牟合方盖与球的体积(高一)(课堂PPT)

1、1牟合方盖与球的体积2先看一个中学数学中的三视图练习题：我国古代数学家利用我国古代数学家利用“牟合方盖牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的（如图甲）找到了球体体积的计算方法计算方法“牟合方盖牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成是可以形成“牟合方盖牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（）的一种模型，它的主视图是（）利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形

2、，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，故选：方形，故选：B BB B3下面介绍与“牟合方盖”相关的知识动画演示4“牟合方盖牟合方盖” 是是刘徽刘徽研究球积公式时创建的几研究球积公式时创建的几何模型何模型, , 这一模型的建立这一模型的建立, ,为最后获得球积公为最后获得球积公式提供了充分条件。式提供了充分条件。5 祖暅祖暅在刘徽研究牟合方盖的基础上在刘徽研究牟合方盖的基础上, , 继续新继续新的探索的探索, ,最终建立了球积公式。他们的共同研最终建立了球积公式。他们的共同研究成果究成果, ,我们

3、称之为我们称之为“ 刘刘 祖原理祖原理” 。6 所谓所谓“ 牟合方盖牟合方盖” , , 是以棱长为一寸的立是以棱长为一寸的立方体八枚方体八枚, ,合之则棱长为二寸的立方体。合之则棱长为二寸的立方体。7 又以过立方体中之二正圆柱垂直相贯并内切又以过立方体中之二正圆柱垂直相贯并内切于立方体之相应侧面。于立方体之相应侧面。8 则二内切于立方体的两垂直贯的正圆柱的共则二内切于立方体的两垂直贯的正圆柱的共同部分同部分, ,就叫就叫“牟合方盖牟合方盖”。 这是由于这个立体的外形似两把上下对称的这是由于这个立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞。正方形雨伞。在这个立体里面，可以内切一个半在这个立体里面，可以内

4、切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。径和原来圆柱体一样大小的球体。9 祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方牟合方盖盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的原来的“牟合方盖牟合方盖”平均分为八份平均分为八份，取它的，取它的八分之一来研究。八分之一来研究。小牟合方盖体积小牟合方盖体积= 2r/3 = 2r/3 牟合方盖体积牟合方盖体积=16r/3=16r/3故：球体体积故：球体体积=(=(/4)(16/4)(16r/3)=4r/3)=4r/3r/310设OP = h，过 P 点作平面 PQRS 平行于 OABC。又设内切球体的半径为 r，则 OS = OQ = r，由勾股定理，不难证明等高处阴影部分的面积总相等。所以，有理由相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异。”再根据刘徽的想法，可求出球体体积公式。11 牟合方盖的三视图：牟