勾股定理与几何证明的综合

1、勾股定理与几何证明的综合1 .如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图 2,在四边形ABCD中，AB=AD , CB=CD ,问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB , CD与BC, AD之间的数量关系.猜想结论：(要求用文字语言叙述)写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证)(3)问题解决：如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形 ACFG和正方形ABDE ,连 接 CE , BG , GE ,已知 AC=4 , AB=5，求 GE 长.S国二2 .问题：如图（1）,在Rt AC

2、B中，/ ACB=90 °, AC=CB , / DCE=45 °,试探究 AD、DE、EB满足的等量关系.探究发现小聪同学利用图形变换，将 ACAD绕点C逆时针旋转90符至ij ACBH，连接EH ,由已知条件易得 Z EBH=90 °,/ ECH= / ECB+ / BCH= / ECB+ / ACD=45 °.根据边角边”，可证4CEH,得EH=ED .在Rt HBE中，由 定理，可得 BH2+eb2=eh2,由bh=ad ,可得ad、DE、EB之间的等量关系是 实践运用（1）如图（2）,在正方形 ABCD中，4AEF的顶点E、F分别在BC、CD边

3、上，高AG与正方形的边长相等， 求/EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接 BD,分别交AE、AF于点M、N,若BE=2 , DF=3 , BM=2讹，运用小聪同学探究的 结论，求正方形的边长及 MN的长.B EC图（2）3 .如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点 Q在CD边上，且BP=CQ ,连接AP、BQ交于点E,将 BQC沿BQ所在直线对折得到 BQN，延长QN交BA的延长线于点 M .(1)求证：APXBQ ;(2)若 AB=3 , BP=2PC ,求 QM 的长;D Q C(3)当 CP:BP=1:3 时，求 AM:AB 的值.BD 14 .已知 人d中

4、，为 的中点，直线 绕点 旋转，过 JJ于百，ME 1八、于百n m J 八、CF ±旋转到如图2、图3的位置时，线段之间有怎样的数量关系？并加以证明.J图2S35 .阅读下面的材料小明遇到这样一个问题(1) 如图1, 点P是正方形 ABCD内的一点，连接 PA,PB,PC 若PA=2, PB=4, / APB=135° , 求PC的长度。 小明通过探索发现 BA=BC, / ABC=90° ,把 ABP绕点B顺时针旋转90° ,这样可求出PC的长度。(2)如图2, 在四边形 ABCD中， 已知 ABC是等边三角形，/ ADC=30° , AD

5、=3, BD=5,求边CD的长度。6 .如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结PA PB, PC ,以BP为边作 PBQ 60 ,且BQ BP , 连结CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论。(2)若PA:PB:PC 3:4:5 ,连结PQ,试判断APQC的形状，并说明理由.7 .如图，M为正方形 ABCD内一点，MA=2, MB=4, /AMB=135° ,计算 MC的长DC8 .如图，在 ABC中，/ BAC=90 , AB= AC, D是ABCft一点，且/ DACW DCA=15 , 求证：BD= BA9.如图 1, RtA ABC RtAEDF,/ACB=/ F=90 °, /A=/E=30°. EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转， DE, DF 分别交州号AC于点M , K.(1)观察：如图2、图3,当/ CDF=0° 或 60°时，AM+CKMK(填“ >如图4,当/ CDF=30°时,AM+CK MK(只填“ >”或“ <”).(2)猜想：如图