高等代数知识点总结材料_第三版_王萼芳与石生明编

1、高等代数-知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070一.矩阵及其运算1.矩阵的概念第四章矩阵知识点考点精要2第3页共17页(1)由 s n 个数 aj(i=i , 2 - s； j=i,2a1nM ,称为s行n列asnaiiKn)排成n行n列的数表M Oas1L矩阵，简记为A (aj).。(2)矩阵的相等设 (aj)mn, B (aj )* ,如果 m=l, n=k,且 ajbj ,对 i=1 , 2 m； j=1,2都成立，则称A与B相等，记A=B 。(3)各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵(上)下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。2.矩阵的运算(1)矩阵的加法a11K

2、a1nb11Kb1na11bna1nb1nas1 L asnas1bs1L asnbsn运算规律：i) A+B=B+Ai)(A+B)+C=A+(B+C)iii) A+O=Aiv) A+(-A)=O(3)数与矩阵的乘法a11Kalnk M O Mas1Lasnka11 Kka1nMO Mkas1 Lkasn运算规律：(k+l) A=kA+lA , k(A+B尸ka+kB k(lA )=(kl)Al gA=A.(3)矩阵的乘法a11Ka1nbnKb1nc11KG nMOMMOMMOMas1Lasnbs1Lbsncm1Lcmn其中 cijai1b1jai 2b2jainbnj,i1,2，.s;j1,

3、2.m运算规律:i) (AB) C=A(BC)i)A(B+C尸AB+ACiii) (B+C)A=BA+CAiv) k(AB尸A (kB)=(kA)B一般情况，AB BAAB=AC,A 0 B=CAB=0、A=0 或 B=0(4)矩阵的转置a11Ka1nA MO Ma的转置就是指矩阵Aas1Lasnana1 nas1asn运算规律:1 1i) (A) A ii) (A B) A Biii) (AB) BAiv) (kA) kA(5)方阵的行列式a11 K设方阵A MO as1 L运算规律：i) AAa1nMasna11 KA的行列式为A MOas1La1 nMasnii) kA kn Aiii)

4、 ABA|B BA，这里A,B均为n级方阵。二.矩阵的逆1.基本概念(1)矩阵可逆的定义n级方阵A称为可逆的，如果有 n级方阵B,使得AB=BA=E ,这里E是单位矩阵。高等代数-知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070(2)伴随矩阵aii K设Aj是矩阵A MO ani L随矩阵。ain_I _+ *M 中兀素aj的代数余子式，矩阵 AannAii KAnMOM称A的伴Ani LAnn2.基本性质* ,A(1)矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化(A 0 ),而A 1 AA(2)如果矩阵A, B可逆，那么A与AB也可逆，且11 _1_ 11(A) (A ) (AB) B A设A是s

5、 n矩阵，如果P是s s可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ )Q是n n可逆矩阵,了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。对于两个有相同分块的准对角矩阵A0BA O , B O0A0A1B10(D ABO0 AB1A B10(2) A BO0 A Bl0如果它们相应的分块是同级的，则B4第7页共17页A10(4) A可逆的充要条件是 A,A2.A可逆，且此时， A 1O0A1四.初等变换与初等方阵1 .基本概念（1）初等变换k(c k)i）用一个非零的 数k乘矩阵的第i行（列）记作riii）互换矩阵中i, j两行（列）的位置，记作 Diii）将第i行（列）的k倍加到第j行（

6、列）上，记作rjkri（Cj kc。称为矩阵的三种初等行 （列）矩阵。初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。（2）初等方阵单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、2.基本性质（1）对一个s n矩阵A作一次初等 行变换就相当于在 作一次初等列变换就相当于在 A的右边乘上相应的的左边乘上相应的 s s初等矩阵；对 A n初等矩阵。（2）任意一个s n矩阵A都与一形式为M的等价，它称为矩阵A的标准型, 0主对角线上1的个数等于A的秩。（3） n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q,使（4）两个s n矩阵A, B等价的充分必要条件是，存在可逆的B=

7、PAQ。3.用初等变换求逆矩阵的方法把n级矩阵A,E这两个n n矩阵凑在一起，得到一个n 2n矩阵（AE）,用初等行变换把它的左边一半化成 巳 这时，右边的一半就是 A 1 q高等代数-知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070第五章二次型知识考点精要1 .二次型及其矩阵表示(1)二次型设P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,.,xn的二次齐次多项式f(X1，X2,L Xn)2an X12 a12X1X2L22a1nX1Xna22X2L2a2nX2Xn LannX2称为数域2第9页共17页P上的一个n元二次型。(2)二次型矩阵f(X1,X2,L Xn)可写成矩阵形式设f(X1,

8、X2,L Xn)是数域P上的n元二次型，_ - .其中 x=(X1,X2,L Xn) , A= (aj)n n，Af(X1,X2,L Xn) X AXAo A称为二次型f (X1,X2,L Xn)的矩阵。秩(A)称为二次型 f (X1,X2,L Xn)的秩。(3)矩阵的合同一、, 一 一 _ _数域P上n n矩阵A,B称为合同的，如果有属于 P上可逆的n n矩阵C,使B C AC2 .标准型及规范性定理 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型d1y12 d2y2 Ldny2用矩阵的语言叙述，即数域P上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。定理 任意一个复系数的二次型经过一适当

9、的非退化的线性替换化成规范型z2 z2 . z2且规范形是唯一的。定理 任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型2222Zi. ZpZp1 . Zpq且规范形是唯一的，其中p称为此二次型的正惯性指数，q称为此二次型的负惯指数,2p-q称为此二次型的符号差。3 .正定二次型及正定矩阵(1)基本概念i)正定二次型 实二次型f(Xi,X2,L Xn)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数G,C2,Cn，都有 f(Ci,C2,Cn) 0.ii)正定矩阵实对称矩阵A称为正定的，如果二次型 XAX正定。iii)负定半正定半负定不定的二次型设f(Xi,X2,L Xn)是一实二次型，对

10、于任意一组不全为零的实数q,C2,Cn，如果f(Ci,C2,Cn) 0.,那么f(X1,X2,L Xn)称为负定的；如果都有 “。，a)0.那么称 f(Xi,X2,L Xn)为半正定的；如果都有f(Ci,C2,Cn) 0.，那么f(Xi,X2,L Xn)称为半负定 的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，那么f(X1,X2,L Xn)就称为不定的。(2)正定二次型，正定矩阵的判定 一 . 一、 对于实二次型f(x,X2,L Xn) = X AX ,其中A是实对称的，下列条件等价；i) f(X1,X2,L Xn)是正定的,i)A是正定的iii) f(Xi,X2,L Xn)的正惯指数为niv) A

11、与单位矩阵合同v) A的各阶顺序主子式大于零高等代数-知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070第六章线性空间 知识点考点精要 一.线性空间一1.线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合 V的元素之间定义了一种代数运算；这就是说， 给出了一个法则，对于V中的任意两个元素，在v中都有唯一的一个元素 r与它们对应，称为与的和，记为r在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于属于 P中任 意数k与V中任意元素，在V中都有唯一的元素与它们对应，称为 k与 的数量乘积，记为k 。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么 V称为数域p上的线性空间。(1)(

12、2) ()()(3)在V中有一元素0,对于V中任意元素都有 0(具有这个性质的元素。称为V的零元素)；(4)对于V中的每一个元素，都有V中的元素，使得0(称为的负元素)(5) 1g；(6) k(l)(kl)(k l) k l(8) k() kk2.维数，基与坐标(1)如果在线性空间 V中有n个线性无关的向量。但是没有更多数目的线性无关的向量，那么 V 就称为n维的。如果在 V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。(2)如果在线性空间V中有n个线性无关的向量1, 2,., n ,且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而1, 2,., n就是V的一组基。(3)在n维

13、线性空间中，n个线性无关的向量1, 2,n称为V的一组基。设 是V中任一向量，于是1, 2,n , 线性相关，因此 可以被基1, 2,，口唯一的线性表出al 1al 1an n,其中系数1, 2,.,n称为 在基1, 2,，n下的坐标,记(1, 2 ,n )3.基变换与坐标变换V中两组基，如果a11(e1,e2,.,en)( 1, 2,，n) Ma1 nMan矩阵A Ma1 nM称为1, 2,，口到an1an1ann(1)设1, 2,，口与66,.,a是n维线性空间第17页共17页21基8,e2,., en的过度矩阵。(2)设1, 2,n与e,e2,.,en是n维线性空间V中两组基，由基1,2

14、,n到基 e,e2,.,en的过度矩阵为A,向量在这两组基下的坐标分别为(x1,x2,.,xn)与(X1, X2,., xn),则 x2 =A x2 .xnxn二.线性子空间|1 .线性子空间(1)数域P中线性空间V的一个非空子集合 W称为V的一个线性子空间， 如果W对于V的两种 运算也构成数域 P上的线性空间。(2)线性空间V的非空子集 W是V的子空间的充分必要条件是 W对于V的两种运算封闭。2 .子空间的交与和(1)线性空间V的子空间V1,V2的交与和，即 V1 V2,V1 V2都是V的子空间。(2)维数公式 如果M,V2是线性空间V的两个子空间，那么维(V1) +维(V2)二维(V1 V

15、2 ) +维(V1 V2 )3 .子空间的直和(1)设V1,V2是线性空间V的子空间，如果和 V1 V2中的每个向量的分解式1 21V1, 2 V2 是唯一的，这个和就称为直和，记为(2)设V1,V2是线性空间V的子空间，下列这些条件是等价的:1) V1V2是直和ii)零向量的表示式是唯一的111) VV2=0 iv)维(V1 V2)=维(V1) +维(V2)。三.线性空间的同构V到V有一个1-1的映上的映射一 一、. 、 1 .数域P上两个线性空间 V与V称为同构的，如果由以下性质：(1)()()();(k ) k ().其中，是V中任意向量，k是P中任意数，这样的映射称为同构映射。2 .数

16、域P两个有限维数线性空间同构的充分必要条件是它们有相同维数。第七章线性变换知识点考点精要一.线性变换及其运算1 .线性变换的定义和数域P中任意数k,线性空间V的的一个变换？称为线性变换，如果对于 V中任意元素都有？()=?()+?()?(K 尸k ?()2 .线性变换的运算设？， 是数域P上线性空间V的两个线性变换，k P。(1)加法 (？+)()=?()+()(2)数乘(k ? ) ( ) =k ?()(3)乘法(？)( )= ?()(4)逆变换V的变换？称为可逆的，如果有 V的变换 ，使？ = ?=(V的恒等变换)3 .设1, 2,., n是数域P上的n维线性空间V的一组基，？是V中的一个

17、线性变换，基向量的象可以 被基线性表出：Aean ial2 2 Laln n,Ae2a21 1a22 2 La2n nAenanl 1an2 2 L(1)其中 Aa11KM O an1 La1nM 矩阵A称为？在基1, 2annn下列矩阵。用矩阵来表示是 A ( 1, 2,，n ) = ( A 1,A 2,., An) = ( 1, 2,，n) A(2)设1, 2,., n是数域P上n维向量空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式(1)对应一个n n矩阵。这个对应具有以下性质：i )线性变换的和对应于矩阵的和ii )线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；iii )线性变换的数量乘积对应于矩阵的

18、数量乘积；iv )可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。(3)设线性变换？在基1, 2,，n下的矩阵是A,向量 在基1, 2,，n下的坐标是y1入. 一y2X2(X1,X2,., Xn),则？在基 1, 2,., 口下的坐标(y1,y2,.,yn)可按公式A 计算。.ynXn(4)设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域 P上的n级可逆矩阵 X,使得B X 1AX ,就说A相似于Bo(5)线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。.特征值与特征向量1,特征值与特征向量的定义设A是数域P上线性空间V

19、的一个线性变换，如果对于数域P中一数0 ,存在一非零向量使得A =0 ，那么0称为A的一个特征值，称为A的属于特征值 0的一个特征向量。2,特征多项式的定义(1)设A是数域P上一个n级矩阵,是一个文字，矩阵E-A的行列式anKMOan1La1nM 称为A的特征多项式，这是数域 P上的一个n次多项式，则annf(A)An(a11. ann)An 1 .(1)n|AE 03 .特征值与特征向量的性质(1)设 1, 2,.,n 是 n 级矩阵 A (aj)n n 的全体特征值，则 1 . n q1 . ann, 1. n A(2)属于不同特征值的特征向量是线性无关的。(3)如果1, 2,., n是线

20、性变换A的不同的特征值，而au,.a%是属于特征值i的线性无关的特征向量，i=1,2 ., k那么向量组a11,a1r1 ,.2卜1,.2明也线性无关。4 .线性变换在某组基下为对角矩阵的条件(1)设A是n维线性空间V的一个线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充要条件是， A有n个线性无关的特征值。(2)如果在n维线性空间V中的，线性变换 A的特征多项式在数域 P中有n个不同的根，即 A有n 个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角矩阵。(3)在负数域上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项式没有重跟，那么A在某组基下的矩阵是对角矩阵。三.矩阵的相似1 .矩阵相似的定义设A,B为

21、数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域 P上的n级可逆矩阵X,使得B X 1AX ,就说A相似于B,记为AB.2 .相似矩阵的性质(2)相似矩阵有相同的最小多项式。(1)相似矩阵有相同的特征多项式四.线性变换的值域与核1.设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体象组成的集合称为 A的值域，用 AV表示。AV 是V的子空间，维(AV)称为A的秩，所有被 A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，记为A 1(0)。A 1(0)是V的子空间，维(A 1(0)称为A的零度。2.设？是n维线性空间V的线性变换,1, 2,n是V的一组基。在这组基下？的矩阵是A,则(1) ?V=L( A 1,A 2,., A

22、 n)(2) ?的秩=A的秩(3) A是n维线性空间V的线性变换，则 A的秩+A的零度=n五.不变子空间1.设A是数域P上线性空间 V的线性变换，W是V的子空间，如果 W中的向量在 A下的象仍在 W 中，就称 W是A的不变子空间，简称 A-子空间。第九章欧几里得空间知识考点精要一.欧氏空间的基本概念1.设V是是数域R上一线性空间，在 V上定义了一个二元实函数，称为内积，记为 (，)，特具有 一下性质：(1)(,)(,)；(k , ) k(,)(，)(，)(，)；(4) ( , ) 0,当且仅当=0时(，)=0.这里，是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。2 .非负实

23、数J(,)称为向量的长度，记为 。3 .非零向量，的夹角(,)规定为 , arccos(1) ,0 ( , )4 .如果向量，的内积为零，即(，)0 ,那么,称为正交或互相垂直，记为。5 .设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基1, 2,n令aij ( i, j),(i, j 1,2,.n)矩阵A (aij )n n称为基1, 2,，n的度量矩阵。(1)度量矩阵是正定的；(2)不同基底的度量矩阵是合同的。6.欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在 n维欧氏空间中，由 n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。1.实数域R上欧氏空间

24、V与v称为同构，如果由 V到v有一个1-1上的映射 ，适合(1)()()()(2)(k ) k ()(3)(),()(,) 这里， V,k R,这样的映射 称为V到v的同构映射。2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。三.正交矩阵1 .基本概念(1) n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果 AA E。(2)欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的， V者B有(A ,A )(,)2 .主要结论设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价：(1) A是正交变换；(2) A保持向量的长度不变，即对于V,A ；(3) 如果1, 2, ., n是标准正交基

25、，那么 A1,A2,., An也是标准正交基;(4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。四.正交子空1 .基本概念(1)设V1,V2是欧氏空间V中两个子空间。如果对于任意的V1,V2恒有(，)=0,则称V1,V2为正交的，记V1 V2。一个向量 ，如果对于任意的V1，恒有(，)=0,则称 与子空间V1正交，记为V1。(2)子空间V2称为子空间的一个正交补，如果 V1 V2,并且V1 V2=V。2 .主要结论(1)如果子空间 V1,.,Vs两两正交，那么和 V1 . Vs是直和。(2)欧氏空间V的每一个子空间V1都有唯一的正交补 V1 。(3) V1恰由所有与V1正交的向量组成。五.对称矩

26、阵的性质1 .实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵的特征值皆为实数。(2)设A是n级实对称矩阵，则 Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交。(3)对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使TAT T1AT成对角矩阵。2 .对称矩阵(1)设A是欧氏空间V中的一个线性变换，如果对于任意的， V ,有(A , ) ( ,A )则称A为对称变换。(2)对称变换的性质i)对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。ii)设A是对称变换，M是A-子空间，则Vi也是A-子空间。iii )设人是门维欧氏空间V中的对称变换，则V中存在一组由 A得特征向量构成的标准正交基。六.向量到子空间的距离，最小

27、二乘法1.长度称为向量和的距离，记为d(,)，且(1)d(,)=d(,)(2)d(时等号成立;(3)d(d(,)d(,(三角不等式)3 .实系数线性方程组a11X1 a?*a12x2alnAa型可能无解，即任何一组实数a22X2Lan2X2a2nXnLannXnb2bnX1,X2,.Xs 都可能使aisXsbi)2不等于零,X0称为方程组的最小二乘解。寻找实数组X10,X0,.,X；使上式最小，这样的X10,X04 .线性方程组 AX=b的最小二乘解即为满足方程组AAX Ab的解X。第十章双线性函数 知识点考点精IT 一.线性函数1 .基本概念(1)设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一

28、个映射，如果f满足：i) f( ) f( ) f()ii) f(k ) kf()其中，是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数。(2)设V是数域P上的一个n维线性空间。V上全体线性函数组成的集合记作L(V,P)。用自然数方法定义L(V,P)中的加法和数量乘法，L(V,P)称为数域P上的线性空间，称为 V的对偶空间。(3)设数域P上n维线性空间V的一组基为1, 2,，n，作V上n个线性函数L, f2.，使得1,j ifi( i)i, j 1,2.n则, f2.fn为L(V,P)的一组基，称为1 2，n的对偶基。0, j i2 .主要结论(1)设V是P上一个n维线性空间，1, 2

29、,., 口是丫的一组基，a1,a2,., an是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f( i) ai , i 1,2.n 0(2)设1, 2,., 口及1, 2,., n是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1,f2.fn及g1,g2.gn。如果由1, 2,，门到1, 2,，n的过度矩阵为A,那么由G, f?-. fn到g1，g2-.gn 的过度矩阵为(Aj1。(3)设V是P上一个线性空间，V是其对偶空间，取定 V中一个向量x,定义V的一个函数x如下：x*(f)f (x), f V*容易马证x*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间(V*)*V*中的一个兀素，映射 x| x 是V到V 的一个同构映射。二.双线性函虹1 .基本概念(1