圆锥曲线“孪生”变式题探究

1、圆锥曲线“学生”变式题探究教学过程中，注重对题目的变式探究，如条件的探究（增加、减少或变更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数形探究、引申探究（命题是否可以推广）、类比探究等，可使学生形成知识网络化，方法系统化，做到举一反三，培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力、探究创新的能力 以及灵活多变的思维能力。在圆锥曲线的教学中，可作如下“挛生”变式问题的探究第5页共9页“李生”问题之一:（焦点三角形面积）2 .21.若椭圆士+y一 b2=1 a>b>0上一点P对两焦点F1、F2的张角为，则PF1F2有面积为,2,b tan - c| yP I °s PF F2的

2、最大值=bc。2.若双曲线与2y2=1 a>0, b>0 一点 P b2对两焦点E、F2的张角为PF1F2有面积为b2cot - c | yP |。推导方法提示：联立方程组2(PFJIPF2I)PE+1PF2 22(2a) L L 2 I PElg I PF21 cos2两=4c2L L (2)式相减整理即可。2例：（1）设F1、F2为椭圆，y2 1的两个焦点，P在椭圆上,F1PF2的面积为1时,uuurPF1uuuuPF2的值是x2。（2）设F1、F2为双曲线式1的两个焦点,P在双曲线上，当uuirPF1uuuuPF20时，F1PF2的面积为问题之二：（焦半径夹角）1.若椭圆+

3、-2-=1 a>b>0 上一"点 P, b2uuuruuuu设 |PF1| r1，|PF2| 2,P对两焦点FF2的张角为，则2b22 b2cosarccos(1）o当且仅当12时,max arccos贝U cos1y-2-=1 a>0,b>0 上一点 b2uuuruuuuP,设 |PFJ r"PF2| 2P对两焦点F1、F2的张角为2b212； arccos( 12b2)1问题之三：（焦半径公式）1.若椭圆x y一 + J=1 a>b>0 上一点 P( b22.若双曲线uuurxo,y。），设IPF1 |y2=1 a>0,b>

4、;0 上一点 P( x0, y0 ),设 br1 ex0 aexo3.若抛物线C: y2 =2 px( puuur r1,|PF2|uuurIPF1 Ia 。若P在左支上，则rex0uuir0)上一点 P(xo,y0),则 | PF |“挛生”问题之四：（焦点弦长）xor2，则 r1aex0, r2 a ex0 。uuuur1,| PF21 r2 ,若P在右支上，则ex0 a。1.若AB是椭圆2 2 x +y a2+R=1 a>b>0的焦点弦,A( xi, yi ),B( x2,y2),弦中点 M( x°, y°),则左焦点弦长 l 2a e( x1 x2)22

5、.若AB是双曲线、 a一一 一一 .2b22a 2ex0 ；右焦点弦长 l 2a e( x1 x2) 2a 2ex0 ； 1min =通径二 a2y=1 a>0,b>0 的焦点弦，A( x1, y1 ),B( x2, y2 ),弦中点 bM（ xo,y。），则左焦点弦长 1 12a e( x1x2 )| | 2a2b2=。a3.若AB是过抛物线 y2 2 px( p2exo | ；右焦点弦长1 |2a e( x1x2 )| |2a 2exo | ；通径0)焦点的弦， A( x1, y ),B( x2, y2)，则 | AB |= x1 x2 p 或I AB 1=一号一（为AB的倾斜

6、角） sin22P；x x2Y2,yy2p .“挛生”问题之五：（中点弦、弦长公式）221.若AB是椭圆 与+ =1 a>b>0的弦,a2 b2A( x1 ,y1 ),B( x2, y2),弦中点 M( x0,y0 )。则(1)弦长 l k | x1x2|或l,1 J |y1 y2|(k 0)； kABb2x0-2- ； a V。（3 ）直线AB的方程：yy。b2x。（ x x。）；（4）直线AB中垂线的方程：a yo2ay。/xy Vo 7( x x。)；b x。222.若AB是双曲线 0 、=1 a>0,b>。的弦,a2 b2A(x1，y1 ),B( x2,y2),

7、弦中点 M( x0,y。)。则(1)弦长 l 1k7 | x1 x21或 l1 + |，y2|(k。)； kABb2x。-2；a yo（3 ）直线AB的方程：y y。峥(x x。);a yo（4）直线AB中垂线的方程yVoa2y。b2x。(xxo )；3.若AB是抛物线y22px( P 0)的弦，A( x1, y1 ),B( x2, y2) ( x1 x2),弦中点 M( x。，y。)。则(1)弦长 l，1k2I x1 x2|或1 巾 j 1 y1 y2|(k。)； kAB（3）直线AB的方程：yy0卫（xx。）；（4）直线AB中垂线的方程：yy0丛（xx。）；y0p“李生”问题之六:1 .与

8、两定点 A1a, 0、A2 a, 0连线的斜率之积为0,的动点P的轨迹为椭圆（除去两定点）。2 .与两定点A a, 0、A2 a, 0连线的斜率之积为的动点P的轨迹为双曲线（除去两定点）变式：与两定点Ai a, 0、A2a,0的距离之比为定值0,1）的动点的轨迹是圆。“挛生”问题之七：221.设P为椭圆 2+ 0=1 a>b>0上不重合于短轴两端点 a2 bBi, B2的一点，直线 PBi,PB2与x轴分别相交于点M ,N ,则|OM |g|ON |为定值a222变式：设P为椭圆xT+yT=1 a>b>0上不重合于长轴两端点 A1, A2的一点，直线PA1, PA2与y

9、轴分 a b别相交于点M ,N ,则|OM |gON |为定值b2。222.设P为双曲线 彳 y2=1 a>0,b>0上不重合于实轴两端点为，儿的一点，直线 PA1，PA2与y轴分别a b相交于点M , N ,则|OM |gON |为定值b2o“李生”问题之八:221 .已知长轴为AA2的椭圆 + =1 a>b>0上有一动点p （不与A1、A2重合），直线PA1, PA分别与椭圆 a b的右准线l交于点M, N,椭圆的右焦点为 F ,则 MFN=2。222 .已知长轴为 A1A2的双曲线 与 y2=1 a>0,b>0上有一动点Pa b（不与Ai、A2重合），

10、直线PA , PA2分别与双曲线的右准线l交于点M, N ,双曲线的右焦点为 F ,则MFN=。2“挛生”问题之九：221 .设P为椭圆。+=1 a>b>0上一点,a2 b2sin +圆的离心率e=。sin +sin2 2E、F2为椭圆的左右焦点，若PF1F2, PF2F1,则椭2.设P为双曲线 与 y2=1 a>0、b>0上一点，F、F2为双曲线的左右焦点， 若 PF1 F2 a b，PF2F1，sin+则双曲线的离心率e=-jf 。sinsin“挛生”问题之十：一 x2 y21 .若椭圆 二+，=1 a>b>0上一点P与左右焦点F、F2构成的PF1F2的

11、内心为I , PI的延长线交直线 a bF1F2于Q则1"Q e,（其中e椭圆的离心率）。IIP |222 .若双曲线x2-y2=l a>0,b>0右支上一点P与左右焦点F、f2构成的pff2的旁心为I （位于a bPF1F2内），PI的延长线交直线F1F2于Q则！"PJ e,（其中e双曲线的离心率）。推导提示：运用三角形内、外角平分线定理及等比定理孪挛生”问题之十一： 221.设P为椭圆 与+。=1 a>b>0上一点，Fi、F2为椭圆的左右焦点，线段A1A2为椭圆的长轴，则以PF2 a2 b2（或PR）为直径的圆与以 A1A2为直径的圆内切。222

12、.设P为双曲线 =y2=1 a>0,b>0右支上一点，F1、F2为双曲线的左右焦点，线段 AA2为双曲线的 a b实轴，则以PF2 （较短焦半径）为直径的圆与以A1A2为直径的圆外切。以 PF1 （较长焦半径）为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切。孪挛生”问题之十二：221 .设直线l过椭圆C ： +4=1 a>b>0的一个焦点F ,且与椭圆C相交于P,Q两点，若 a2 b2一， 一，112a| PF | m,| FQ | n ,贝U 一 一2。m n b推导提示：联立过焦点的直线方程与椭圆方程，求出x1 x2、x1x2 ,并将m a ex,n a ex2一起代入 1

13、2a e（x1一组整理即得；验证斜率不存在的情况。m n a2 ae（x1 x2） e2x1x2222 .设直线l过双曲线c： 5=1 a>0,b>0的一个焦点F ,且与双曲线C的右支相交于 P,Q两点，若 a b11 2a| PF | m,| FQ | n ,则一下。m n b3.设直线l过抛物线C:y2 2px（ p 0）的焦点F ,且与抛物线C相交于P,Q两点，若1 12| PF | m,| FQ | n ,则一一一。m np例：1.已知椭圆的焦点为E 6,0、F2而0，点F到相应准线的距离为,过F2且倾斜角锐角的直3uuiruumr线l与椭圆相交于A、B两点，使得BF2 3

14、F2A,求椭圆和直线l的方程。2 22.已知双曲线C：三 yy=1的实轴长为 4,过其右焦点 F的直线l交双曲线C的右支于P,Q两点，且 a2 b2iiiiuuur-PF 6,QF 2,求双曲线C和直线l的方程。孪挛生”问题之十三：（圆锥曲线第二定义）第4页共9页当 Aa Bb C 0时:1 .方程J（22x a) ( y b)e | AxA2 B2ByC|(0e 1）表示的曲线是椭圆;2 .方程 J( x a )2 ( y b )2-=e| Ax.A2 B2ByC|(ei）表示的曲线是双曲线;3 .方程 «xIp(yb)2-=e| Ax.A2 B2ByC|(e1）表示的曲线是抛物线

15、;第12页共9页当 Aa Bb C 0时:1.方程 (JxxIp(yb)2e | AxA2 B2ByC|(0e 1 ）表示的曲线是点（a,b）;2.方程 7( x a )2 ( y b )2：e | Ax. A2 B2ByC|(ei）表示的曲线是两条相交直线;3.方程 «xOp(yb)2-=e| Ax,A2 B2ByC|(e1）表示的曲线是过点（a, b）且垂直于A(y b) 0);直线Ax By C 0的一条直线（即： B（x a）“挛生”问题之十四:1.已知点A（ 2, J3）,设F2是椭圆2.2+y2=1的右焦点，在椭圆上求一点 M，使| MA |162| MF2I 最小。3M

16、A| 一|MF |522.已知点A（9, 2）,设F2是双曲线C： 92y-=1的右焦点，在双曲线C上求一点M ,使|161最小。3.已知点A（ 2, J3）,设F是抛物线y2=-8x的焦点，在抛物线上求一点 M ,使| MA | | MF |最小。“李生”问题之十五:221 .已知点A（ 2,V3）,设F2是椭圆x +/1的右焦点,222 .已知点A（9, 2）,设F2是双曲线 匕二1的右焦点，16 9M是椭圆上的点,M是双曲线上的点,求 |MA| |MF2W范围。求|MA| |MF2|的最小值。“挛生”问题之十户P到左（右）准线l的距离| PQ |是点P到左、221 .已知椭圆C: + =

17、1,能否在椭圆上找一点P ,使点43右焦点F1、F2的距离| PF1 |、| PF2 |的等比中项？若能，求出点 P的坐标；若不能，说明理由。222 .已知双曲线C:15七二1 ,能否在双曲线C的左（右）支上找一点P，使点P到左（右）准线1的距离| PQ |是P到左（右）焦点F1距离| pf1 |（ | pf2 |）与点P到右（左）焦点F2的距离| PF2| （ | PF1 |）的等比中项？若能，求出点 p的坐标；若不能，说明理由。“挛生”问题之十七：221.已知椭圆C:萼+ !1上的一点P到左（右）焦点F1 （ F2）的距离| PF1 |（|PF2|）是点P到左（右）准 a b线l的距离|

18、PQ |与点P到右（左）焦点F2（ Fi）的距离| PF2 |（| PF1 |）的等比中项，求离心率的取值范围。22.已知双曲线勺 a2准线l的距离| PQ |与点P到右（左）F2的距离| PF2 | （| PFi |）的等比中项，求离心率的取值范围。“挛生”问题之十八：2.21 .同焦点的椭圆系:x y )，.+ 2 1(a b a b0) ?2 .同焦点的双曲线系:2x2a2 22y , 2 1(ab0,b0)?-+k b2xa2 k1(a2 k k2-1(a2b kb2k 0)；0,b2k 0)；3 .同焦距的椭圆系:二+y2-1(a b0) ?4 .同焦距的双曲线系:2 xa22y-1

19、(a b20,b0)?-+-k b2x1 或一k a2y .k + b2-1( ka2k b2k 0)；5 .同离心率的椭圆系:6 .同离心率的双曲线系:今+y2-1(a a b2x2ay ,-2 1(a0)?a2 k22x +y =+0,b 0)?b22 xab2(a0,2.21(a2 k 0,b k 0);2 y F b2或匕2 a22y x0)或 + + 2 (a b a b2 x (a 0,b 0, b0,0)；0)；y21左（右）支上的一点P到左（右）焦点F1距离| pf1 |（ | pf2 |）是P到左（右） b“挛生”问题之十九:1.已知直线11 : yb ax；12: yb 一

20、 x上分别有两点 aA、AB |二m （常数），则AB的中点M4b2x2的轨迹方程是：空;a4a2 y推导提示:设 A(ati,bti)、B(at2, bt?),则 t1t22x0a，t1 t22y，代入两点间距离公式得:22a (t1t2)22b (t1t2)2 一一m整理即得2.已知直线11b：y -x；a12 ： yb 一 x上分别有两点 aA、,满足SVAOB m （常数），则AB的中点M的轨迹方程是:22xy2,2abmab（A、B两点横坐标同号）y2b7m瓦（A、B两点纵坐标同号）推导提示:A、B两点纵坐标同号时，设 A（ at3 bti卜B(at2,bt2),则 t1t22x0

21、+力1t4 t2 bt1xa x0ayOb ;表示出直线AB的方程：y bt1 y。bbt1 bt2 /0T(x M)'令x0得：y2abt1t2 .a(t1 t2)；则 SVAO"1%!普皿1 t2), abt1t2 mt1t2黑，代入整理即可。“挛生”问题之二十:1.过定点P（m, n）的直线与椭圆C：勺+y2=1（ a a b20,b 0）恒有交点的充要条件是2.过定点P（m,n）的直线与双曲线 C：与 t=1（ a-b20,b 0）恒有交点的充要条件是2 2 m +n a2 b72 m -2- an2 1 b23.过定点P（m, n）的直线与抛物线c： y2 =2 p

22、x（ p 0）恒有交点的充要条件是 n2 2pm .“李生”问题之二T221.过椭圆 C：xT+y2=1(aa2 b22b2b 0）一焦点的弦长为l的直线：（1）弦长l 的直线有且仅有一条; a(2)弦长l满足2b- la2a的直线有两条；（3）弦长l 2a的直线有且仅有一条.222 .过双线 C：= y2=1( a a2b0,b 0） 一焦点的弦长为l的直线：（1）弦长l空2a或la2a空的a直线有且仅有一条；（2）弦长l2b2a2b2l=2a的直线有三条；弦长海甫2b22a或 a笆且l al 2a的直线有两条；（3）弦长l2a的直线有四条。3.过抛物线C： y2 =2 px（ p 0）焦点

23、的弦长为l的直线:（1）弦长l 2p的直线有且仅有一条;l 2p的直线有两条.“挛生”问题之二十二:1.已知直线l : y kx m ,椭圆C：与+y2=1（a b 0）,椭圆上存在两点 A、B关于直线 a2 b为常数，求k的取值范围；若k为常数，求m的取值范围。1常见解题万法一：在k存在且不为零时，设直线AB的万程为y 丁 n，联立方程组0,（含k,n的不等式），表示出x1 x2,y1 y2 ,根据对称性得："22数式表示n,代入 0中解出k的取值范围，对于k不存在或为零时特殊讨论。x1 x2k -2 2(同理求m2a空或a（2）弦长l对称，若m1x n k 2工+L=1 a2 b

24、2m,用k的代的取值范围）；常见解题方法二：在k存在且不为零时，运用点差法求出 AB中点的轨迹方程:b2yt2xkABakb2-2 x a与l : y kx m联立求中点坐标（x0, y0 ）由不等式22岩+岭1解出k的取值范围, a2 b2对于k不存在或为零时特殊讨论。（同理求m的取值范围，方法二略简单）22.已知直线l : y kx m，双曲线C： xy a2y?=1(a b0,b 0）,双曲线上存在两点A、B关于直线l对称,若m为常数，求k的取值范围；若k为常数，求 m的取值范围。1常见解题方法：在 k存在且不为零时，设直线 AB的方程为y -x n ,联立方程组 k一次;系数 0,(含k,n的不等式)，表示出xi X2,yi y2 ,根据对称性得：生 用k的代数式表示