用牛顿法求解非线性方程

1、实验七非线性方程求根一、实验目标1,掌握常用的非线性方程求根算法二分法、不动点迭代法与Newton法及加速技术Aitken力口速与Steffsen力口速.2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.二、实验问题求代数方程fx=x33x5=0的实根.三、实验要求、仙?*5-2135.21A、-+上1.方程有一个实根：x=化2.27902.将方程以下面六种不322 .对每一种迭代格式,编制一个程序进行运算,观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计|xk书-xk|tol,tol=10来限制迭代次数,并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.3,从理论上分析各种格式

2、的收敛性及收敛阶.4.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速,通过输出结果了解加速效果.5,将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.、.、.一.*同方式等价地改写,构造迭代格式,计算x:3x5x3-5(a)x=-2-,(b)x=,x2355(d)x=2(e)x=.3一一,x-3x(f)x=x一一31x3-3x-5x2-1数值分析实验指导附录一：?数值分析?实验报告(模板)实验课题用牛顿迭代法求非线性方程根【实验目标】明确实验目标1,掌握常用的非线性方程求根算法(二分法、不动点迭代法与Newton法)及加速技术(Aitken力口速与Steffsen

3、力口速).2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.3探索不同方式改写方程的收敛程度【理论概述与算法描述】1.牛顿法设方程f(x)=0有近似根xk,将函数f(x)在点xk展开,有f(x)=f(xk)+f(xk)(x-xk),于是方程可表示为f(xk)+f,(xk)(x-xk)=0,这是个线性方程,记其根为x(k+1),那么x(k+1)=xk-f(xk)/f(xk),这就是牛顿迭代法求根.2,埃特金加速收敛方法设x0是根x的某个近似值,用迭代一次得x1=P(xo),而由微分中值定理,有*,x1-X=?(%)-中(X)=9(-)(Xo-X)其中介于x和xo

4、之间假设中(x)改变不大,近似地取某个近似值L,那么有*、x-xL(xo-x)假设将校正值为=*(刈)再迭代一次,又得刈=中()由于4-乂L(x1-x)将它与前面的式子联立,消去未知的L,有*出一xxo-x-1&-*x2-xx一x由此推知xx2-x1x2-2x1%(x1-xo)2x2-2x1%数值分析实验指导(xk1-xk)xk1=xkxk-xk1xk.2称为埃特金加速方法.3.斯特芬森迭代法将埃特金加速技巧与不动点迭代结合,那么可得到如下的迭代法yk=(x)Zk=(Yk)即为斯特芬森迭代法【实验问题】同方式等价地改写,构造迭代格式,计算3 .对每一种迭代格式,编制一个程序进行运算,观

5、察每种格式的敛散情况；用事后误差估计|xk书-xk|tolx0=x1;数值分析实验指导g1=fun1(x0);g2=fun2(x0);k=k+1;x1=x0-g1/g2;endk;x=x1;da=abs(x1-x0)/2;g=fun1(x);endfunctiong1=fun1(x)g1=xA3-3*x-5;endfunctiong2=fun2(x)g2=3*xA2-3;endfunctiong1=fun1(x)g1=xA3-3*x-5;endfunctionx=Aitken(A);n=length(A);x=zeros(n,1);t=0;x(1)=A(1);fori=1:n-2x(i+1)=

6、A(i)-(A(i+1)-A(i)A2)/(A(i)-2*A(i+1)+A(i+2);endfunctionx=Steffsen(A,B)n=length(B);x=zeros(n,1);x(1)=B(1);fori=2:nx(i)=A(i)-(B(i-1)-A(i)A2)/(B(i)-2*B(i-1)+A(i);end%构造迭代算法x=(3*x+5)/(xA2)数值分析实验指导functionx=diedai1(x0,tol,N)%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(3*x(i-1

7、)/(x(i-1)A2);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%构造迭代算法x=(xA3-5)/3functionx=diedai2(x0,tol,N)%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(x(i-1)A3-5)/3;endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%构造迭代算法x=(3*x+5)A(1/3)functionx=diedai3(x0,tol,N)%x0是初值,tol

8、为迭代精度,N是迭代最大次数数值分析实验指导x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(3*x(i-1)+5)A(1/2);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%构造迭代算法x=5/(xA2-3)functionx=diedai4(x0,tol,N)%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=5/(x(i-1)A2-3);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs

9、(t)=tolbreak;endend%构造迭代算法x=sqrt(3+5/x)functionx=diedai5(x0,tol,N)%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数第1010页数值分析实验指导x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=sqrt(3+5/x(i-1);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%构造迭代算法x=x-(xA3-3*x-5)/(3*(xA2-1)functionx=diedai6(x0,tol,N)%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数x=zero