三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结材料

1、标准实用、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点结论：(1) AABDAEC (2)+/BOC=180例1.如图在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形 AABD与ABCE,连结AE与CD,证 明(1) MBE -ADBC上(2) AE -DC E(3) AE与DC之间的夹角为60(4) ；：AGB 三；：DFB/(5) EGB 三 CFB(6)bh 平分. ahc3r二7(7) GF /AC1,文案大全标准实用变式精练1：如图两个等边三角形 AABD与ABCE,连结AE与CD ,证实(2)(1) ABE 三 DBC AE =DC(3)AE与D

2、C之间的夹角为60AE与DC的交点设为H , BH平分/AHC变式精练2：如图两个等边三角形 AABD与ABCE,连结AE与CD,证实(2)(1) ABE 三 DBCAE -DC(3)AE与DC之间的夹角为60(4)AE与DC的交点设为H , BH平分ZAHC例2：如图,两个正方形 ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H问：(1) AADG与ACDE是否成立?(2)(3)(4)AG是否与CE相等？AG与CE之间的夹角为多少度?HD是否平分/AHE ?例3：如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG ,连结AG,CE ,二者相交于点H问：(1) &ADG与&CDE是否成立?(2)(3)(

3、4)AG是否与CE相等？AG与CE之间的夹角为多少度?HD是否平分/AHE ?文案大全标准实用例 4：两个等腰三角形 AABD 与 ABCE,其中 AB = BD , CB = EB, NABD =/CBE =,连结AE与CD ,问：(1) AABE三ADBC是否成立？(2) AE是否与CD相等？(3) AE与CD之间的夹角为多少度?(4) HB是否平分/AHC?二、倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：但凡出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线, 倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而到达将条件进行转化的目的.1【例1】 ： MBC中,AM是中线.求证： AM EC +FC .

4、【例2】 如图,在 MBC中,AD是BC边上的中线, E是AD上一点,延长 BE交AC 于 F , AF =EF ,求证：AC =BE .文案大全标准实用【练1】如图,在 MBC中,AD是BC边上的中线, E是AD上一点,且 BE = AC , 延长BE交AC于F ,求证：AF =EF【练2】如图,在 MBC中,AD交BC于点D ,点E是BC中点,EF /AD交CA的延长 线于点F ,交AB于点G ,假设BG =CF ,求证：AD为AABC的角平分线.【练3】如下图,iABC中,AD平分ZBAC , E、F分别在BD、AD上.DE=CD, EF =AC .求证：EF / AB【例3】 AM为M

5、BC的中线,ZAMB , /AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于 F .求证：BE +CF EF .【练1】在RtMBC中,F是斜边 AB的中点, D、E分别在边 CA、CB上,满足 /DFE =90 .假设AD=3, BE =4,那么线段DE的长度为 .文案大全标准实用【练2】在9BC中,点D为BC的中点,点M、N分别为AB、AC上的点,且MD ND . (1)假设/A=90,以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？假设能,该三 角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？2222. .212_ 2(2)如果 BM +CN =DM +DN ,求证 AD2 =；(AB2 十AC2 ).

6、【例4】 如下图,在 MBC中,AB =AC ,延长AB至iJ D ,使BD4B , E为AB的中点, 连接 CE、CD ,求证 CD =2EC .【练1】 MBC中,AB =AC , BD为AB的延长线,且 BD = AB, CE为AABC的AB 边上的中线.求证：CD =2CE全等之截长补短： 人教八年级上册课本中,在全等三角形局部介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法又是解决这一类问题的一种特殊方1.如下图,&ABC 中,/C =90/B =45 , A叶分/BAC 交 BC于 D.求证：AB=AC+CD文案大全标准实用上一点E,求证：BC=AB+C

7、D6 .如下图, AB/CD, /ABC,NBCD的平分线恰好交于 AD7 .如图,E是/AOB的平分线上一点, EC_LOA, 足为 C D 求证：(1) OC=OD (2) DF=CF文案大全标准实用三、截长补短问题1:垂直平分线性质定理是 问题2 :角平分线性质定理是问题3:等腰三角形白两个底角 ,简称;如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也 ,简称.重新组合解决问问题4:当见到线段的 考虑截长补短,构造全等或等腰转移 、车移,然后和题.三角形全等之截长补短一一、单项选择题共4道,每道25分1.,如图,BM平分/ABC P为BML上一点,PDL BC于点D, BD=AB+C D?

8、或长法证实,如图,在g匚上截取白E=艮工连接PE在ZVMF和国产中 AB=ES, Z1 = Z2BF= BP:(SAS)CD=ED:FD l BC. PE=PC请你仔细观察以下序号所代表的内容：平分443C,二一；/ 1 = /2;/ A=Z BEP;AP=PE; BD = AB + CD,N3 = ZPCDBDAB+CD.BDBE + EDVZ5f+Z3= 180：.BE + EE); AB + CD ,= W + C.；,ZSAP+Z3 = lgO；AZ3 = ZfCCVZBSF+Z3 = 18O,Zfi/P+ZBCF = 1SO 口以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.C.D. 2.,

9、如图,BIW分/ ABC 点 P 为 BMLh一点,PDL BC于点 D, BD=AB+DC 求证：/ BAPy BCP=180 .文案大全标准实用切平花.Z1=Z2在Eb和中BE = BD,Z1 = Z2BP= BP:BE0ZlF SAS在Af小和乙干节匚中rPE=PD1 &4 ZFTC_AE = CD二FE$连凸严口口 (SAS)/. ZC=ZPAE,/Z4?-Z/;jr=Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3请你仔细观察以下序号所代表的内容：延长BA,过点P作PH BA于点E;延长BA到E,使AE=DC连接PE：BD = BA+CD ：BD=BA+CD延长BA到E,使DC=AE, BD

10、= BA+AE - BE ；:RL二 BE/. PE = PD, PEA 二4PDB SPD1BCPRE = 98/. ZPQC = 90二 .以上空缺处依次所填最恰当的是:PE二 PD, /PA = /PDB 二 PDLBG：.ZPDB = J/PDC = 90Q,a4 = 90.A.B. C.D.BC+DE=CD3.,如图,在五边形 ABCD中,AB=AE AD平分/ CDE / BAE= CAD求证:文案大全标准实用二D平分工/1=4在和乙记.中AD = ADZl = Z2口F -二jFDSfiZSJED(SA5)在瓯和d4FC巾AS= AF,Z6 = Z5AC = JiC/. 4错04

11、珏七($A$).,.BC-CFBC-DE=CF-DF=Cl请你仔细观察以下序号所代表的内容：在CD上截取CF=CB连接AF;在DC上截取DF=DE连接AF;在DC上截取DF=DEAE=AF AF=AE / 4=2 3;/ 4=2 3;,AB = AE. AB = AE：.AB = AF= 2/CADZBAE=2ZCAD. ZCJW = Z3+Z6JZ4 = Z3 AZCJD =Z3+Z67NCAD = N3+/6即/4+/5 二/3+/6即 N4+/5 = N3+/6在白事9a+bCD,不确定4 .ABC中,NACB=90 , CD _L AB于D , AE为角平分线交 CD于F,那么图中的直

12、 角三角形有A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个5 .如图,DAL AB, EAL AC, AD= AB, AE= AC 那么以下正确的选项是文案大全标准实用A. AABDACEC. ABMFCMSB. AADFAESD. AADCABE6.如图, P为正方形 ABCD 的对角线AC上的一点不与A、C 重合,Pa BC与点E, PE CD 与点F,假设四边形PEC疏点C逆 时针旋转,连结 BE DF,那么以下一定正确的选项是A. BP DPB.BU+EC= BC2C. BP= DFD. BE= DF7.如图,等腰直角4ADBf等腰直角 AE佻点于A,连结BE、CD ,那么以下一定正确的是A

13、. BE= DCB. AD/ CEC. BEL CED. BE= CEAFC共点于A,连接BF、CE ,那么ZEOB的度数为AC. 90D. 1208.如图,等边三角形ABE与等边三角形.45 B . 609.如图,在四边形 ABCD中,AB=AD, /B=/D=901 E、F分别是边 BC、CD上1的点,且/EAF = /BAD.那么以下一定正确的选项是 2A. EF =BE FDB. EF BE FDC. EF 二 BE FDD. EF2 = BE2 FD210.在正方形 ABCW, BE= 3, EF= 5, DF= 4,那么/ BAEF / DCEA. 45B, 60C. 90D. 1

14、20DC文案大全标准实用五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证实分别属于两个三角形中的线段或角相等.在证实线段或角相等时, 解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形,再证实这两个三角形全等,最后得出结论.下面介绍寻找 全等三角形的几种方法,供同学们参考.一、利用公共角例 1 如图 1 , AB = AC AE = AF 求证：Z B = Z C.分析：要证实/ B =/C,只需证实 BOE24COF或4AB口AACE而由图形可知/ A是公共角,又由 条件AB = AC AE= AF所以AB国AACE于是问题获证.二、利用对顶角题目中的隐含条件例2如图2, R E、F、D

15、在同一直线上,AB = CD BE = DF, AE = CF,连接 AC交BD于点 O求证：AO= CO分析：要证实 AO= CO只需证实 AOBCOF或AO摩 COD即可.根据现有条件都无法直接证实.而由条件 AB = CD BE = DF AE = CF可直接证实 ABE CDF那么有/ AEB= / CFD进而有/ AEO =Z CFO再利用对顶角相等,即可证实.三、利用公共边题目中的隐含条件例 3 如图 3 , AB = CD AC= BD 求证：/ B = / C.分析：设 AC与BD交于点 Q此日BZ B与/ C分别在 AOB和 DOC中,而用现有的条件是不可能直 接证实这两个三

16、角形全等的,需添加辅助线来构造另一对全等三角形.此时可以连接 AD那么AD ABD和 DCA的公共边,这样可以证实 AB挈 DCA四、利用相等线段中的公共局部例4如图4 , E、F是平行四边形分析：要证实 BE/ DFCFD只需证实/ABCD的对角线AC上的两点,AF = BEC=Z DFA此时可以转换为证实/CE 求证：BE/ DFAEB = Z CFD 进而证实 AEtBA图4文案大全标准实用五、利用等角中的公共局部例 5 如图 5 ,/ E = 30 , AB = AD AC = AE / BAE= / DAC 求/ C 的度数.分析：/ E = 30 ,要求/ C,可考虑证实 ABa

17、ADE由/ BAE=Z DAC结合图形可知/ BAC=Z DAE 于是问题获解.六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例6如图6 ,/ DCE= 90 , / DAC= 90 , BEX AC于B,且 DC= EC 能否找出与 ABAD相等 的线段,并说明理由.分析：由于 AC= AB-BC；可以猜测 AC= ABAD或BE = ARAD此时只需证实 AD = BC即可.而事实 上,用同角的余角相等可得到/DCA=Z E,从而证实 AD94BCE问题获证.例7,如图71,在正方形 ABCM, M,N分别是CD AD上的点,BM与CN相交于点 O,假设/ BON=90 , 求证：

18、DNC CMB.BM与CN相交于点 O,假设/BON=60 ,变式：如图72,在等边 ABC中,M,N分别是AC,AB上的点,求证：MNC ACMB文案大全标准实用七、利用角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等构造全等三角形考点一：利用角平分线上的点到角两边的距离相等例8,如图8,点P是/ABC的平分线BN上一点,PE垂直AB所在的直线与 E,PF垂直BC所在的直线于 F,Z PAB-+Z PCB=180 .求证 PA=PC.考点二：利用截长补短法构造全等三角形所谓截长法是指在较长得到线段上截取一条线段等于较短线段,而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段,通过截长补短可把分散的条件相对集中,以便构造全等三角形.例 9,如图 9,在 ABC中,/ C= 2/B, /1 = / 2. 求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析,“截长或“补短都可实现问题的转化,