立体几何证明平行地方法及专题训练

1、标准文档立体几何证实平行的方法及专题练习罗虎胜 szdsgzsina立体几何中证实线面平行或面面平行都可转化为线线平行,而证实线线平行一般有以下的一些方法:(1)(1)通过“平移.(2)(2)利用三角形中位线的性质.(3)(3)利用平行四边形的性质.(4)(4)利用对应线段成比例.(5)(5)利用面面平行的性质,等等.(1)(1)通过“平移再利用平行四边形的性质1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E、F分另I为棱AB、PD的中点.求证：AF/平面PCE;分析：取PC的中点G,连EG.,FG,那么易证AEGF是平行四边形2、如图,直角梯形ABCD中,AB/CD,ABBC,AB=1,

2、BC=2,CD=1+3,过A作AECD,垂足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(I)求证：BCXWCDE;(n)求证：FG/面BCD;分析： 取DB的中点H,连GH,HC那么易证FGHC是平行四边形(第1题图)ABCAB实用文案标准文档3、直三棱柱ABCAiBiCi中,D,E,F分别为AAi,CCi,AB的中点,M为BE的中点,ACXBE.求证：(DCiDXBC;(n)CiD/平面BiFM.分析：连EA,易证CiEAD是平行四边形,于MF/EACE*MDFAiBi4、如下图,四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,BA_LAD,CD_LAD,CD=2AB,E为P

3、C的中点,证实：EB/平面PAD;分析：取PD的中点F,连EF,AF那么易证ABEF是平行四边形(2)(2)利用三角形中位线的性质5、如图,E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证:AM/平面EFG.分析：法一：连MD交GF于H,易证EH是AMD的中位线法二：证平面EGF/平面ABC,从而AM/平面EFG6、如图,直三棱柱ABC-A/B/C/,dBAC=90,AB=AC=CAA=1,点MN分别为A/B和B/C,的中点.实用文案证实：MN/平面A/ACC/;分析：连结AC1,那么MN是那么AAC1的中位线7.如图,三棱柱ABCAiBiCi中,D为AC的中点.求证：ABi/

4、面BDCi；分析：连BiC交BCi于点E,易证ED是BiAC的中位线8、 如图直三柱ABC-AiBiCi中,D,E分别是AB,BBi的中点证实： BCi/平面AiCD;分析：此题与上面的是一样的,连结ACi与AiC交F,连结DF,贝UDF/BCi9、如下图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP/GH.分析：连结AC交BD于O点,连结OM,易证OM/PA从而PA/平面DBM再根据直线与平面平行的性质得AP/GH.(.3)(.3)利用平行四边形的性质i0,正方体ABCDAiBiCiDi中O为正方形AB

5、CD的中央,求证:分析：连DiBi交AiCi于Oi点,易证四边形OBBiOi是平行四边形实用文案标准文档DiO/平面AiBCi;标准文档11、在四棱锥P-ABCD中,AB/CDAB=1DC,E为PD中点.2求证：AE/平面PBC分析：取PC的中点F,连EF那么易证ABFE是平行四边形ABCD为平行四边形,/ACB=90,EAL平面ABCD,EF/AB,FG/BC,EG/AC.AB=2EF.(I)假设M是线段AD的中点,求证：GM/平面ABFE；(n)假设AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.(I)证法一：由于EFAB,FG/BC,EG/AC,jACB=901由于AB=2EF,因此,B

6、C=2FC,1-连接AF,由于FG/BC,FG=BC2L在|_ABCD中,M是线段AD的中点,那么AM/BC,且1 -AM=BC2因此FG/AM且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM/FA.又FAU平面ABFE,GM也平面ABFE,所以GM/平面ABFE.(4)(4)利用对应线段成比例13、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别是SA、BD上的点,(1)幽_=_BN_,求证：MN/平面SDCSMND“、AMDN(2) =,求证：MN/平面SBCSMBN分析：法一：过M作ME/AD,过N作NF/AD利用相似比易证MNFE是平行四边形实用文案12、在如下图的几何体中,四

7、边形所以/EGF=90；AABCSAEFG标准文档法二：连接AN并且延长交CD或CD的延长线于E点,连结MN/平面SDC,同理连接AN并且延长交BC或BC的延长线于F,连结SF,那么易证MN/SF,是MN/平面SBC15、如图,三棱锥PABC中,E为PC的中点,且AF=2FP.求证：CM/平面BEF;分析：取AF的中点N,连CN、MN,易证平面CMN/平面EFB.4.416、如图,在直三棱柱ABCAB中,AC=3,BC=4,AB=5,AA=4,点D是AB的中点,(1)求证：AC_LBCi；(2)求证：AC/平面CDBi；(3)求三棱锥C1CDB/勺体积.分析：取AB的中点E,连结CE和AE,易

8、证GE/CD,AE/DB1,那么平面ACE/DBC,于是14、如图正方形证：MN/平面ABCDBEC分析：过M作MG/AB,过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形(6)(6)利用面面平行ABEF交于AB,M,SE,那么易证MN/SE,于是M为AB的中点,点F在PA上,AC1平面CDB1实用文案标准文档17在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AAi=2,点M是BC的中点,点N是AA的中点.(1)求证：MN平面ACD;B(2)过N,C,D三点的平面把长方体ABCDAB1GD1截成两局部几何体,求所截成的两局部几何体的体积的比值.(1)证法1：设点P为AD的中点,连接MP

9、,NP.点M是BC的中点,MP/CD.ECD二平面ACD,MP辽平面A1CD,MP平面ACD.2分丁点N是AA1的中点,NP/AD.AD仁平面ACD,NP0平面ACD,NP/A.CD4分MPnNP=P,MPU 平面MNP,NPU平面MNP,平面MNP平面A1CD.MNU平面MNP,.MN/平面A.CD6分证法2:连接AM并延长AM与DC的延长线交于点点M是BC的中点,.BM=MC.实用文案标准文档NBMA=/CMP,/MBA=/MCP=90：RtMBA三RtMCP.2分AM=MP.丁点N是AA1的中点,MN/AiP.4分AP=平面A1cD,MN辽平面ACD, MN平面ACD.6分(2)解：取BBi的中点Q,连接NQ,CQ, 点N是AA1的中点,NQ/AB.AB/CD,NQ/CD.NQCD把长方体ABCD-ABigDi截成两局部几何体其中一局部几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一局部几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1.8分SQBC=1也B_BC=111,222