相似三角形证明技巧-专题

1、实用文档相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面,全等形是相似比为形那么是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比拟、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为根底.二、相似三角形1 1三角形相似的条件:、两个三角形相似的六种图形:找一个直角一斜边、直角边对应成比例,两个直角三角形相似e相似形的传递性假设sZ2,23,那么1s/3五、“三点定形法,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、:如图,AAB阱,CEAB,BFAC.例2、如图,平分线分别交说明理由.分析方法：1先将积式2标准文案

2、1的特殊相似形,相似条件条件DEDEBCBC条件条件条件条件条件条件ABDEABDERDRD母子型图母子型图c条件条件/ /NDND条件条件ADAD是是RtABCRtABC斜边上的高斜边上的高只要能在复杂图形中识别出上述根本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出根本图形,从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1先找两对内角对应相等对平行线型找平行线,由于这个条件最简单;2再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例；3假设无对应角相等,那么只考虑三组对应边是否成比例；a一角等一r找另一角两角对应相等,两三角形相似L找夹边对应成比例两边对应成比例

3、且夹角相等,两三角形相似r找夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似b己知两边对应成比找第三边也对应成比例4 三边对应成比例,两三角形相似c己知一个直d有等腰关找另一角I找两边对应成比例找顶角对应相等一找底角对应相等一找底和腰对应成比例始两角对应相等,两三角形相似判定定理1或判定定理4f 判定定理1一判定定理1判定定理3求证：AEAFACBACD是RtAABC的斜边AB上的高,/BAC的BC、CD于点E、F,ACAE=AFAB吗？“横定还是“竖定？实用文档例1、：如图,ABC中,/ACB=9“AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F.求证：CD=DE-DFO分析方法：1先将积式六、过

4、渡法或叫代换法有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活地运用过渡,其主要类型有三种,下面分情况说明.1 1、等量过渡法等线段代换法遇到三点定形法无法解决欲证的问题时,即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上,不能组成三角形,或四条线段虽然组成两个三角形,但这两个三角形并不相似,那就需要根据条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段,如果没有,可考虑添加简单的辅助线.然后再应用三点定形法确定相似三角形.只要代换得当,问题往往可以得到解决.当然,还要注意最后将代换的线段再代换回来.例1:如图3,AABC中,AD平分/BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E

5、,求证：DE2=BECE.分析：2 2、等比过渡法等比代换法当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换时,可以考虑用等比代换法,即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是通过对条件或图形的深入分析,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形.例2:如图4,在AABC中,/BAC=90AB的延长线于点F.求证:ABDFACAF标准文案,ADBC,E是AC的中点,ED交实用文档3 3、等积过渡法等积代换法思考问题的根本途径是：用三点定形法确定两个三角形,然后通过三角形相似推出线段成比例；假设三点定形法不能确定两个相似三角形,那么考虑用等量线段代换,或用等比

6、代换,然后再用三点定形法确定相似三角形,假设以上三种方法行不通时,那么考虑用等积代换法.例3:如图5,在那BC中,/ACB=90,CD是斜边AB上的高,G是DC延长线上一点,过B作BELAG,垂足为E,交CD于点F.求证：CD2=DFDG.小结：证实等积式思路口诀：“遇等积,化比例：横找竖找定相似;不相似,不用急、：等线等比来代替.同类练习：2 .如图,ABC中,点DE在边BC上,且AD比等边三角形,/BAC=120求证：1ADEBCEA;DE2=BD-CE;3AB-AC=ADBC.3 .如图,平行四边形ABCD中,E为BA延长线上一点,/D=/ECA.求证：AD-EC=AGEB.此题为陷阱题

7、,应注意条件中唯一的角相等,考虑平行四边形对边相等,用等线替代思想解决标准文案1.如图,点D、E分别在边AB、AC上,且/ADEMC求证：(1)AADEACB;(2)AD-AB=AE-AC.1题图2题图实用文档4 .如图,AD为ABC中/BAC的平分线,EF是AD的垂直平分线.求证：FD2=FC-FB.此题四点共线,应积极寻找条件,等线替代,转化为证三角形相似.5 .如图,E是平行四边形的边DA延长线上一点,EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FG-EF.此题再次出现四点共线,等线替代无法进行,可以考虑等比替代.6 .如图,E是正方形ABCCfeBC延长线上一点,连接AE交CD于F,

8、过F作FWBE交DE于M.求证：FM=CF.注：等线替代和等比替代的思想不局限于证实等积式,也可应用于线段相等的证实.此题用等比替代可以解决.标准文案实用文档7 .如图,ABC中,AB=AC点D为BC边中点,CE/AB,BE分别交ARAC于点F、G连接FC.求证：(1)BF=CF.(2)BF2=FG-FE.8 .如图,/ABC=90,AD=DB,DEJ_AB,求证：DC2=DE-DF.J9 .如图,ABC的直角梯形,AB/CD,ABLBC,ACBDAD=BD过E作EF/AB交AD于F.是说明：(1)AF=BE;(2)AF2=AEEC.10 .MBC中,/BAC=90,ADBC,E为AC中点.求

9、证：AB:AC=DF:AE标准文案实用文档11 .,CE是R3ABC斜边AB上的高,在EC延长线上任取一点P,连接AP,作BGLAP,垂足为G,交CE于点D.试证：CE2=ED-EP.例1 1如图5在那BC中,AD、BE分别是BC、AC边上的高,DFLAB于F,交AC的延长线于H,交BE于G,求证：1FG/FA=FB/FH1 1说明： 证实线段成比例或等积式,通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法 在比例式中,或横着找三点,或竖着找三点 ,假设不能找到相似三角形,应考虑将比例式变形,找等积式代换,或直接找等比代换标准文案注：此题要用到等积替代,将C巳用射影定理替代,再化成比例式.七、证

10、比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证实：常用土点定形法或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比三角形来证实.可用口诀：遇等积,改等比,横看竖看找关系；平行线,转比例,等线等比来代替；、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.假设比例式转移必要时需添辅助线,使其分别构成两个相似三点定形用相似,三点共线取平截；两端各自找联系,可用射影和园哥.实用文档例2如图6,CABCD中,E是BC上的一点,AE交BD于点F,BE:EC=3:1,2 2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等,再由平截比定理得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线

11、段的比；由面积比等于相似比的平方,求出三角形的面积.例3 3如图7在那BC中,AD是BC边上的中线,AB的值；3 3说明：求比例式的值,可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线,找等比过渡.当条件中的比例关系不够用时,还应添作平行线,再找中间比过渡.例4 4如图8在矩形ABCD中,E是CD的中点,BEXACXAC于F,过F作FG/AB交AE于G.求证：AG2=AFFC4 4说明：证实线段的等积式,可先转化为比例式,再用等线段替换法,然后利用证实的两个三角形相似.、标准文案SAFBE=18,求：(1)BF:FD(2)SAFDAM是AD的中点,CM的延长线交AB于N.求：AN:上点定形法

12、确定要实用文档例5 5如图在AABC中,D是BC边的中点,且AD=AC,DEBC,交AB于点E,EC交AD于点F.(1)求证：ABCSFCD;(2)假设SCD=5,BC=10,求DE的长.5 5说明： 要证实两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的根本性质得到线段的长.例6如图10过4ABC的顶点C任作一直线与边FC交AB于点M.(1)假设 SZAEF：S四边形MDEF=2:(2)求证：AEXFB=2AFXED6 6说明：由平行线推出两个三角形相似,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的根本性质得到两线段的比.注

13、意平截比定理的应用.例7 7己知如图11在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,Q在线段BC上,当BQ为何值时,那DP与QCP相似？7 7说明：两个三角形相似,必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.此题是开放性题型,有多个位置,应注意计算,严防漏解.例8 8己知如图12在梯形ABCD中,AD/BC,/A=900,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P的位置,使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM/3,标准文案R实用文档8 8说明：两个三角形相似,必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在

14、的位置.此题有多个位置,应注意计算,严防漏解.例11.如图,ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CF/BA,BF交AD于P点,交AC于E点.求证：BP2=PEPF.11分析：由于BP、PE、PF三条线段共线,找不到两个三角形,所以必须考虑等线段代换等其他方法,因为AB=AC,D是BC中点,由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线,如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC,只需证实PECAPCF,问题就能解决了.例12.如图,：在4F.求证：-L.12分析：比例式左边AB,AC在4ABC中,右边DF、AF在ADF中,这两个三角形不相似,因此本题需经过中间比进行代换.通过证实

15、两套三角形分别相似证得结论.八、确定证实的切入点.几何证实题的证实方法主要有三个方面.第一,从“入手,通过推理论证,标准文案ABC中,/BAC=900,ADBC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于实用文档得出“求证；第二,从“求证入手,通过分析,不断寻求“证据的支撑,一直追溯回到“；第三,从“及“求证两方面入手,通过分析找到中间“桥梁,使之成为清楚的思维过程.九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证实三角形相似或进行相关的计算找到等量关系.主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1.如图,MBC的AB

16、边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于例2.如图,4ABC中,AB3).动点乂,N同时从 B B 点出发,分别沿BTA,BTC运动,速度是 1 1 厘米/秒.过 M M 作直线垂直于 ABAB, ,分别交AN,CD于P,Q,当点N到达终点C时,点 M M 也随之停止运动.设运动时间为 t t 秒.(1)假设a=4厘米,t=1秒,那么PM=厘米；(2)假设a=5厘米,求时间t,使APNBAPAD,并求出它们的相似比;PMBN与梯形 PQDAPQDA 的面积相等,求 t t(用表示)实用文档(3)假设在运动过程中,存在某时刻使梯形3.如图,BC匀速运动,其中点AB

17、C是边长为6cm的等边三角形,动点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为(1)当t=2时,判断(2)设BPQ的面积为t(s),解答以下问题：BPQ的形状,并说明理由；S(cm2),求S与t的函数关系式;P、标准文案实用文档4.2022湖北黄石,24,9分如图10所示：等边ABC中,线段AD为其内角角平分线,过的直线BCi,AC于Ci交AB的延长线于Bi.ACCD请你继续探究：假设ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问,=C定成立吗?ABDB5.20i2四川巴中,3i,i2分如图i

18、2,在平面直角坐标系中,点A、C分别在x轴、y轴上,四边形ABCO为矩形,AB=i6,点D与点A关于y轴对称,AB:BC=4:3,点E、F分别是线段AD、AC上的动点点E不与点A、D重合,且/CEF=/ACB.i求AC的长和点D的坐标；2说明4AEF与4DCE相似；请你探究:ACCDAB-DBACiABCiDDBi是否都成立?并证实你的判断.标准文案图图126.(2022江苏宿迁,28,12分)如图,在RtAABC中,/B=90为半径的弧交CA于点D;以点A为圆心,AD为半径的弧交(1)求AE的长度；(2)分别以点A、E为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点设EF交弧DE所在的圆于点G,连接AG

19、,试猜测/EAG的大小,并说明理由.实用文档,AB=1,BC=,以点C为圆心,CB2 2AB于点E.F(F与C在AB两侧),连接AF、EF,标准文案实用文档7.2022广东汕头,21,9分如图1,4ABC与EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,/BAC=/DEF=90,固定ABC,将EFD绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止不考虑旋转开始和结束日重合的情况,设DE、DF或它们的延长线分别交BC或它的延长线于G、H点,如图2.1问：始终与AGC相似的三角形有及;2设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式只要求根据2的情况说明理由；标准文案实用文档8.(2022

20、湖南怀化,21,10分)如图8,ABC,是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矢I形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.(2)求这个矩形EFGH的周长.9. (2022湖北武汉市,24,10分)(此题总分值10分)(1)如图1,在4ABC中,点D,E,Q分别在AB,AC,BC上,且DE/BC,AQ交DE于点P.求证:DPPE=.BQQC(2)如图,在4ABC中,/BAC=90,正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.如图2,

21、假设AB=AC=1,直接写出MN的长;标准文案(1)求证:AMHGAD-BC实用文档10.如图,在ABC中,D是BC边上一点,E是AC边上一点.且满足AD=AB,ZADE=ZC.(1)求证：/AED=/ADC,/DEC=/B;(2)求证：AB2=AE?AC.11. (2022(2022江苏南京)学习?图形的相似?后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等类似地,你可以等到：“满足,或,两个直角三角形相似.(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全

22、等,类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似.请结合以下所给图形,写出,并完成说理过程.：如图,.试说明鼻ABCsRtABC.标准文案实用文档12. 2022江苏苏州此题总分值8分如图,在ABC中,/0=90,动点异于A、B两点,过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为M、N.设AP=x.在4ABC中,AB=:2当x=时,矢I形PMCN的周长是14;3是否存在x的值,使得PAM的面积、 PBN的面积与矩形判断,并加以说明.13.2022安徽省中中考如图,ABCAABG,相似比为kk1,且4ABC的三边长分别为a、b、cabc,ABG的三边长分别为a1、灯、G.假设c=a1,求证：a=kc；假设

23、c=a1,试给出符合条件的一对ABC和ABG,使得a、b、c和a1、b、G进都是正整数,并加以说明；标准文案AC=8,BC=6.P是AB边上的一个PMCN的面积同时相等？请说出你的实用文档假设b=a,c=n,是否存在ABC和ABG使得k=2?请说明理由.14. (2022武汉)如图1,在RtABC中,/BAC=90,ADBC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OEBO交BC边于点E.(1)求证：ABFs/XCOE;ACOFACOF(2)当O为AC边中点,0c=2时,如图2,求0匚的值;ABOEABOE(3)(3)当O为AC边中点,公 C=nC=n 时,请直接写出 OFOF 的值.A

24、BOEABOE15. (2022年上海市)/ABC=90,AB=2,BC=3AD/BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,PQADPQAD且满足=(如图8所不).PCABPCAB(1)当AD=2且点 Q Q 与点 B B 重合时(如图9所示),求线段PC的长;3 3(2)(2)在图 8 8 中,联结 APAP.当 AD=AD=, ,且点 Q Q 在线段 ABAB 上时,设点BQ Q 之间的距离为 X,X,2 2S一空区=丫,其中SM表不APQ的面积,SAPBC写出自变量的取值范围;SAPBC表示PBC的面积,求 y y 关于x的函数解析式,并图2标准文案实用文档M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,