分的面积?E分析与解】257441练习11 苜居“华

9、杯鎏"复赛枕赛一个长方形f如图,被两条直统分成四个长方形其中三个的面积分 别是20亩、25亩和30亩.间另一个长方形的面积是茎少？解37.5第七讲：几何综合之等积变化解析第五讲：几何综合之差不变原理解析A.x D练习U C第五届S领报,教学竟要初宴应用题第6题八 八如图,皿是梯形AB的一条对角线.线段AE与株形的一条履V/ DC平行,庇与加相交于0点.三角彩BOE的面积比三龟形/A AOD的面积大4平方米,并且E82 BC求拂形ABCD的面棋.口5日E G1分析与解】 三龟形ABE的面积比三角形由大4平方米,而三角形横与三角形A£D面积相等同底等高,因此也与三角形ACE面积

10、相等,从而三角形ADE的面积比 222三角彩出E大4平方米.但EC=W BC,厮以三焦形ACE的面积是三箱形蛆E的从而55-2 32一2三角形ZBE的面积是4* 以一三=12平方米,梯形ABCD的面程=1?乂1三乂2=28平方米,例, 如图,在梯形ABO中,AD ： EEF ： 3,BE ： EC=2 ： 3,且dfiOE的面积比前0的面积小10平方厘米.梯形皿口的面积是平方嚎朱.解疝：BE ： EC=3 ： 6 ： 9,梯形AB CD = SOAD + SUBCD = 40 +75 = 1151 平方厘米,【点评】但凡两块面积存在大小关系血 必候朝时加上一块邮减去一般,商化关系.第六讲：几何

11、综合之差不变原理解析线习L?06隼清华附中考题如图,在三龟形ABC中,D为耽的中点,E为杷上的一点且5£二1金8.3四边形EDB的面积是35.求三线知C的面积.【分析与解】连接AD,D为BC的申点,需三国形畋是三角形世的一半,三第形BEL是三角形勒的1加,是三角形般的工花*那么四眺EDAC是三国形ABC的5附,所以筠形ADC是35乂6/5制2.【点、评】等积受化在三角形中的应用等枳P：变化八2：,侨梁作用；面积比一线段比一面积比等底的三角形面积之比等于对应高之比 等高的三角形茴积之比等于对应底之比练习公如图,正方形距的边长是4匣米,gS度米,矩形DER；的长DG为5度米,求它的瓦陋等

12、于多少 国案？【分析与解】连接邢,三角形&G的面积是正方形ABCD的一半,也是矩形FEGD面积的一半,4X425=3.2 【点评】三角形与平行四边形的关系.第八讲：几何综合之等积变化解析例Z如图,平行四道形ABCD中,E为研边中点,F为曲道中点,其中;1面积占平行四边形面积四分之一的三角形共有 个.2面积占平行四边彩面积六分之一的三角形共有个.【分析马解】1四分之一的有二瓯3、Adf®、Adfc. Abec2六分之一的有1 bgc. Aghc、dhc、Aefh【点评】Abfh容易恕略致错.三角形面积与平等四边形面积的关系.第二1闻廊塞度假大.第九讲：几何综合之等积变化解析例L

13、如下图,在三角形瓯中凶二题,DE=£A.假设三角形即C的面睡1*nc【分析与解】心d Aw同需,用以底的比等于面积比,那么有如="而e为AD中点,所以Wmc =-连搀即, ME、Afae面积相等,设28用皿=*那么,£凯 的面积也为3.凡侬=$1UC H -44I3珞-xBP - 4fE4 - £*FDf =彳-2丸而 Ejdc 又FES + 恙曲 - x+二(I一2幻;(x+§=1 3,解籍工二得.所以,阴影局部面积为H338 56 7加皿:说明:等积变化在三角形申的应用等积等底的三角形面积之比等于对应高之比. 变化口乙等高的三角形面积之比等

14、于对应底之比桥梁作用工:露底粕等的两个三角形面积之比等于对函言之比.第十讲：几何综合之图形综合练习题如右图BE=- BC, CD=- M,那么三角形AED的面枳是三角形ABC面根的34【分析与解】 上图中,三角形AK与三角形AEC的高相等.而BE=1EC.3彳星叩2k 三角形AEC的面枳_2*3三角形ABC的面枳一 5又由于三角形AED与三角形般的高相等,而3=始,于是阳？加,44第霹舞4制'三角形皿的醐x三翩阪的321面积;一 X 一 X三角形AEC的面积=-X三角形ABC的面粗 432【点评】这里也运用了等租变化的数堂关系.第十一讲：几何综合之等积变化练习今有9盆花要在平地上摆成9

15、行,耳中每盆花都有3行通过,而且每行部通过3盆花.请你给出 一种设计方案,画图时用点表示花,用直绫表示行.丽四届迎春杯决赛1分析与解】如以下图所示,我们给出四种不同的掷法.几何综合之图形综合练习题六年级奥数那幺有C的面枳*C附面积一；7练2.如图.AB8是4X7的长方形. DEFG是2X10的长方形.那幺.之差是多少?【分析与解I榴g差不变原理,H郎的面积洲法CDWE3, 绛总有两个圆,它门的面积之和为翊1平方屋米,H球的网长是大圆周长的班第三届"华杯赛*WtB分析据题意.两国的周长比,可以算出两国的半径比,假设圆勺的周长为2/rR,即G = 2并R.圆C7的周长为2并处 即4 =

16、2力K,可得到下面的比例关系C的周长_ 2*衣C的周长=诟=:这就是*两个圆的周长的比等于这两馆的半径的比,同理,这两个圆的半径的比等于这两个圆的周长比圆华面积二次又长圆懒面积二病财两霞I的面积比等于两国半径的平方比解由于西回的周长比为.9,故两圜的半役比为69两图的面积比为.-9? = 0同又由于两国的面料的和是1S91 1所以大画而租是 1991-11 + 0 81 = 199 i-rsunooW?K 答I大园的面积是118平方匣米.小升初奥数专题讲解：称球问题专题介绍称球问题是一类传统的趣味数学问题,它锻炼着一代又一代人的智力, 历久不衰.下面几道称球趣题,请你先仔细考虑一番,然后再阅读

17、解答,想来你一定会有所收获.经典例题例1有4堆外表上一样的球,每堆 4个.其中三堆是正品、一堆是次品,正品球每个重10克,次品球每个重 11克,请你用天平只称一次,把是次品的那堆找出来.解：依次从第一、二、三、四堆球中,各取 1、2、3、4个球,这10个球一起放到天平上去称,总重量比100克多几克,第几堆就是次品球.例2有27个外表上一样的球,其中只有一个是次品,重量比正品轻,请你用天平只称三次 (不用祛码),把次品球找出来.解：第一次：把27个球分为三堆,每堆 9个,取其中两堆分别放在天平的两个盘上.假设天 平不平衡,可找到较轻的一堆； 假设天平平衡,那么剩下来称的一堆必定较轻,次品必在较轻

18、的一堆中.第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆,每堆 3个球,按上法称其中两堆,又 可找出次品在其中较轻的那一堆.第三次：从第二次找出的较轻的一堆 3个球中取出2个称一次,假设天平不平衡,那么较轻 的就是次品,假设天平平衡,那么剩下一个未称的就是次品.例3把10个外表上一样的球, 其中只有一个是次品, 请你用天平只称三次, 把次品找出来.解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组,将四组球及其重量分别用A、曰C D表示.把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称,那么(1)假设A=B,那么A、B中都是正品,再称 B、Co如B=C,显然D中的那个球是次品；如 B> C,那么次品在C中且

19、次品比正品轻,再在 C中取出2个球来称,便可得出结论.如Bv C,仿照B> C的情况也可得出结论.(2)假设A> B,那么C D中都是正品,再称 B、C,那么有B=C或B<C (B>C不可能,为 什么？)如B=C那么次品在A中且次品比正品重, 再在A中取出2个球来称,便可得出结论； 如Bv C,仿前也可得出结论.(3)假设Av B,类似于A>B的情况,可分析得出结论.练习 有12个外表上一样的球,其中只有一个是次品,用天平只称三次,你能找出次品吗？小升初奥数专题讲解：利润与折扣专题介绍工厂和商店有时减价出售商品,通常我们把它称为“打折扣出售,几折就是百分之几十.利

20、润问题也是一种常见的百分数应用题,商店出售商品总是期望获得利润,一般情况下,商品从厂家购进的价格称为本价,商家在本钱价的根底上提升价格出售,所赚的钱称为利润,利润与本钱的百分比称之为利润率.期望利润=本钱价X期望利润率.经典例题例1、某商店将某种 口丫皿进价提升35断,打出“九折优惠酬宾,外送 50元出租车费的广告,结果每台仍旧获利 208元,那么每台DVD勺进价是多少元？ ( B级)解：定价是进价的1+35%打九折后,实际售价是进价的135%< 90%=121.5%每台DVD的实际盈利：208+50=258 (元)每台 DVD的进价 258+ ( 121.5%-1 ) =1200 (元

21、)答：每台DVD勺进彳是1200元例2: 一种服装,甲店比乙店的进货廉价 10卿店根据20%勺利润定价,乙店根据15%勺利润定价,甲店比乙店的出厂价廉价11.2元,问甲店的进货价 是多少元？ ( B级)分析：解：设乙店的本钱价为 1(1 + 15%)是乙店的定价(1-10%) X (1+20% 是甲店的定价(1 + 15%) - (1-10%) X ( 1+20% =7%11.2 +7%=160(元)160X (1-10%) =144 (元)答：甲店的进货价为144元.例3、原来将一批水果按 100%勺利润定价出售,由于价格过高,无人购置,不得不按38%勺利润重新定价,这样出售了其中的40%此

22、时因害怕剩余水果会变质,不得不再次降价,售出了全部水果.结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%,那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？ ( B级)分析：要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几,那么需要求出第二次是按百分之几的利润定价.解：设第二次降价是按 x%勺利润定价的.38%X 40%+ x%X (1-40%) =30.2%X%=25%(1+25%) + (1 + 100% =62.5%答：第二次降价后的价格是原来价格的62.5%练习:1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱,与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多. 这种商品的进货价是每个多少元？2、租用仓库堆放3吨货物,

23、每月租金7000元.这些货物原方案要销售 3个月,由于降低了价格,结果2个月就销售完了,由于节省了租仓库的租金,所以结算下来,反而比原方案多赚了 1000元.问：每千克货物的价格降低了多少元？3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件.张先生对商店经理说：“如果你肯减价,那么每减价 1元,我就多订购4件.商店经理算了一下,假设减价5%,那么由于张先生多订购,获得的利润反而比原来多100元.问：这种商品的本钱是多少元？4、某商店到苹果产地去收购苹果,收购价为每千克1.20元.从产地到商店的距离是 400千米,运费为每吨货物每运 1千米收1.50元.如果在运输及销售过程中的损耗是10%

24、,商店要想实现25%的利润率,零售价应是每千克多少元？5、小明到商店买了相同数量的红球和白球,红球原价2元3个,白球原价3元5个.新年优惠,两种球都按1元2个卖,结果小明少花了 8元钱.问：小明共买了多少个球？6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元,每年需付利息 5万元.甲种贷款年利率为 12%,乙种贷款年利率为 14%.该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？7、商店进了一批钢笔,用零售价 10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同.这批钢笔的进货价每支多少元？8、某种蜜瓜大量上市,这几天的价格每天都是前一天的80%.妈妈第一天买了 2个,第二天买了 3个,第三天买了 5个,共花

25、了 38元.假设这10个蜜瓜都在第三天买, 那么能少花多少钱？9、商店以每双13元购进一批凉鞋,售价为 14.8元,卖到还剩5双时,除去购进这批凉鞋 的全部开销外还获利 88元.问：这批凉鞋共多少双？10、体育用品商店用 3000元购进50个足球和40个篮球.零售日足球加价 9%,篮球加价11%,全部卖出后获利润 298元.问：每个足球和篮球的进价是多少元？一图形周长一个图形最外沿封闭一周的长度叫图形的周长.1 .以下图是由10个边长为3厘米的小正方形组成.每个小正方形的顶点恰在另一个正方 形的中央,且边相互平行,求这个图形的周长.2 .如图,阴影局部是正方形,那么最大长方形的周长是 厘米.3、如图,在长方形 ABCD中