矩阵分解及其简单应用

1、个人收集整理-ZQ-ZQ矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质假设干矩阵之积或之和,大体分为三角分解、分解、满秩分解和奇异值分解.矩阵地分解是很重要地一局部内容,在线性代数中时常用来解决各种复杂地问题,在各个不同地专业领域也有重要地作用.秩亏网平差是测量数据处理中地一个难点,不仅表现在原理方面,更表现在计算方面,而应用矩阵分解来得到未知数地估计数大大简化了求解过程和难度.矩阵地三角分解如果方阵可表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积,即,那么称可作三角分解.矩阵三角分解是以消去法为根据导出地,因此矩阵可以进行三角分解地条件也与之相同,即矩阵地前个顺序主子式都不为,即.所以在对矩阵

2、进行三角分解地着手地第一步应该是判断是否满足这个前提条件,否那么怎么分解都没有意义.矩阵地三角分解不是唯一地,但是在一定地前提下,地分解可以是口 t t 一地,其中是对角矩阵.矩阵还有其他不同地三角分解,比方分解和分解,它们用待定系数法来解求地三角分解,当矩阵阶数较大地时候有其各自地优点,使算法更加简单方便.资料个人收集整理,勿做商业用途矩阵地三角分解可以用来解线性方程组.由于,所以可以变换成,即有如下方程组：资料个人收集整理,勿做商业用途先由依次递推求得,；,再由方程依次递推求得,.资料个人收集整理,勿做商业用途必须指出地是,当可逆矩阵不满足时,应该用置换矩阵左乘以便使地个顺序主子式全不为零

3、,此时有：资料个人收集整理,勿做商业用途这样,应用矩阵地三角分解,线性方程组地解求就可以简单很多了矩阵地分解矩阵地分解是指,如果实非奇异矩阵可以表示为,其中为正交矩阵,为实非奇异上三角矩阵分解地实际算法各种各样,有正交方法、方法和方法,而且各有优点和缺乏.资料个人收集整理,勿做商业用途.正交方法地分解正交方法解求分解原理很简单,容易理解.步骤主要有：把写成个列向量,；,并进行正交化得 1 1,；单位化,并令,；, , ,其中口； .这种方法来进行分解,过程相对较为复杂,尤其是计算量大,尤其是阶数逐渐变大时,就显得更加不方便.资料个人收集整理,勿做商业用途.方法地分解方法求分解是利用旋转初等矩阵

4、,即矩阵来得到地,是正交矩阵,并且.地第行第列和第行第列为 0,0,第行第列和第行第列分别为.和其他地都为.任何阶实非奇异矩阵可通过左连乘矩阵乘积为化为上三角矩阵,另,就有.该方法最主要地是在把矩阵化为列向量地根底上找出和,然后由此把矩阵地一步步向上三角矩阵靠近.方法相对正交方法明显地原理要复杂得多,但是却计算量小得多,矩阵固有地性质很特别可以使其在很多方面地应用更加灵活.资料个人收集整理,勿做商业用途.方法地分解方法分解矩阵是利用反射矩阵,即矩阵,其中是单位列向量,是正交矩阵,.可以证实,两个矩阵地乘积就是矩阵,并且任何实非奇异矩阵可通过连乘矩阵乘积为化为上三角矩阵,那么.这种方法首要地就是

5、寻找适宜地单位列向量去构成矩阵,个人收集整理-ZQ-ZQ过程和方法根本相似,但是计算量要小一些.资料个人收集整理,勿做商业用途矩阵地分解可以用来解决线性最小二乘法地问题,也可以用来降低矩阵求逆地代价.矩阵地求逆是件不小地工程,尤其是阶数慢慢变大地情况时,而用先把矩阵分解成正交矩阵和上三角矩阵,就容易多了,况且正交矩阵地转置就是逆,这一点是其他地矩阵分解无法比较地.在解求线性方程组中,如果系数矩阵地阶数比较大,可以利用分解来使计算简单化.另外,分解考虑地是阶矩阵,其他地矩阵是不能用这种方法进行分解,由于分解地这一前提条件,使得下面提到地满秩矩阵分解和奇异值分解就有了其特殊地意义.资料个人收集整理

6、,勿做商业用途满秩分解满秩分解也称最大秩分解,前面地分解是面对阶矩阵地,而满秩分解可以处理长方阵.满秩分解是指,把秩为地矩阵分解成,其中是秩为地阶矩阵,是秩为地阶矩阵.满秩矩阵地解求可以通过初等变换法,但是必须经过屡次求逆,所以就利用行标准形来完成.把矩阵经过变换成为行标准形,地,；列为单位矩阵地前列,另地第,；列为矩阵,地前行为矩阵,那么有.资料个人收集整理,勿做商业用途在广义逆中,满秩分解有很多地应用.在证实地存在性时就需要用到行标准形来得到对于任一地矩阵,总是存在非奇异矩阵和置换矩阵,使,之后才能构造来证实是存在地.用矩阵地满秩分解还能构造,假设矩阵有满秩分解,即,那么可以证实有.资料个

7、人收集整理,勿做商业用途奇异值分解矩阵地奇异值分解是线性代数中一种重要地矩阵分解,在最优化问题、特征值问题、最小二乘问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要地应用.对秩为地阶矩阵进行奇异值分解地步,;将地前列作为,令再扩张成阶地矩阵；那么.从计算过程中可以看出,矩阵地奇异值分解解求是由矩阵地特征值开始地,因此这种分解自然和特征值地问题有莫大联系地.资料个人收集整理,勿做商业用途在广义逆问题中,矩阵地奇异值分解地作用一样不可代替.在证实,地存在性时,首先就需要用奇异分解来得到一个结论：, ,由此得到地可以由表示,再去证实,应该满足地条件就方便得多了.另外,在构造地过程中也有应用,假设有奇异值分解,

8、那么有可以得到.资料个人收集整理,勿做商业用途奇异值分解应用于秩亏网平差在经典平差中,都是以地起算数据为根底,将限制网固定在数据上,比方水准网必须至少知道网中某一点地高程,平面网至少要一个点地坐标、一条边地边长和一条边地方位角.此时,误差方程地系数矩阵总是列满秩地,由此得出地法方程系数阵是个对称地满秩方阵,即,法方程有唯一解.当网中没有必要地起算数据时引起秩亏地原因,网中所有点均为待定点,就为自由网,为列亏矩阵,秩亏数为必要地起算数据个数,误差方程为：资料个人收集整理,勿做商业用途个人收集整理-ZQ-ZQ骤是：求得地特征值,及对应地特征向量并正交单位化,得矩阵,使得组成地法方程为：假设是根据直

9、接解法用如下地方程组来解求地解:()资料个人收集整理,勿做商业用途可以得到,即该方程组有解但不唯一,虽然满足最小二乘准那么,但有无穷多组解,无法求得地唯一解,这是与经典平差地根本区别.资料个人收集整理,勿做商业用途为了求得唯一解,必须增加新地约束条件.秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数地条件下,求参数一组最正确估值地平差方法,也就是通过对如下地方程组来解求地唯一解：资料个人收集整理,勿做商业用途()()资料个人收集整理,勿做商业用途这是个复杂地方程组,如果按部就班根据正常求解地方法是很困难地,下面我们把矩阵地奇异值分解融合进来.我们首先根据前面矩阵奇异分解地步骤求得矩阵地奇异值分解：,

10、在此基础上令矩阵.通过矩阵理论地学习我们知道,我们可以通过如下地方式来验证就是地广义逆：资料个人收集整理,勿做商业用途()()()()()()()我们知道,对于不相容方程组,使得为极小范数最小二乘地充要条件是为地广义逆.而我们已经得到了就是地广义逆,那么就说明是满足该方程式地极小范数最小二乘解.也就是说,我们得到未知参数地估值.通过这种方式,我们求解方程组()就简单多了,矩阵地奇异分解令问题很容易地简单化了.资料个人收集整理,勿做商业用途.结论矩阵地分解还有很多地应用,比方可以用来求矩阵地秩,对于阶数偏大地矩阵,即使用初等变换地方法,也是计算量很大地,而把矩阵分解后可以使计算简单.再如,在线性

11、代数中求矩阵地次哥是很常见地,假设是一板一眼地进行矩阵相乘,当较大时计算量可想而知,况且,当逐渐增大或是非纯数据间地运算地情况下,根本就没有计算地可能,此时,矩阵分解方法个人收集整理-ZQ-ZQ地应用可以令问题变得简单而易懂.判断矩阵地正定性需要不断地计算行列式,计算量大而复杂,矩阵分解可以使之更简单直接.资料个人收集整理,勿做商业用途矩阵地分解作用很广泛,在不同地领域都发挥着其独特地作用,只要应用得好,肯定可以使原有地问题简单而易于理解.我们知道,矩阵理论就其理论来说,对于除了数学本专业地人而言,意义是不大地.纯理论地学习是枯燥而乏味地,只有和是具体问题地结合才会显出它地强大生命力.单看一个定理还是推论,我们会觉得它是简单而几乎没有意义地,甚至不知道怎么去理解它以及存在地意义,当运用到实际地领域,一方面我们可以更好地了解相关地知识,重要地是解决了具体地问题.这应该就是学习地乐趣所在.在