2017-2018学年高中数学第二章推理与证明阶段通关训练新人教A版选修2-2

1、第二章推理与证明阶段通关训练(60 分钟 100 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形，等腰三角形，等边三角形内角和是 180归纳出所有 三角形的内角和都是 180 ;某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分；三角形内 角和是 180 ,四边形内角和是 360 ,五边形内角和是 540 ,由此得凸多边形内角和是(n-2) 180 .A.B.C. D.【解析】选 C合情推理包括归纳推理，类比推理，是类比推理，是归纳推理，是归纳推理2. (2017 绵阳高二检测)下列关系式中一定成立的

2、是()A. 若 a0,b0,贝 U a4+b42丿 6cz + b IC. 若 |a|1,|b|1,则 1 +a引 1D. a2+b2+c2 ab+bc+caa + b 【解析】选 C.对于选项 C,1+ Qb|1? |a+b|1+ab| ? (a+b)20,a + b而 |a|1,|b|0 成立，所以】+ 0,贝 N + +的值()A. 一定是正数B定是负数C. 可能是零D. 正、负不能确定【解析】 选 B.因为 a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0.2 2 2所以 a +b +c +2(ab+bc+ca)=0,1所以 ab+bc+ca=-二(a2+b2+c2)0,1 1 1ab + b

3、e + ca所以讥+川吃o.4. 下列代数式(其中 k N)能被 9 整除的是()kk-1A.6+6 7B.2+7k+1kC.2(2+7)D.3(2+7 )【解析】选 D.特殊值法：当 k=1 时只有 3(2+7k)能被 9 整除.1115. 已知 f(n )= + 口 + 1+ + ?+ +打,贝 y ()1 12 2A. f(n)中共有 n 项，当 n=2 时,f(2)= F1 1 1一? 1 dB. f(n)中共有(n+1)项，当 n=2 时,f(2)= - + +11 1设首项为 a1 0,则 S4=1-Q=15a1,-3 -C. f(n)中共有(n2-n)项，当 n=2 时,f(2)

4、= - +111D. f(n)中共有(n2-n+1)项，当 n=2 时,f(2)=2+1+-4 -Ill【解析】选 D.项数：看分母,分母有 n,n+1,n2,所以项数为 n2-n+1,f(2)= 6.对于等式 sin3x=sin2x+sinx,下列说法中正确的是()A. 对于任意 x R,等式都成立B. 对于任意 x R,等式都不成立C. 存在无穷多个 x R 使等式成立D. 等式只对有限个 x R 成立7T【解析】选 C.当 x=0 时，等式显然成立.又 x=kn(k Z)时等式也恒成立二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)均为实数),猜想,a=由 2+,3+4+ 】门，可以求出 3=

5、22-1,8=32-1,15=42-1,故在 6+中,a=6,b=a2-1=62-1=35.-22.2233-东莞高二检测)当 n=1 时,有(a-b)(a+b)=a -b ,当 n=2 时,有(a-b)(a +ab+b )=a -b ,当 n=3 时，有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当 n N 时，你能得到的结论是 _ ._【解析】 根据题意，由于当 n=1 时，有(a-b)(a+b)=a2-b2,当 n=2 时，有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当 n=3 时，有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当 n N 时，左边第二个因式可知为

6、an+an-1b+abn-1+bn,那么对应的表达式 为(a-b) (an+an-1b+.n-1 . n、n+1 . n+1+ab +b )=a -b .答案：(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+1sin2asin4asinSa【补偿训练】 已知等式 cosa=八，,COSa COS2a= ,COSa COS2a COS4a八门，,请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明),那么这个等式,而 x=:时等式不成立.15 若.,若A=6(a,b【解答案:6358.(2017-5 -【解析】该题通过观察前几个特殊式子的特点，通过归纳推理得出

7、一般规律 ,写出结果即可-6 -sin（2na）答案：cos a cos2 a . cos（2n-1a,n N1T _ T T9. 在厶 ABC 中 ,D 为 BC 的中点,则显（+L）,将上述命题类比到四面体 A BCD 中 ,得到一个类似的命题:_ .【解析】 线段的中点，类比到三角形中为三角形的重心，由此有在四面体 A BCD 中,G BCD 的重心,则AGJAB+AC+ADY1T _ T T T答案：在四面体 A-BCD 中,GBCD 的重心,则10. 在等差数列an中,若 aio=0,则有等式 ai+a2+an=ai+a2+ai9-n（n19,且 n N）成立.类比上述性质，相应地，

8、在等比数列bn中,若 b9=1,则有等式 _ 成立【解析】 在等差数列中，若 m+n=2p，则 am+an=2ap,卄谕而在等比数列中，若 m+n=2p,则 aman=.因为 b9=1,所以 bn+1 bl7-n= =1.又因为 bn+1b17-n=bn+27-n-1 丿=1,所以有等式 bbbn=b1b2b3b 仃-n,n17,且 n N.答案：b1b2bn=b1b2b3b17-n,n0,y0,用分析法证明：(x +y 丿(x +y 丿.1123【证明】 要证(x2+y2)(x3+y3),只需证(x2+y2)3(x3+y3)2,即证 x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6,

9、即证 3x4y2+3y4x22x3y3.又因为 x0,y0,所以 x2y20,故只需证 3x +3y 2xy.而 3x +3y x +y 2xy 成立，1123所以(x2+y2)(x3+y3)成立.【补偿训练】已知|x|w1,|y|w1,用分析法证明:|x+y| 0,所以(x2-1)(1-y2)w0,不等式得证.13. (13 分)(2017 临沂高二检测)已知 a,b,c (0,1),求证：，点 P 是双曲线上任意一-9 -【证明】 假设三个式子同时大于即(1-a)b，(1-b)c J ,(1-c)a 同理 0b(1-b) wl ,0c(1-c)所以(1-a)a (1-b)b (1-c)c

10、J ,与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立(1) 求 a2,a3,a4.(2) 猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法予以证明.【解题指南】由 a1=f(x),an+1=f(an),依次令 n=1,2,3 可求得 a2,a3,a4；观察 a2,a3,a4的表达式的构成规律可猜想出an的通项公式，用数学归纳法证明时关键是将ak+1变形为与 an相同的形式.【解析】(1)由 a1=f(x),an+1=f(an)得:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于三式相乘得(1-a)a (1-b)b又因为 0a1,所以 0严 +1 a 1=414.(13 分)(2017 夫方甘一 泰安冋一二检测

11、)已知函数 f(x)= J 十 J(x0),数列an满足 ai=f(x),an+i=f(an).-10 -a2=f(a1)=-11 -X猜想数列an的通项公式 an=1iX证明：当 n=1 时,结论显然成立；,即 akJ 一X1 +仇+1)/显然,当 n=k+1 时结论也成立.X由可得，数列an的通项公式 an=1【能力挑战题】_ _ 2已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(a,b R,a 1,k N)时结论成立-12 -设 X1,X2是 f(x)的两个极值点,x3是 f(x)的一个零点,且 X3 X1,X3工 X2.证明：存在实数 X4,使得 X1,X2,X3,X4按某种顺序排列后构成等差数列，并求出 X4.【解题指南】(1)利用导数的几何意义解题.(2)通过求导，找出函数 f(X)的两个极值点，因为 f(X)的零点为 a 或 b,所以适当对 f(X)零点和极值点排序后，满足等差数列，若解出，则 X4存在，否则 X4不存在.【解析】当 a=1,b=2 时,因为 f (x)=(x-1)(3x-5),故 f (2)=1,又 f(2)=0,所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2.(-屮因为 f (x)=3(x-a),由于 ab,a + 2ba + 2ba + 2b故