高二数学教案：圆锥曲线方程教学教案

1、第八章圆锥曲线方程、知识框架二、重点难点重点：椭圆的定义及相关概念，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质； 双曲线的定义及相关概念，双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，等轴双曲线与共轲双曲线的定义；抛物线的定义及圆锥曲线的统一定义，抛物线的标准方程，抛物线的几何性质；难点：利用椭圆的第一定义和第二定义解题，椭圆的几何性质及其应用， 求椭圆的方程；对与渐近线有关的问题的讨论，对定义、方程、几何性质中的隐形条件向显性结论转化；抛物线的几何性质。三、知识点解析1、椭圆及其标准方程（1）定义：1）文字定义：第一定义：平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数 （大于| F1F21）的点的轨迹叫做椭圆，

2、这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距；注意：|2a| IFRI非常重要。 因为当|2a|严正21时，其轨迹为线 段F1F2 ;当|2a| | F1F2I时，其轨迹不存在;第二定义：平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数e（0 e 1）的点的轨迹；定义中定点不在定直线上是前提， 定点为椭圆的一个焦点， 定直线是此焦点的相应的准 线，e为椭圆的离心率；2）符号定义：第一定义/ MF.I +- 2a > |F|Fj_（ M为动点，艮、F上为定点/为常数）第一定义:-呼上不p<为定直线/外一定点卬为动岂竺到里苴理I的距离其为常数）（2）方程:22X y2221）标准

3、方程：焦点在 X轴上：一2 。 1（a b 0,b a c ）；焦点在y轴 a b22上：与 x2 1（a b 0,b2 a2 c2）； a bx acos -,2）参数方程：，是参数；y bsin2223）注意：标准方程中的常数 b源于b a c ,常数a和b决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形条件；焦点Fi（ c,0）, F2（c,0）的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型；也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有多种类型；任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式.当且仅当椭圆 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方

4、程才具有上述的标准形式。2、椭圆的简单几何性质22x y E ： F 1（a b 0） a b1）范围：|x| a,| y | b ；2）对称性：关于x, y轴对称，关于原点中心对称；3）顶点：长轴端点 A（ a,0）, A2（a,0）,短轴端点 B1（0, b）, B2（0,b）；、- c4）离心率：e （0,1）； a 22aa5）准线：11 ： X12 ： X -；cc6）焦半径：P（x, y） E,1 IPF1I a ex,2 | PF21 a ex。3、双曲线及其标准方程 （1）定义：1）文字定义：第一定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于| F1F21）的

5、点M的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距，|F1F2| 2c；注：若|2a| | F1F2 |,则M点无轨迹;若| 2a | | F1F2 ,则M点的轨迹为以焦点F1, F2为端点（向两端出发）的两条射线;第二定义：平面内到定点 F的距离和它到定直线l(F l)的距离的比是常数 e(e 1)的点M的轨迹就是双曲线，定点 F为双曲线的一个焦点，定直线l是双曲线的相应于这个焦点的准线，常数e是双曲线的离心率；2)符号定义：第10页共8页(2)方程:1)标准方程：取过焦点 又，52的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，设焦22距IF1F2I 2c, M(x,

6、y)为双曲线上任一点，则与 与 1(a 0,b 0),这里RE的a bx轴上的双曲线的标准方程;坐标为E( c,0), F2(c,0), c2a2 b2 ,这个方程称为焦点在22如果双曲线的焦点在 y轴上，焦点坐标为F1(0, c), F2(0,c),则 4 个2 1(a 0,b 0), a b这个方程称为焦点在 y轴上的双曲线的标准方程；x asec2)参数方程：；y btan(3)等轴双曲线：实轴、虚轴长相等的双曲线就是等轴双曲线；(4)共轲双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线与原双曲线互为11共轲双曲线，他们的离心率满足W 1。ee24、双曲线的简单几何性质220)x y

7、下 1(a 0,b a b1)范围：|x | a, y R ；2)对称性：关于x, y轴对称，关于原点中心对称;3)顶点：轴端点 A1( a,0), A2(a,0)；、- c4)离心率：e - (1,)；22 a.a5)准线：li : x , l 2 : x cc6）焦半径：P（x, y） H： P在右支上,r1 | PF1 | a ex, r2 | PF21 (a ex)； P在左支上，r1 | PF1 | a ex,r2 | PF2 | a ex。5、抛物线及其标准方程（1）定义：1）抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线Z的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F叫做抛物线的焦点，直线 Z叫

8、做抛物线的准线。其中，定点F不在定直线Z上；2）圆锥曲线的统一定义：平面内动点 M与定点F的距离和它到定直线 Z的距离的比 等于常数e,则当0 e 1时，动点M的轨迹是椭圆；当 e 1时，动点M的轨迹是双曲 线；当e 1时，动点M的轨迹是抛物线；其中定点 F不在定直线Z上；定点F为圆锥曲 线的一个焦点，定直线 Z为此焦点相应的准线，常数 e为离心率；（2）方程：221）标准万程：y 2Px（p 0）（开口向右），y2Px（p 0）（开口向左），22x 2 py（ p 0）（开口向上），x 2py（p 0）（开口向下）；2）参数方程：x 2 Pt （t为参数）。 y 2pt6、抛物线的简单几何性

9、质焦点电稳离心率r = 1四、例题1、椭圆及其标准方程2、椭圆的简单几何性质例1已知F1为椭圆的左焦点，A, B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点,当PR FA, POAB （O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。解析 求椭圆的离心率，即求 c,只需求a,c的值或a,c用同一个量表示。本题没有具 a体数值，因此只需把 a,c用同一量表示，由 PF1 F1A, POAB易得b c,a J2b。解设椭圆方程为221(a b 0) , Fi( c,0), c ab2 ,则 P( cjl ),b2即P( c,)o ab b AB/ PO, kAB kOP ,即，b c'a acc .2e

10、。a 2说明 由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键。22x y 例2如图所不，设E： 1（a b 0）的焦点为Fi,F2 ,且 a b2E, F1PF2 2 ,求证：PF1F2 的面积 S b tan解析 有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题，设 | PF1 | r1,| pf2 | r2,一1 一 ， 一一则S -r1r2Sin2 ,消去%也可解。21解设|PF1| r1,| PF2| r2，贝US r1r2 sin 2 ，又 |F1F2| 2c,2由余弦定理有(2c)2r12r；2r1r2cos2(r1r2)22r1r22r1r2cos2(2a)2

11、2r1r2(1cos2),2于2口收(1 cos2 ) 4a2. 2一_4c 4b , 所以也2b21 cos2_1_ _,2S r1r2 sin 2b tan 。2例3若椭圆ax2 by2 1与直线x y1交于A,B两点，M为AB的中点，直线OM（。为原点）的斜率为半,且0AOB,求椭圆的方程。解析 欲求椭圆方程，需求 a,b,为此需要得到关于 a,b的两个方程，由OM的斜率为OA OB易得a, b的两个方程。设A（X1,y1），B%），M （xiX2 yiy2x y由2 aX12 ，by 1(ab)X22bx b 1 0。 1k kOX1X22X1X22六）11 OAOB,Y1(y2X1

12、X21,X1X2丫也0。1 X1X2yy2(1Xi)(1X2)(X1 X2) X1X22( .2 1),b 2,2( ,2 1)方程为2(5/2 1)x2 272(72 1)y2 1。说明直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(X,y1), Bdm)，但不是真的求出人,%？2, y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。3、双曲线及其标准方程4、双曲线的简单几何性质例1根据下列条件，求双曲线方程:221）与双曲线 L 1有共同的渐近线，且916_2过点（3,2Q） ; （2）与双曲线162_ 1有公共焦点，且过点（3 J2, 2）。422x y解析 设双曲线万程为 1 ,

13、求双曲线方程，即求 a,b,为此需要关于a,b的两a b个方程，由题意易得关于 a,b的两个方程。b 4a 3(3)2 (2 J3)2b2a2 9,b2 4,所以双曲线的方程为42xg42匕1;4(2)设双曲线的方程为由题意求C2J5 。又双曲线过点(3五,2),(3.2)222b2b2 (2.5)2a2 12,b2 8 ,所以双曲线的方程为2 x12如图所示，已知 冗，52为双曲线2I 1(a 0,b 0)的焦点。过 b2F2做垂直于x轴的直线交双曲线于点 P ,且 PF1F230,求双曲线的渐近线方程。解析 求双曲线的渐近线方程，只需求a,b的值域或a, b的关系式。在Rt将c2它们与点F

14、2(c,0)(c 0), P(c,y0),则PF2F1 中，PF1F2 30,IF1F2I J3|PF2|,即a2 b2代入，解得b22如图所示，在双曲线工12F(0,5)的距离成等差数列。2a22 x13渐近线方程为:1的上支上有三点(1)求y1 y3的值;b-, |PF2| a2c 33- o aV2x 。b2A(X1,y1),B(.26.6),C(X3,y3)(2)证明：线段AC的垂直平22解 (1)设双曲线的方程为 : 2 1 ,由题意得a2b2分线经过某一定点，并求此点坐标。(1)解c J12 13 5,故F为双曲线焦点，设准线为 l ,离心率为e,由题得 2 | FB | |FA

15、| | FC |，分别过 A, B,C做x轴的垂线AA2, BB2CC2 ,交l于入用2,&,则由双曲线的第二定义有 |FB| e|BB1|, | FA| e| AA1 |, |FC | e|CC1|,代入得：2e|BBJ e|AA/ e|CC1 |,即2| BB111AA1 | | CC1 |,于是两边均加上准线与 x轴距离的2倍，有2 | BB2 | AA21 | CC2 |,此即 2 6 yi y3,可见 y y 12 ；2 ）证明AC的中垂线方程为yy32&(x y3x1 x3),即2xx3xy1y322-x一x3-)，由于 2(y1 v3A,C曲线上所以有2y1222a1,巨13122x31,相减得1322yy2122X1132于是有包2x3V1V313/立(y1v313 c121213,故变成xx3 xy1y3252易知此25直线过点D（0,）。 25、抛物线及其标准方程6、抛物线的简单几何性质例1求满足焦点在x 2y0上的抛物线的方程，并写出准线方程。解令x 0,得y 2;令y0 ,得x 4 ,抛物线的焦点为（4,0）或（0,2)。当焦点为（4,0）时,当焦点为（0, 2）时,R 4 2p 222p 8,抛物线方程为：y 16x,准线为：xp 4 ,抛物线方程为：x28y ,准线为:4-例2已知定点 A（0,