高一数学三角函数章节复习2(教师版)

1、学科教师辅导讲义年 级：高一辅导科目： 数学课时数：课 题三角函数章节复习（二）教学目的1、能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；2、借助图像理解正弦函数、余弦函数在0, 2兀,正切函数在（一兀/2 ,兀/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3、结合具体头例，了解y=Asin （wx+4）的头际意义；能借助计算器或计算机回出y=Asin（wx+j）的图像，观察参数 A, w,。对函数图像变化的影响。教学内容【知识梳理】本章知识结构图：正弦函数性质和图像三角函数的定义 余弦函数性质和图像正切函数性质和图像反正弦函数的图像和性质

2、三角函数 反三角函数定义 反余弦函数的图像和性质反正切函数的图像和性质最简三角方程【典型例题分析】专题一重要数学思想方法1、化归的思想方法化归思想，就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结升-类已经解决或比较容易 解决的问题，最终求得原问题的解答，其基本的原则是：化难为宜，化生为熟，化繁为简，化未知为已知。例1、求函数y sinx 0 x的最大值2 cosx【分析】分析一：把函数看作方程，再化成形如asin xb的形式，利用sin x1解题；2 tan x1 tan2 -分析二：利用公式 sinx 2一,cosx 2,把问题转化为关于 tan”的方程来解。一 2 x2

3、x21 tan 1 tan 一2 2【解法一】将原函数变形得y 2 cosx sinx,进一步有Vy1sin x2y （其中 由tany决定）。sin xr2y,应用 sin xy2 11 ,解得 质y衣，又0 x ，则0 y也,故欲求函333数的最大值为二。3【解法二】设tan x t,则原函数变成y22t2,得yt2 2t 3y 0 y 0 ,利用判别式V 4 12y2 0,即3 t2_23y 1 ,又y 0,解得0y -,故y的最大值为- 33此时t J3 ,即tan y23,x 3【点拨】上述所给出的两种解法，均体现了一种转化与化归的数学思想方法，实际上，也给出了对求形如 丫 asin

4、x b值域的两种通法，另外，若以后学过解析几何之后，利用斜率的概念，还可以给出本题的另外一 ccosx d 种数形结合的解题方法。 2、数形结合思想 数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想，根据解决问题的需要，可以把数量 关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形互相取长补短”。例2、定义在R上的函数f x满足f x f x 2 ,当x 3,5时，f x 2 |x 4 ,则（）A、 f sin f cosB、 f sinl f cosl62C、 f cos一36 2 f sinD、f cos2 f sin 23【

5、分析】由f x f x 2知f x是以T 2为周期的函数，又 Q x 3,5时，f x 2x4,可知，当 x 3,4 , f x x 2；当x 4,5时，f x x 6 ,如第一个图所示，知f x在1,0上是增函数，在0,1 上是减函数，由第二个图可知 0 cos2 sin 2【答案】D3、换元思想方法在求函数的定义域、周期、单调区间时，都可能用到了整体换元的思想方法。例3、求函数y 4 3sin x 4 3cosx 16的最值。【分析】将函数式展开发现出现sin x cosx,sin xcosx ,从而可以运用代数换元，转化为二次函数问题。令 sin x cosx t,即 t【解】y 4 3

6、sin x 4 3cosx 16 9sin xcosx 12 sinx cosxsin x cosx 、2 sin x ，2 t 、24而 sin xcosxt2 1y 9gt1 12t229,425t 23229c425ymax：1212 .2232ymin29 4 4252 3 32252【点拨】若所给函数形如y f sinx cosx,sin xcosx形式，通常用换元法去求解有关问题，要注意新元的取值范围。4、分类讨论的思想方法当涉及到字母取值时，往往引起分类讨论，要弄明白为什么分类讨论，怎样分类讨论。例4、已知函数f x 2asin 2x 一 3b的定义域为02,函数的最大值为1,最

7、小值为 5 ,求a和b的值。2【斛】Q 0 x 2x 2333sin 2x - 35a 12 6 3b 23 1230,则2ab 53a b 1a 12 6 3b 19 12 3函数的最大值与最小值在何时取得,取决于a的正负，当a 0时，最大值为2a b ,最小值为 J3a b,当a 0时，最大值为 麻 b ,最小值为2a b专题二三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中较为重要的一个知识点，它的求法也比较多，但是有些方法在应用的时候必 须引起注意，以防出错。例5、求函数y sinx 3的最值。cosx 4【分析】把y看作常数，再化成 y Asin x的形式，利用有界性可得。【解】由已

8、知得sin x ycosx 4y 3所以 1y2 sin x4y 3 ,即 sin x4y 3由 sin x即 15y224y 8 0解得 12 2 .6 y 12 2,6151512 2 ；612 2、.6所 y ymax, ymin1515【点拨】形如y asinx b,y a sin x b等函数的最值问题都可以利用此题的方法, ccosx d csin x dy的不等式。根据有界性直接建立起关于例6、试求函数ysin x cosx 2sin xcosx 2的最大值和最小值，又若0,一呢？2【分析】利用换元法，把 f x化为二次函数。【解】令t sin x cosx,则y t2 t 1所

9、以 ymin3, ymax 3 口43,且t,2, . 2若x 0,一 ，则t21,石，当t1时，即当x 0或一时，ymin 32当t 正时，即当x 一时，ymax 3 G4【点拨】在三角函数中，用换元法求最值，应注意换元后新变量的取值范围。2 b2例7、求函数y a2 b2 a b 0,0 x -的最小值。 cos x sin x2【分析】先利用同角三角函数关系变形，再利用均值不等式求解。【解】y a2 1 tan2 x b2 1 cot2 xa2 b2 2aba2 b2a2 tan2 x b2 cot2 x2当且仅当 atanx b cot x ,即tanx b,tanxab 口时，ymi

10、n【点拨】在利用均值不等式求最值时，应注意均值不等式成立的条件，如本题忽略条件，就容易出现如下错误结果,2ay cosxbsin x2absinxcosx sin2x4ab_ _4ab- 4ab (因为 0 sin2x 1)所以，当sin2x1时,ymin4ab ,原因在于以上两处“”中的等号不能同时成立。【课后练习】-、选择题1、已知函数f (x) = sin(x e R),下面结论错误的是A.函数B.函数C.函数D.函数f(x)的最小正周期为2汽f(x)在区间0, 5上是增函数f(x)的图象关于直线x=0对称f (x)是奇函数解析:- f(x) = sin( x-,万)=cosx(xCR)

11、, 函数f(x)是最小正周期为 2n的偶函数，故选 D.答案:2、如果| x|Dw 工,f (x) = cos2x+ sin x的最小值是 41A. 2B.C. 1D.1+亚一 21- 22解析：f (x) = (1 - sin 2x) + sin x1 2 5=一(sin x 2) + 4.故当sin x=一sin xC 一. 22时，2.2,f(x) min=1(舁+（乎）=字.答案：D .4 支3、如果函数y=3cos（2 x+巾）的图象关于点（下 30）中心对称，那么|的最小值为汽A. 6汽B. 4C.3D. 2解析： 依题意得 3cos(+ 3)=0,+ 3 = k兀+ , 3332

12、= kn华（kCZ）,因此|巾|的最小值是66A.答案：A4、函数y= sin 4x + cos2x的最小正周期为汽A. 4C.乳解析：y = sin 4x + cos 2x =(汽B. 2D. 2n1 cos2 x 22) +1 + cos2x1 2cos2 x + cos 22x 1 + cos2 x4.2一1 + cos 2x 1 3 1+ = + 2 4 421+ cos4xTt T=42 .答案：B5、函数f（x）=sinx在区间a, b上是增函数,a+ b且 f (a) = 1, f ( b) = 1,则 cos 2 的值为A. 0C. 1B培D. 1解析:由 f(a) = 1,

13、f(b) = 1,式.一 . .n.一 一 .，.什一人- a+ b方，kCZ, b=2kn+万，kCZ,且 a、b 中 k 取同一个值，故 cos2-=cos2k 汽答案:=1,故选C.C6、已知函数兀-3f （x） = 2sin 3 x 在区间上的取小值为一2,则3的取值范围是A.ooB.92 U6, +oo)93C.D.oooooo,+0)3-2 U： 2，+oo)2 U6 , +8), .,t , j , r -.,於 ., ,、一Tt Tt r / r 丁 ur t f I -rr 1 i-CO TtTt , CO Tt 3 7t解析：题设条件等价于 sin 3 x在区间9，彳上能取

14、取小值1,当30时，只需一一3-w _2或_寸_2_,3注 3 7t 任 注3即co 当3 2或 4 0 - 22 ,即aW2.所以3的取值范围是(一, 2 U -选C.答案：C二、填空题7、定义在解析:R上的函数f (x) = sin x+，3cosx的最大值是汽. f(x) = 2sin( x+) , f(x)最大=2.答案:一，一一-1 8、f(x)是以5为周期的奇函数，f( 3) =4且cos a =2,则f (4cos2 a)=21解析：-14cos2 a = 4(2cos a - 1) = 4(2 X 41) = 2,又丁= 5，f(4cos2 a) = f(2)=f( 2+5)=

15、f(3)=-f(-3) = - 4.答案:9、函数y =一 4cosx_的单调递增区间是1 sin x必 2K“ cosx cos2-sin2 斛析：y=；=1 sin x x x 2 (cos 2-sin 2)x x xcos 5 + sin 2 1 + tan 2cos - - sin x 22=tan(x1 tan - 2Tt2汽十万),kez时，函数为增函数，此时x (2 k Tt 2y 2kn+-2), k C Z.答案：(2kn2k汽+ 2)M已知函数尸asinx + bcosx+c的图象上有一个最低点小1),如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1,然后向左平移一个单位，

16、 可得到y= f (x)的图象，又知f (x) = 3的所有根依次形成公差为 2的等差数列,卜列结论：(1)f(x)的周期为 4； (2)f(x)的周期为 2； (3) a = V2, b=啦，c=3； (4) a=1, b= 1, c=2.其中正确的序解析： 依题意可知22a+ 22b+ c= 1, - a2+ b2 + c=1, a=b, y= asin x+bcosx+c=V2asim x-汽4)+ c，a0, */2a+c=1,且 f(x) = *72asinTtTt3(x+1)71+c=,2asin( fx+力+c,函数f(x)的周期是三=4,因此2(1)是正确的，(2)是错误的.由

17、f(x)=3的所有根依次形成公差为2的等差数列及f(x)的周期是4得c=3.又一寸2a+ c=1,由此解得a=也,b=-也,(3)是正确的.综上所述，其中正确的命题是(3).答案：(3)三、解答题(共50分)11、求函数f (x) =sin 4x+cos4x+sin 2x cos2x2 sin2 x的最小正周期、最大值、最小值及单调区间.解:f(x)=(sin 2x+ cos2x) 2 sin 2x cos2x2 2sin xcosx(1 sin x cos x)(1 + sin x cos x)2(1 sin x - cos x)1112(1 + sin x cosx) =、sin2 x+牙 3 1所以函数的最小正周期为汽，最大值为最小值为-.44兀兀兀兀令 2k 兀 一 2-工2 xw2 k 兀 T25 k C Z)贝f k 兀 一 4W xw k 兀 + -4, k C Z.令 2kn + 22 xW2 kn + 3-2-, k Z,贝U kn +-4x0,w0,0巾万)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的.n . 一一.2 支距离为3，且图象上一个取低点为 2).23(1)求f (x)的解析式；.支 汽 .(2)当xC 石，时，求f(x)的值域.