极限运算法则两个重要极限

1、吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号1复习旧课：1.无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系导言：前面我们介绍了极限的定义,为了方便计算下面我们介绍极限的运算法那么和两个重要的极限2. 3极限的运算法那么2. 3. 1极限的性质定理1：(唯一性)如果极限lim f(x)存在,那么它只有一个极限.即假设lim f (x) A , lim f (x) B ,那么 A B定理2：(有界性)假设极限lim f(x)存在,那么函数f(x)在x0的某一空心邻 x%域内有界定理3 :(局部保号性)如果lim f(x)A,并且A 0 (或A 0),那么x x0在x0的某一空心邻域内,有 f

2、 (x)0 (或f (x)0).推论 假设在x0的某一空心邻域内有f (x)0 (或f(x) 0 ),且lim f(x) A,那么 A 0 (或 A 0).x x02. 3. 2极限的运算法那么定理 1： 设 lim f (x) A, lim g (x)B ,那么(1) lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) A B lim f (x)g (x) lim f (x) lim g(x) A B假设 g(x) C.(常数),那么 limCf (x) C lim f (x) CAf (x)lim f(x)A(3) lim(B 0)g(x)lim g(x)B证实由于li

3、m f (x)A, lim g(x) B ,利用2.2定理,它们可以分别写为：f(x) = A (x),g(x) B (x)其中(x), (x)均为无穷小量,那么有：讲述我们先介绍极限的运算法那么证实从略.以上性质只对x x0的情况加以表达,其它 的形式也有类似的结果.吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号2 f(x) + g(x) =A+B+(x)(x)由2. 2定理知 (x)(x)仍为无穷小量,所以f(x)+g(x)以A+B为极限.即 lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) A B .容易证实：lim P(x) P(x0)X x0.P(x) P(xo) lim

4、-xxoQ(x) Q(xo) ,-2一、例 1 求 lim (3xx 5)x 2解 lim (3x2 x 5) = 15 x 2Zl x22x3例2求lim 3x1 xx52_-初x2x36解 lim 3=x 1 x x 55,x 1例3求limx 1x 1. 一,x 1 解 由于lim x一1 = 0根据无穷大于无穷小的关系x 1 x 1一 .x 1所以有limx 1 x 1注意：求极限时,必须注意每一步的根据,否那么会出现错误.x2 1例4求limx 1 x 12,八,八x 1. (x 1)( x 1)小.解 lim- lim lim (x 1) 2x 1 x 1 x 1 x 1x 1.x

5、2 9例 5 lim 2x 3x2 7x 12设P(x)为多项式当xx0时,Q(x0)0由于f (x)为多项式,所以极限值等于在x0处的函数值由于f (x)为两个多项式商的极限,且在 x=1 处分母的极限不为零, 所以极限值等于函数 值.在x=-1处,分母为零, 不能直接计算极限.在x=-1处,分母为零, 不能直接计算极限.“e 型,先设法0约去非零因子.解 lim 之-9: lim(X 3)(X 3)= lim =6x 3x2 7x 12 x 3(x 3)(x 4) x 3x 43x3 x例 6 求 lim tx x3 13 33 -12解 lim 33x= lim 3x x3 1 x .

6、13xa,当 m n,b0 0,mm 1d结论：lim0,当 m n,xboxnb1xn1bn*,当m n.,12 、例 7 求 lim ()x 1 x 1 x2 1-12 、 x 1 21解 lim (2) = lim 2=x 1 x 1 x 1 x 1 x 12小结：1.极限运算法那么2.求极限方法1)设 P(x)为多项式,那么 lim P(x)P(x0).x x02) P(x)、Q(x)均为多项式,且Q(xo)0,那么.P(x)P(x0)limx x0Q(x) Q(x0)3)假设 f (x)0,g(x) A 0,那么 lim g()f(x)4)假设lim 以的为“ 0型时,用因式分解找出

7、“零因子.f(x) 0型,用无穷小量分出法,即分子、分 母同时除以x的最高次嘉.先通分,再计算.序号3吉林工业职业技术学院教师教案用纸吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号4a,当 m n,b00,mm 1b05)结论：lim 曳:一a,Xn 1-0,当m n,xbox bixbn4,当m n.6)假设(x) Qf(x)有界,那么 lim (x) f (x) 07)假设lim f(x) g(x)为“"型时,一般是通分或有理化后再处理.2. 4两个重要极限2. 4. 1判别极限存在的两个准那么准那么1 (夹逼定理)设函数 f (x), g(x),h(x)在x0的某一邻域U(x0,)内满足

8、g(x) f(x) h(x)且有极限 lim g(x) lim h(x) A,那么有 lim f (x) A x x0x x0x x0准那么2如果数列xn单调有界,那么limxn 一定存在.x2. 4. 2两个重要极限sin x /1 .极限 lim 1x 0 xtan x例8计算limx 0 x叼 t.tan xsin x1sin x1解 lim- lim-= limlim=1x 0 x x 0 x cosx x 0 x x 0 cosx小、-1 cosx例9计算lim2x 0x22 2 x. x/2sin . sin-m1 cosx2.1 2斛 lim2- lim 22 Tlm2x 0x2

9、x 0x2x 0 2 x2一般sinU lim1U 0 U证实略例8、例9结果可作 为公式使用.d . 2 x cosx 1 2sin 2c2 x /2 cos - 12 可证得此结论.吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号52. 一 x(sin 12lim2X0x2212例10计算lim运 x 0 3x和差化积公式msin 5xsin 5x解 lim = limx 0 3x x 0 5x结论：lim SfL 1f(x)0 f (x)553 3练习：cosx cos3xlim5x 0x=4/而04省sin3x sin x例11计算 11mx 0x览 s sin 3x sin x斛 lim _ l

10、imx 0xx 02cos2xsin x x2lim cos2x x 0sin x limx 0 x2sin x 例12求lim叫上x 0 tan x由于当x时,就 s sinxzsinx管米 11 rvi 11 rvi /x M(sin x1 )1sin lim一 1用牛 lim lim(x 0 tanx x 0 x1 ) tanxxtanx7x,sin x例13求limx tanx一般sin xlimx,sin xxlim (1U1Uc斛乍日妖做怯：lim一x tan x( xtanx) 1) eUsin xsin(t)liesin t1lim (1U 01U)U e上班岐么.lim li

11、mx tan x t 0tan(t)limt 0tant1 . x2.极限 lim (1 一) e xx1 -例14计算lim(1 I2 xxlim (1 x2、x 0)=e2 x“1 x斛 lim (1 一)2 = lim (1xxx1 x11. )X2e2例15计算解 lim0(1例16计算解=lim (1x吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号6xm0(112x)xlim (1 x5)x x例17计算lim (x解 lim (x)xlim (1 x例18计算x1 )x x 3.ln(1典解lim0ln(1 x)xm01n(11 x)x例19limex 1所以limx 012x)xxm0(15 x)x xlim 1 xx)x xlim (1 x2x)(5)xx5(5)lim (1x5) xx55例18,例19视情况选讲lim (1 x3)x1lim (1 x3)3x)x.1lim 一x 0 xln(1x)In lim (1ex 1那么 xex 1sin x小结：i. limln(1limf(x)1x)x lnu),当 x0时,ln(1+ u)