分段函数的几种常见题型和解法

1、v1.0可编辑可修改函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下：1.求分段函数的定义域和值域2x 2 x 1,0;例1.求函数f(x) 4x x (0,2);的定义域、值域.3 x 2,);2.求分段函数的函数值|x 1| 2,(|x| 1)例2.已知函数f(x) 1求ff (-2

2、).2，(|x| 1)1 x21完美整理3.求分段函数的最值4x 3 (x 0)例3.求函数f (x)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x 1)4 .求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中，函数y f(x)和y g(x)的图象关于直线 y x对称，现将y g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)，则函数f (x)的表达式为()A. f(x)2x 2 ( 1 x 0) x 2(0 x 2)B. f(x)2x 2 ( 1 x 0)或 2(0 x 2)C. f(x)2x 2 (1 x 2)i 1(2 x 4)D.

3、f(x)2x 6 (1 x 2)2x 3(2 x 4)5 .作分段函数的图像例5.函数y e11” |x 1|的图像大致是()AD6 .求分段函数得反函数例6已知y f(x)是定义在 R上的奇函数且当x 0时，f(x) 3x 1 ,设f(x)的反函数为y g(x),求g(x)的表达式.7 .判断分段函数的奇偶性2例7.判断函数f(x)的奇偶性.x (x 1) (x 0)2x2(x 1)(x 0)8 .判断分段函数的单调性3x x (x 0)例8 .判断函数f(x) , ()的单调性.x (x 0)例9.写出函数f(x) |12x| |2 x|的单调减区间9.解分段函数的方程一、1f (x) 一

4、的x的值为42 x x (,1例10.设函数f(x),则满足方程10g81 x x (1,)10.解分段函数的不等式2 x 1 (x 0)例 11.设函数 f (x)1，若 f (x0) 1 ,x2(x 0)A.( 1,1)B.( 1,) C.(例12.设函数f(x)(x 1)2 (x 1)4 .x 1 (x 1)2) (0,)则使得f (x)则x0得取值范围是()D. (, 1) (1,)1的自变量x的取值范围为A (, 2 0,10B. (, 2 0,1c. (,2 1,10D.2,01,10反馈练习1. （2013新课标全国I ,5分）已知函数f（x） =2-x +2x,ln x+1x&

5、lt;0,x> 0.若|f(x)| >ax,则a的取值范围是（）A. ( 8,0B.(8, 1C. -2,1D.-2,02x3, x<0,2.(2013福建,4分)已知函数f(x)= -tan x, 0<x<-23.(2013北京,5分)函数 f(x)Jog2x'2x,x<14.(2012江西,5分)5.A. lg 101C. 1(2011北京,5分)c心 f(x)=c-A，装第A件产品用时A. 75,25C. 60,25x>1的值域为x +1, x<1 , 若函数f(x)=lg x, x>1,则 f(f(10)=()B.D.根据统

6、计，一名工人组装第x<A,x> Ax件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A, c为常数）.已知工人组装第 4件产品用时30分钟，组15分钟，那么c和A的值分别是（）B. 75,16D. 60,166. (2012 江苏,5分)设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间 1,1上，f（x）=ax+ 1, bx+2 x+1，-1<x<0,0<x<1,.13其中a, bC R右f (2) =f (3),则a+ 3b的值为2x+ a, x< 1,7. (2011江苏，5分)已知实数 aw0,函数f(x)=若f(1a)=f(1 +-x- 2a, x>1

7、.a),则a的值为函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题型做了一些思考，解析如下:1.求分段函数的定义域和值域2x 2例1.求函数f(x)4x31,0;(0,2);的定义域、值域.2,)；作图，利用“数形结合”易知f(x)的定义域为1,),值域为(1,3.2 .求分段函数的函数值因为f(4) |2f(x)1|

8、2|x111|2,(|x| 1)求ff6).(|x| 1)I 所以 ff(12) f( t)1 (为2133 .求分段函数的最值例3.求函数f (x)4x 3 (xx 3 (0x 5 (x0)x 1)的最大值.1)【解析】当x 0时,f max ( x)f(0) 3,当 0 X 1时，fmax(X)f(1) 4,当x 1时， x 515 4,综上有 fmax(X)4.4.求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中函数y f(x)和y g(x)的图象关于直线 y x对称，现将y g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)则函数

9、f (x)的表达式为()A.f(x)2xB.f(x)C.f(x)D.f(x)f(x) 2x(1 (00)2)2xx22x2x 6J 3(1 (0(1(2(1(22,0时，y 3个单位，再沿f(x)2x 2(x 1,0),y轴向下平移(x 0,2),5.作分段函数的图像0)2)2)4)2)4)1,将其图象沿x轴向右平移析式为y T(x 2)0,1时，y 2x1个单位，得解析式y综上可得f (x)2x 2个单位,1,2(x将其图象沿2) 1 1(0 x 2)再沿y轴向下1 , 所以x轴向右平移 22x 4, 所以x 0),故选A例5.函数y e|lnM |x 1|的图像大致是(D解析：在定义范围讨

10、论，当0Vx<1时,x>1时y 1 ,故选D6.求分段函数得反函数例6已知yf(x)是定义在R上的奇函数，且当X0 时，f(x)3x 1 ,设f(x)的反函数为yg(x),求g(x)的表达式.设x 0,0,所以f(x) 3 x 1又因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f( x)f (x),且 f(0)0,所以f(x)因此f(x)3x 1 (x0 (x1 3 x(x0) 0), 0)从而可得g(x)log3(x0log3(11) (x(x x)(x0)0).0)7.判断分段函数的奇偶性例7.判断函数f(x)x2(x 1)(x2x (x 1)(x0)的奇偶性.0)当x 0时， x

11、0,f( x) ( x)2( x 1) x2(x 1) f (x),当 x 0 时,f( 0)f (0) 0,当 x0,x 0, f( x) ( x)2( x 1)x2(x 1) f(x)因此，对于任意xR都有f(x)f(x),所以f (x)为偶函数.8.判断分段函数的单调性例8.判断函数f(x)3x2 xx (x 0)的单调性.(x 0)显然f(x)连续.当x0时,一'_ 2.一f (x) 3x 1 1恒成立，所以f (x)是单调递增函当x 0时,f (x)2x0恒成立，f (x)也是单调递增函数，所以f (x)在R上是单调递增函数；或画图易知f (x)在R上是单调递增函数例9.写出

12、函数f(x) |1 2x| |2 x|的单调减区间.3x【解析】f (x)3x 11 (x(x12 x2)2),减区间为(画图易知单调x值为9.解分段函数的方程例10.(01年上海)设函数f(x)若2 x尢则2 x 2 2,得xlog81 x(1,1)1则满足万程f(x)的x的 4,1,所以x 2 (舍去)，若10g 81 x -4,1则x 814,解得x 3 (1,),所以x 3即为所求.10.解分段函数的不等式例 112 Xf(X) 1X2(x0)若 f(Xo)取值范围是(A.( 1,1)C.(D.(【解析1】(X0)B.(2)1)首先画出 y1,(0,(1,f(x4Dy 1的大致图像，围

13、是(，1) (1,).【解析2】因为f(X0)1X021,解得X01,12.设函数f(X)A.,2C.,2当X 1时,当 X00 时，2 X0综上X0的取值范围是0,101,10f(X)(X1)2,X(X1)B.D.(X1)则X0得易知f (X0) 1时，所对应的X0的取值范解得X01 ,当 X00 时,1)(1,).故选D.则使得f(X)1的自变量X的取值范围为22,00,11,10当 X 1时，f(X) 1(X 1)2所以X 2或0 X 1 ,TX 3 X 10 ,所以 1 x 10,上所述，X 2或0 X 10,故选A项.【点评：】以上分段函数性质的考查中不难得到一种解题的重要途径若能画

14、出其大致图像定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.反馈练习x + 2x, xW0,1. (2013新课标全国I, 5分)已知函数f(x)=若|f(x)| >ax,则ln x+1 , x>0.a的取值范围是()A.(巴 0B.( 8, 1C. 2,1D. 2,0解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的 取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力.当xwo时,f(x) =- x2+2x = - (x- 1)

15、2+1<0,所以 |f(x)| > ax化简为 x2-2x>ax,即 x2>(a+ 2)x, 因为x<0,所以a+2> x恒成立，所以 a> 2；当x>0时，f(x) = ln( x+ 1) >0,所以 |f(x)| > ax化简为ln( x+1)>ax恒成立，由函数图象可知 a<0,综上，当一2< a<0时， 不等式|f(x)| > ax恒成立，选择 D.答案：D2x3, x<0, 兀2. (2013 福建，4 分)已知函数 f(x)=t 0v J 则 f f =.解析：本题主要考查分段函数的求值

16、，意在考查考生的应用能力和运算求解能力.f ： = tan 4=- 1， f f : =f( 1) =2X( 1)3= 2. 444答案：210gl x, x>1,3. (2013北京，5分)函数f (x) =2的值域为.2x,x<1解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查 考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度.分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.当 x>l 时，log 1 x<0,当 x<1 时，0<2x<2,故值域为(0,2) U(巴 0 = (oo, 2).2答案：(8

17、, 2)X2+ 1, xw 1 ,4. (2012 江西，5 分)若函数 f(x)=则 f(f(10)=()lg x, x>1,A. lg 101B. 2C. 1D. 0解析：f (10) =lg 10 =1,故 f (f (10) =f(1) =12+1 = 2.答案：B5. (2011北京，5分)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为c而f(x) = cx<A,(A, c为常数).已知工人组装第 4件产品用时30分钟，组x> A装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A. 75,25B. 75,16C. 60,25D. 60,16解析：因为

18、组装第 A件产品用时15分钟，所以 与=15(1),所以必有4<A,且A30(2),联立(1)(2)解得 c=60, A= 16.答案：D6. (2012江苏，5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间 1,1上，f(x)=ax+ 1, - K x< 0,bx+ 2,°”，13其中a, be R若f (2) =f(-),则a+ 3b的值为解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f(|)=f(%,且f( 1)=f(1),1_2a+ 1,3a+2b=-2.,b+ 2由 f ( 1) = f(1),得一a+1=2-,故 b=- 2a.由得a=2, b=4,从而a+3b= - 10.答案：102x+ a, xv 1,7. (2011江苏，5分)已知实数