高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》真题汇编含答案

1、【高中数学】数学复习题不等式知识点练习一、选择题1.已知离散型随机变量 X服从二项分布X B(n, p),且E(X) 4 , D(X) q ,则1 1 ,一，一一的取小值为()p qA. 2B. 5C. 9D. 42 4【答案】C【解析】【分析】根据二项分布X B n, p的性质可得EX, D X ,化简即4p q 4 ,结合基本不一 ，11 一等式即可得到一一的最小值.p q【详解】离散型随机变量x服从二项分布所以有E X 4 np,D X q np (1 p ,(p 0, q 0)5 _1 P 2 _q_ _p 5 1 94 4p q 4p q 44所以4P q 4,即p q 1 , 41

2、111 q所以一一 一一p -p q p q 44当且仅当q 2p 一时取得等号 3故选C.【点睛】 本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题.2.已知点P, Q分别是抛物线x2 8y和圆x2 (y 2)2 1上的动点，点A(0,4),则IPAI2JAL的最小值为()|PQ|A. 10B. 4C. 2/3 2D. 4V2 1【答案】B【解析】【分析】设出点P的坐标x0,y0 ,用y0表示出PA；根据圆上一点到定点距离的范围，求得 |PQ的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值【详解】2设点P Xo,yo ,因为点P在抛物线上，所以xo 8yo y0 0 ,22 o因为

3、点 A(0，则 |pa | x0 y0 4 8y0 y0 4 y0 16.又知点Q在圆x2 (y 2)2 1上，圆心为抛物线的焦点 F(0,2),I PA 2要使的值最小，则|PQ|的值应最大，即 PQ max PF 1 y0 3.| PQ|max222所以 I PA I2丫0 16y0 36 y0 3 25|PQ1y0 3y。 3y。3 -5- 6 2. y0 3256 4y0 3y0 3当且仅当y 2时等号成立.所以_ 2|PA| |PQ|的最小值为4.故选：B.【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不 等式求最值，属综合中档题.3.已知a b

4、 0,则下列不等式正确的是（）A.lnablnbaB.|看b|而a|C.In abIn baD.|Vab|17ba|【答案】C【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案【详解】由题意，因为 a b 0,取 a e,b 1,则 In a b 0, lnb a e, |Va b Je 1,Jb a e 1,可排除 a、d项；取 a 1,b：,则 Jab -7,|Vba 1-,可排除 B 项;4918112因为满足a b 0条件的排除法，可得 A、B、D是错误的.故选：C【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代

5、入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力4.已知点A 4,3，点B为不等式组y 0x y 0所表示平面区域上的任意一点，则x 2y 6 0AB的最小值为（A. 5【答案】C【解析】【分析】)B. 115C. .5作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.y 0作出不等式组 x y 0所表示的平面区域如下图所示:x 2y 6 0 y 2由图知AB的最小值即为A 4,3、B 2,2两点间的距离,所以AB的最小值为J 4 2 23 2 2 J5.故选：C.【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，

6、考查数形结合思想的应用，属中等 题.x y 4 0,5,若实数x, y满足x 3y 0,，则y 2x y的最大值为（）y 0,A. 512B. 8C. 256D. 64【答案】C【解析】【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令 x y m,可知要使z 2m取到最大值，只需 取到最大值即可，根据图像平移得到答案.【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m,可知要使z 2m取到最大值，只需 m取到最大值即可，观察图像可知，当直线 x y m过点A 6,2时m取到最大值8,故y 2x y的最大值为256.故选：C.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键 2一 一 一 _.,

7、6,已知集合 A x x 2x 3 0 , B x 1g x 1A.x1x 3B.x 1x 9C.x1x 3D.x 1x 9【答案】C【解析】【分析】解出集合A、B ,再利用补集和交集的定义得出集合ERA B.解不等式x2 2x 3 0，得x 1或x 3;解不等式lg x 11,得0 x 1 10,解得1 x 9.A xx： 1或x；3 , B x 1 x 9 ,则 eRA x 1 x 3 ,因此，eRABx| 1 x 3 ,故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求 解，考查运算求解能力，属于中等题.3x y 3 07,已知x,y满足2x

8、5y 0 ，则z U的最小值为（） x 6x y 1 0aYB.旦C. 1D, 2713713【答案】D【解析】画出可行域，目标函数 z U 的几何意义是可行域内的点与定点P(6,3)连接的斜率，根x 6据图像得到答案【详解】画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z L2的几何意义是可行域内的点与定点P(6,3)连接的斜率x 61 33 321 62旦13直线3x y 3 0与直线x y 1 0交于点a(5，/ 由图可知，当可行域内的点为 A时，kPA最小，故Zmin故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键8 .某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/

9、件.甲、乙两种产品都需要在AB两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A设备2小时，b设备6小时；生产一 件乙产品需用 A设备3小时，B设备1小时.A B两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A. 320千元B. 360千元C. 400千元D. 440千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品 x件,y件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2x 3y 4806x y 960 x 0, y 0x N, y N原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数z 2x y的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函

10、数的几何意义可知：目标函数在点B 150,60处取得最大值：zmax 2x y 2 150 60 360千元.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两 个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的 制约条件和正确的目标函数.9 .给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（“x R ,均有 x2x 1 0"命题“ x° R ,使得x2 x0 1 0 ”的否定是若正整数m和n满足m n ,则Jm nm在 ABC中，A B是sin A sin B的充要条件;一条光线经过点P 1,3 ,射在直线l:x y 1 0

11、上，反射后穿过点 Q 1,1 ,则入射 光线所在直线的方程为 5x 3y 4 0；已知f(x) x3 mx2 nx k的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心 率，则m n k为定值.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定的知识来判断；根据基本不等式的知识来判断；根据充要条件的知识来判断；求得入射光线来判断； 利用抛物线的离心率判断.【详解】2，命题" R,使得xo xo 1 0”的否定是“ x R,均有x2 x 1 0 ,故 错误.，由于正整数 m和n满足m n , n m 0 ,由基本不等式得Jm nm- mnm n,当m n m即n

12、 2m时等号成立，故正确.B a b sin A sin B ,即 是sin A sin B的充要条件，故 正确.的对称点为A a,b ,则线段AQ中点为0，解得a b 2,所以A 2, 2 .所以入射光1ABC中，由正弦定理得sin A sin B ,所以 A，设Q 1,1关于直线x,则kAQb 12b 12a 12线为直线AP ,即工2 3，由于抛物线的离心率是化简得5x 3y 4 0 .故正确.1,所以f(1) 0,即 1 m n k 0,所以 m n k 1 为定值，所以正确.故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、

13、抛物线的离心率，属于中档题x y 010,已知x, y满足约束条件 2x 3y 4,若z ax y的最大值为4,则a () y 01C. -2D.A. 2B.2【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为A 2,0，代入可构造方程求得结果【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线l :y ax z经VAOB区域时，当l过点A 2,0时，在y轴上的截距最大,即A 2,0为最优解，4 2a,解得：a 2.故选：A.【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解11 .在三角形A

14、BC中，给出命题P: ab c2"，命题q：C "，则p是4的（） 3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将c2化为a2 b2 2abcosC ,整理后利用基本不等式求得1 2cosc 2,求出C范围，即可判断充分性，取 a 4, b 7, c 6,则可判断必要性不成立，两者 结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，c2 a2 b2 2abcosC ,所以 ab c2,即 ab a2 b2 2abcosC ,2 h2整理得，1 2cosC a, ab由基本不等式，aE 2"a2b2

15、2,ab ab当且仅当a b时等号成立,1此时，1 2cosc 2,即 cosC ,解得 C , 23充分性得证；必要性：取a 4, b 7, c6,则cosC16 49 36 29 1一,2 4 756 2故C 一，但ab328 c2,故C 一推不出ab c2.3故必要性不成立；故p是q的充分不必要条件 故选：A本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析 转化能力，属于中档题.12.若两个正实数x，y满足y 2 ,一x - mm有解,4则实数m的取值范围是（）A. ( 1,2)B.(,2)U(1,)C.2.1D.(,1)U(2,)【答案】D【解析】【分析】

16、将原问题转化为求最值的问题,【详解】然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.若不等式m有解，即m (x-)min即可, 412x1,当且仅当2x12x2x8yx 12x y8x16x2,即 y4x时取等号,此时即 (x Jmin则由m2 m2得m20,1,即实数m的取值范围是，12,故选D.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键.13.若均不为1的实数a、b满足a b 0,且ab 1 ,则（）A. log a 3 logb3 B. 3a 3b 6C. 3abi 3abD. ab ba【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D不成立，根据

17、基本不等式证明B成立.【详解】当 a 9,b3 时 loga3 10gb3；当a2,b 1 时 3abi 3ab ；当 a 4,b 2 时 abba；因为 a b0, ab 1 ,所以 3a3b 273a3r 2737V 2,32阿 6，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题14.已知直线y kx 2k 1与直线y1 c 、一、，xx 2的交点位于第一象限，则实数k的取2值范围是（）1 1 、A.kB. k 或k2 6【答案】D【解析】【分析】11,1C.6 k 2 D k262y联立ykx 2k 11,可解得交点坐标（x,y）,由于直线y kx 2k 1与直线1x

18、 221 x 0y - x 2的交点位于第一象限，可得八，解得即可.2 y 0解：联立kx 2k 11,解得x 222 4k2k 16k 12k 1【详解】Q直线y kx 2k 1与直线y12 x 2的交点位于第一象限,2 4k2k 16k 12k 1故选：D.【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征.15.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2,高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是（）A 16【答案】A【解析】【分析】C.1627D.827根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究

19、函数的最值即可.【详解】解：设圆柱的半径为r ,高为x ,体积为V ,则由题意可得匚3 23c 3x 3 - r2 ， 2,c 3c、圆柱的体积为V(r) r (3 -r)(0 r 2),则V(r)169g4rg4染33c3r r 3 r3r),詈g4-)32939334当且仅当r3r,即r时等号成立.423圆柱的最大体积为16【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关 键，是中档题.16.若实数x, y满足不等式组x y 1,则2x y的最小值是()y 1A. 3B. 3C. 0D. 3【答案】D【解析】【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可

20、行域，再由目标函数z 2x y可得y 2x z ,此时Z为直线在y轴上的截距，根据条件可求 Z的最小值.【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC,由z 2x y可得y 2x z ,则z为直线在y轴上的截距y x把直线l：y 2x向上平移到A时，z最小，此时由 )可彳# A( 1, 1)y 1-4-本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z的意义是关键，属于中档题.2 人？17.已知函数f(x) lgx, a b 0, f(a) f(b),则a一b_的最小值等于() a bA. 75B. 2 网c. 2 73D. 242【答案】D【解析】

21、试题分析：因为函数 f(x) lgx, a b 0, f(a) f(b)所以1g a 1g b1 .所以 a 一，即 ab 1 , a b 0 b3 (a b)22ab 曳宜，(a b)工 2. (a b) 22/2a b a ba ba b , a b2当且仅当a b -2-，即a b J2时等号成立a2 b2_所以ab_的最下值为2J2 a b故答案选D考点：基本不等式.18.设 x R ,则 |'x 1| 1”是 x2A.充分而不必要条件C.充分必要条件【答案】A【解析】x 20”的()B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件x 1 11x110 x 2 , x2 x 2 0条件.1x2,故为充分不必要,a19.已知a,b都是正实数，则2a b2ba 2b的最大值是(A. 2妪3【答案】A【解析】【分析】B. 3 2.2C. 2.2 12工网,3m 3n设 m 2a b,n a 2b,将_ _2b_，转化为 _a_