高中圆锥曲线教案设计

1、第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质.我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析.(二)几种常见求轨迹方程的方法1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的

2、距离等于 k的动点P的轨迹方程；2(2)过点A(a, o)作圆O： x2+y =R2(a> R >o)的割线，求割线被圆 O截得弦的中点的轨迹.(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0.解：设动点 P(x, y),则有 |OP|=2R 或|OP|=0.即 X2+y2=4R2 或 x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.X(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成，解

3、答为：设弦的中点为 M(x, y),连结OM,则 OM XAM . kOM kAM =-1 ,化筒得=其轨迹是以OA为直径的圆在圆 O内的一段弧(不含端点).2 .定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹 方程，这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值 的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件.例2设Q是圆/+/=4上的动点，另有点4垂，0),线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P(见图245),当Q点在圆周上运动时，求点 P的轨迹方程.点P在AQ的垂直平分线上，|PQ|=|PA|.又P在半径OQ上.，|

4、PO|+|PQ|=R,即 |PO|+|PA|=R.故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程.解：连接 PA . l±PQ,|PA|=|PQ|.又P在半径OQ上. . |PO|+|PQ|=2. |POf4-|TA|=2,且由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.由 2a = 2, 彳导；a - L c =.从超=1.故所求椭圆方程为飙- * W=1即为点p的轨迹方程.3 .相关点法若动点P(x, y)随已知曲线上的点 Q(x0, y0)的变动而变动，且 x0、y0可用x、y表示，则将 Q点 坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程.这种方法称为相关点

5、法(或代换法).例3 已知抛物线y2=x+1 ,定点A(3, 1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP ： PA=1 ： 2,当B点在抛物线上变动时，求点 P的轨迹方程.分析：P点运动的原因是 B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系.解：设点P(x, y),且设点B(x0, y0).BP : PA=1 ： 2,且P为线段 AB的内分点.由定比分点公式得；r 3而"-(K -1>170 =T).将此式代入式=小+1中，并整理得，31品=9/一了4即为所求轨迹的方程,它是一条抛物线，4.待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数

6、法求.例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在 y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线了=2斓t双曲线截得线段长等于入反求此双曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方_ 篮=g$Q -i-cos P则 片y = sinCi + sm p解！设所求双曲般程为 X = L将尸=4玳入此S程整理得2ax2-4b x+a2b2=0抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0 应有等根. 二1664-4Q4b2=0,即 a2=2b.（以下由学生完成）由/得上（公-/_d丫=0.下一官一由弦长公式

7、得：即 a2b2=4b2-a2.,a2 = 2b p =2由沁=4b一秸fb，=1，双曲妖的方程为。3=1.b-l(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果.练习题用一小黑板给出.1 . AABC 一边的两个端点是 B(0, 6)和C(0, -6),另两边斜率的积是:求顶点A的轨迹.2 点P与一定点F(2, 0)的距离和它到一定直线 x=8的距离的比是1 ： 2,求点P的轨迹方程，并 说明轨迹是什么图形？3 .求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.答案：221-3-77 =- 6或值按法】36 812.轨迹是长半轴等于4,短半轴等于2#的横圆(

8、定义义法)莫湘关点法)设Pg 两是抛物线上任意一M F段, 0)是焦点，M(xf刃是pF的中点.则成=2p4由中点坐标公式得：一兀在极坐标系下,如果等边二角形两个顶点是A(2, B(2,5773TC3 JT则顶点。的极坐标是(2力，2kH +5(273, 2k7T-).将此式代入yj = 2处滞=即口 = 2p(2比-|)即尸=p-9为所求的轨迹方程.(四卜教学反思求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1 .两定点的距离为 6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M

9、的轨迹方程.2 .动点P到点F1(1, 0)的距离比它到F2(3, 0)的距离少2,求P点的轨迹.3 .已知圆x2+y2=4上有定点 A(2 , 0),过定点A作弦AB ,并延长到点 P,使31AB|二2|AB| ,求动 点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点 M的 轨迹方程x2+y2=42. |PF2|-|PF|=2,且|F1F2|，P点只能在x轴上且x<1,轨迹是一条射线3. y0),了)则有媪十端=4而由 31ABi=2|AP|W= |AP|=|AB|' wim研网=；网y+ 2x0由定比分点公式得；广将

10、此式代入其+君=4得(号)3+(争2 =4. 星£50 = 4,即(落+ + y? = 9为所求P点的轨迹方程.六、板书设计§ 2 . 21求曲载的轨漫方程引入4 .存定累戳法（小赧（二）几种常见求轨迹方程国方例4*法（三例雕习1 .1 .直接法（见小黑板）2 .例13 ,2 .定义法1 .例23 . 联点法2.例33 .（四XN结2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程过程与方法目标（1）预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的 交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截 口曲线是

11、椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双 曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问 题回答清楚后，要引导学生一起探究 P，页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm, 一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）.当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆.启发性提问：在这一 过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？ R板书12. 1. 1椭圆及其标准方程.（2）新课讲授过程（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义.R板书把

12、平面内与两个定点 E, F2的距离之和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）.其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设 为M时，椭圆即为点集 P M | MF1MF2 2a .（ii ）椭圆标准方程的推导过程提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第 二、注意图形的特殊性和一般性关系.无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理.设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义.22类比：写出焦点在 y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程与 1 1

13、a b 0 .a b（iii ）例题讲解与引申例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0一 53 一、2,0 ,并且经过点 -,求它的标准22方程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出a,b,c.引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为“5b 0 ,因点一23 ,一3在椭圆上,2259则 4a2 4b222a b 4,10,6如图，在圆4上任取一点P ,线段PD , 迹是什么？D为垂足.P在圆上运动时，线段过点P作x轴的垂PD的中点M的轨分析:点P在圆y24上运动,由点P移动引起点M的运动,则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点

14、 M的轨迹方程.引申：、，一,一 x2设定点A 6,2 , P是椭圆252y 1上动点，求线段 AP中点M的轨迹方程. 9解法剖析：（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x,% ；（点与伴随点的关系）:x1M为线段AP的中点，小2x 6 ；（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 222. . x1y12591,点M的轨迹方程为251 一、一 一；伴随轨迹表布的范围.4例3如图，设A, B的坐标分别为5,0 , 5,0 .直线AM , BM相交于点M ,且它们4的斜率之积为 一，求点M的轨迹方程.9分析：若设点M x, y ,则直线AM , BM的斜率就可以用含4子表不，由于直线 AM , BM

15、的斜率之积是 一，因此，可以求出9x, y的式x,y之间的关系式，即得到点 M的轨迹方程.解法剖析：设点 M x, y ,则 kAM y x 5 , kBM y x 5 ;x 5x 5代入点M的集合有 -y- -y4,化简即可得点 M的轨迹方程.x 5 x 59引申：如图，设 ABC的两个顶点A a,0 , B a,0 ,顶点C在移动，且kAC kBC k,且k 0,试求动点C的轨迹方程.斗引申目的有两点：让学生明白题目涉及问题的一般情形；当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴一圆的直径一椭圆的短轴.2. 1. 2椭圆的简单几何性质过程与方法目标(1)复习与引入过程引导学生复习由函数的

16、解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培 养.由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；由方程的性质得到椭圆的对称 性；先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率.R板书1 § 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2)新课讲授过程(i)通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质.提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论， 可

17、以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质22y , x 一 , 一一 一范围：由椭圆的标准方程可得,、1 0 ,进一步得：a x a,同理可得:b ab y b,即椭圆位于直线 x a和yb所围成的矩形框图里；对称性：由以 x代x,以 y代y和 x代x,且以 y代y这三个方面来研究椭圆的标 准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴

18、叫做长轴， 较短的叫做短轴；c离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1), a当e 1 时，c a, , b 0,当e 0时，c 0, b a椭圆图形越扁椭圆越接近于圆(iii )例题讲解与引申、扩展例4求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c .引导学生用椭圆的长轴、- -士短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量.扩展：已知椭圆mx2_ 2_ 105y 5mm 0的离心率为e ,求m的值.5解法剖析：依题意，m 0,m 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：当焦点在 x轴上，

19、即0 m 5时，有a J5, b Jm,c J5m, . '5 m 电，得m 3；当焦、55点在 y 轴上，即 m 5 时，有 a 曲,b J5, c 4m5 ， "m_5 或0m 25 .、m 53例5如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点Fi上，片门位于另一个焦点 F2上，由椭圆一个焦点 Fi发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2,已知 BC F1F2 , F1B2.8cm,a,b,c的近似值，原则上在没有注F1F2 4.5cm.建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.22x y解

20、法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为一2 01 ,算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：注意建立直角坐标系的两个原则；关于 意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心52为一个焦点的椭圆，近地点 A距地面200km,远地点B距地面350km,已知 地球的半径 R 6371km .建立适当的直角坐标系，求出椭圆 的轨迹方程.例6如图，设M x,y与定点F 4,0的距离和它到直线l ：求点M的轨迹方程.分析：若设点M x, y ,则MF| J x 4 2 y2 ,到25.25l : x 的距

21、离dx ,则容易得点M的轨迹方程.44的距引申：（用几何画板探究）若点M x, y与定点F c,02ac_ .离和它到定直线l： X 的距离比是常数 e a c 0，则点M的轨迹方程是椭圆.其ca2中定点F c,0是焦点，定直线 l : x "相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点 c 2F c,0 ,相应于F的准线l ： x . c补充：1.课题:双曲线第二定义教学过程：学生探究过程： 复习回顾1.椭圆9x2 y2 81的长轴长为18 ,短轴长为6 ,半焦距为6<2 ,离心率为逗,焦点 3(准线方程为y3 一2.短轴长为8,离心率为-的椭圆两焦点分别为5F1、F2 ,过点F

22、1作直线l交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为一20引入课题2【习题4 (教材P50例6)】椭圆的方程为 252 y161, M1, M2为椭圆上的点求点M1 (4, 2.4)到焦点F (3, 0)的距离2.6 若点M2为(4, y0)不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F (3,0)的距离吗?解：|MF| , (4 3)2V。2Vo1621代入消去y0得|MF |169 1325【推广】你能否将椭圆2 x2 a2 y b21上任一点M(x, y)到焦点F(c,0)(c 0)的距离表示成点M横坐标x的函数吗?|MF2 x2 a.(x c)22氏1代 入 消 去|MF | v'x2

23、 2cx c2 b2 b2x2 a',(-x a)2a坐标为(0, 6显),顶点坐标为(0, 9) ( 3,0),c cI X a | 一|x22aa I e|x -|cc问题1 ：你能将所得函数关系叙述成命题吗？(用文字语言表述)a2椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线 x 的距离的比等于离心率c问题2:你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？(逆命题中不能出现焦点与离心率)2动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线 x c的距离的比等于常数 -(a c)的点的轨迹是a椭圆.【引出课题】椭圆的第二定义当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数的轨迹是椭圆.

24、定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数ce (0 e 。时，这个点 ae是椭圆的离心率.2 x 对于椭圆1a2二 1,相应于焦点F(c,0)的准线方程是 b22a根据对称性，相应于焦点c222F ( c,0)的准线方程是x -.对于椭圆 xTca b21的准线方程是y c可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意 义.由椭圆的第二定义此 e可得：右焦半径公式为| MF右| ed d2ae| x | a ex ；c左焦半径公式为| MF左|2aed e | x ( ) | a exc典型例题2x例1、求椭圆252y161的右焦点和右准线；左焦点和左

25、准线;a2解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x ；左焦点F( c,0)和左准线c变式：求椭圆9x2 y281方程的准线方程;27 2422解：椭圆可化为标准方程为:匕工 1 ,故其准线方程为 y819小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出22例2、椭圆上 1上的点M到左准线的距离是 2.5 ,求M到左焦点的距离为 2516变式：求M到右焦点的距离为解：记椭圆的左右焦点分别为Fl, F2到左右准线的距离分别为di,d2由椭圆的第二定义可知:di| MF1 | ed132.5 1.55|MFi |1.5又由椭的第一定义可知:|MFJ IMF2I2a10 IMF2I8

26、.5另解：点M到左准线的距离是2.5,所以点2M到右准线的距离为2里c2.5把358526|MF2 |e | MF2 | ed23 85 8.5小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例1、 点P与定点A (2, 0)的距离和它到定直线 x 8的距离的比是2,求点P的轨迹; (x 2)2 y2解法一：设P(x, y)为所求轨迹上的任一点，则、(x 2)一y-|X 8|2x1621,故12所的轨迹是椭圆。解法二：因为定点 A (2, 0)所以c 2,定直线x 8所以x28解得ac1 .一 一、一 x2故所求的轨迹方程为 一2162匕112变式: 分析:呢？占八、P与定点A (2, 0)的距离和它

27、到定直线x 5的距离的比是1 ： 2,求点P的轨迹;这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解 (x 2)2 y2:设P(x, y)为所求轨迹上的任一点，则*(x 2)一匕|X 5|3x226x 4y一 (x 1)29 0配方得(-42 1,故所的轨迹是椭圆，其中心在31, 0)解法二：因为定点2A (2, 0)所以c 2,定直线x 8所以x 5解得ca2 10 ,故所求2的轨迹方程为106问题1:求出椭圆方程1 和 (x 1)41的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率;问题2:求出椭圆方程2y32 y_ 31长轴顶点、焦点、准线方程;x2解：因为把椭圆一42

28、y31向右平移一个单位即可以得到椭圆(x 1)242y 1所以问题1中3的所有问题均不变，均为 a3,b3,c 1,e ca1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2,0),(1,0) x(x1)242y 1长轴顶点、焦点、准线方程分别为:31,0),(1 1,0) x 4 1;反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件,c21 、所以我们必须进行检验，又因为e -另一方面离心率就等于 1这是两上矛盾的结果，所a .102以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方

29、法是采用 求轨迹方程的思路，但是这种方法计算量比较大；4的关系解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB为直径的圆必与椭圆的右准线(：A.相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？d1解：设AB的中点为M,则M即为圆心，直径是|AB|;记椭圆的右焦点为 F,右准线为过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知 d又由椭圆的第二定义可知空-|d1e 匡1 e 即 | AF | d2I BF

30、 | e(d1 d2)又 |AB| | AF | | BF |d LABJ故直线与圆相离22 x 例5、已知点M为椭圆252y 1的上任意一点,16F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求5|MA| |MF1|的最小值 3分析：应如何把5 | MF1 |表示出来解：左准线11:2 ax c11于点D,记 d |MD |由第二定义可知:|MF1 |MF1 |3d ?55d - |MF1 |35 故有 | MA | - | MF111MA |3|MA| MD |所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值:125即|MA| 5|MF1 |的最小值是28 33变式1： 3|MA| 5|

31、 MF1 |的最小值;.一5解：3|MA| 5| MF1 | 3(|MA| - | MF1 |) 328328、,3.一变式2： 31MAi |MF1|的最小值;5解：3|MA|MF1| 5(|MA| 3.10283巩固练习285工 y十 1 .已知 产是椭圆100 36上一点，若 产到椭圆右准线的距离是2 ,则尸到左焦点的距离为2.若椭圆也冲=1的离心率为2 ，则它的长半轴长是66答案：1.2. 1 或 21 .例题5的两个变式；2 .已知 工，5为椭圆&9口上的两点，-Q是椭圆的右焦点.若.)3出F的中点到椭圆左准线的距离是2，试确定椭圆的方程.45S =)解：由椭圆方程可知5、两

32、准线间距离为 2 .设 工，石到右准线距离分别为 岂,"毋，邑以 |5/Jj4jg-；Ml 十忸巴|=(应+ 4)二 。由椭圆定义有 北 办5,所以广“的5-" 5 ，则九+么，2口，533_a-a=a=出田中点M到右准线距离为 厘，于是收到左准线距离为222 ,=1 ,所求椭圆方程为9.思考：1 .方程2j(x 1)2(y 1)2 |x y 2|表示什么曲线？(x 1)2 (y 1)2. 22解：三1 ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数|x y 2|22、2(且该常数小于1)方程表示椭圆例H、(06四川高考15)如图把椭圆的长轴 AB分成8等分，过每个等分点

33、作 x轴的垂线交椭圆的上半部分于 已尸2 P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F| IP2FI| P7F | =c 3斛法一：e 一 ，设Pi的横坐标为xi,则xi a 52,| Pi F | c 3a由e _ 得|5 | e(xi ) ada 5c3|PiF | |P2F |P7F | 2 7 -(1 24解法二：由题意可知R和P7关于y轴对)5 -i不妨设其焦点为左焦点43 ,5.、八 3.exi 5 (5 i) 2 i 5447) 35,又由椭圆的对称性及其第一定义可知IPiF |P7F| 2a,同理可知|P2F| PfF| 2a,| P3F |F5F| 2a ,|P,F| a板书设

34、计:复习回顾 引入课题 问题： 推广：椭圆第二定义典型例题1 .2. 3. 4. 5.课堂练习： 课堂小结： 课后作业： 思考：故 |PiF| IP2FIIP7F | 7a 352.椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。22x y性质一：已知椭圆万程为 二 % 1(a b 0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中 a b2 .F1PF2,则 S fpf2 b tan - 01 22(2c)2 F1F2 2PF1 2PF2 2 2PF11PF2 cos(PF1 IPF2)2 2PFj|PF2(1 cos)PF1 PF2(PFiPF2)

35、2 4c22(1 cos )4a2 4c22b22(1 cos ) 1 cosS F1PF22|pFi| PF2 sinb2 sin 1 cos,2b tan 2性质二：已知椭圆方程为2y21(a b 0),左右两焦点分别为b2Fi，F2,设焦点三角形PF1 F2 ,若 F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设P(xo, yo),由焦半径公式可知：PF1aex,PF1ae%在 F1PF2 中，cos2 I |22画画 "Ri2PFJPF2PF1I IPF2I)2 2IPF1IIPF2I 4c22PF1 PF2I22224a2 4c2 彳4b2d 2b21 1 = -7-72P

36、F1 PF22(a exo)(a e)a2 e2x1ax0a2a性质三：已知椭圆方程为22与41(a b 0),两焦点分别为F1，F2,设焦点三角形PF1F2中 a bF1PF2,则 cos1 2e2.证明：设 PF1 r1, PF22,则在F1PF2中，由余弦定理得:2212cos 讦22(12)2 242 4c2212212222a2 2c2 d12122a2 2c22a22c- 1 1 2e2.2a命题得证。2 X(2000年图考题)已知椭圆 a2yY 1(a b 0)的两焦点分别为 F1,F2,若椭圆上存在一点 bP,使得 F1PF2 1200，求椭圆的离心率e的取值范围。简解：由椭圆

37、焦点三角形性质可知cos1200 1 3于是得到e的取值范围是 ,1 .22e2.即 1 1 2e22性质四：已知椭圆方程为2yr 1(a b 0),两焦点分别为 F1，F2,设焦点三角形 PF1F2, bPF1F2PF2F1，则椭圆的离心率esin( )osin sinPF1F2, PF2F1由正弦定理得:F1F2PF2sin(180o) sinPF1sin由等比定理得:F1F2sin( )PF1I 也sin sinF1F2I2c |PFj IPF2I2asin( ) sin( ) sin sin sin sin已知椭圆的焦点是F1(-1, 0)、F2(1, 0), P 为椭圆上一点，且 |

38、.一 c sin( ) . e -。a sin sinF1F2 I 是 | PF1 I 和 | PF21的等差中项.（1）求椭圆的方程；（2）若点 P 在第三象PM,且/ PFiF2=120° ,求 tanFiPF2.解：(1)由题设 2 | F1F2 | = | PFi | + | PF2 I222a= 4 ,又 2c=2,，b= V3，椭圆的方程为 - y = 1.43(2)设/ fpf2= e,则/ pf2F1 = 60° e椭圆的离心率e1皿1一则一22sin(180osin120o sin(60osinsin(60o )整理得：5sin 0 = 33 (1 + c

39、os 0 )sin1 cos2电 也故 tan , tanFPF2 = tan 8 = 35253111 252.3双曲线2. 2. 1双曲线及其标准方程知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准 方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的几何画板 的制作或操作方法.过程与方法目标（1）预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截 口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线 或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件

40、后，提出两个问题：第一、你能理解为什么 此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子.当学生 把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究 P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝， 教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm,另一条约12cm, 一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）.当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线.启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小(动点)满足的几 何条件是什么？ R板书1

41、 §2. 2. 1双曲线及其标准方程.(2)新课讲授过程(i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义.R板书把平面内与两个定点 F1, 52的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola ).其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的 焦距.即当动点设为 M时，双曲线即为点集 P M IMF,MF2| 2a.(ii )双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来 建立直角坐标系.无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程.类比椭

42、圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义.22类比：写出焦点在 y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程与与 1 a 0,b 0 .b a(iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F1 5,0 , F2 5,0 ,双曲线上一点 P到Fi, F2距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c.补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：2O _与。C ： x 2 y2 2内切，且过点2A 2,0 ；与。C1 ： x2y 11 和。C2 ：22x y 14都外切； 与。C1 ：222.

43、y 9外切，且与。C2 ： x 3 y 1内切.解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题.具体解：设动圆M的半径为r .OC与。M内切，点A在。C外，MC r J2 , MA r ,因此有MA MC| J2, 点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即2x2 2y- 1 x72 ；7。M 与。C1、。C2 均外切，. MC1 r 1 , MC2M的轨迹方程是MC2MC11，点M的轨迹是以C2g为焦点的双曲线的上支,M的轨迹方程是4y24x2eM与eCi外切，且eM与eC2内切， MCi r 3, MC2 r 1 ,因此MC1MC2 4,，点M的轨迹是以C1、C2为焦点

44、的双曲线的右支，M的轨迹方程是22x y 1x2.45例2已知A, B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m / s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A, B两地听到爆炸声的时间差，即可知A, B两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s.已知各观察点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置 （假定当时声音传播的速度为340m/s;相关点均在

45、同一平面内）.解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图，以接报中心为原点 O,正东、正北方向分别为 x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设 A、B、C分别是西、东、北观察点，则A 1020,0 ,B 1020,0 , C 0,1020 ./设P x, y为巨响发生点， A、C同时听到巨响，OP所在直线为y x，又因B点比A点晚4s听到巨响声，PB| |PA 4 340 1360 m .由双曲线定义知，a 680,22c 1020, b 340而，P点在双曲线方程为 -x-v y2 1 x 680.联

46、68025 3402立、求出 P点坐标为P 68075,680 V5 .即巨响在正西北方向 680j10m处.探究：如图，设A, B的坐标分别为5,0 , 5,0 .直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率之积为 ，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1 例3比较，有什 9么发现？探究方法：若设点 M x,y ,则直线 AM , BM的斜率就可以用含 x,y的式子表示，由于4、，一直线AM , BM的斜率之积是-,因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程. 9 情感、态度与价值观目标通过课件(a)的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得 截口曲

47、线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当 常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量 b ,C2a2的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟： 像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须 对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力.能力目标(1) 想象与归纳能力：能根据课

48、程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子， 能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来 根据图形能用数学术语和数学符号表示.(2) 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何 问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到 一般性来研究，培养学生的辩证思维能力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4) 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力.(5) 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题 的一般的思想、方法和途径.

49、练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2. 2. 2双曲线的简单几何性质知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2)通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概 念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第 二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义过程与方法目标(1)复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研

50、究方法的进一步地培 养.由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；由方程的性质得到双曲线 的对称性；由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；应用信息技术的几何画板探究双曲线的渐近线问题；类比椭圆通过P56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率.R板书1 § 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2)新课讲授过程(i)通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位 置.要从范围、对称性

51、、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质22范围：由双曲线的标准方程得，与 个2 1 0,进一步得：x a,或x a.这b a说明双曲线在不等式 x a,或x a所表示的区域；对称性：由以 x代x,以 y代y和 x代x,且以 y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点， 由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；b22渐近线：直线yEx叫做双曲线 与 4 1的渐近线;aa bc离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e 叫做双曲线的离心率(e 1).a(iii )例题讲解与引申、扩展22例3求双曲线9y 16x144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.y轴上的渐近线是分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c .引导学生用双曲线的