2012017学年江西新余高二下期末数学试卷理科

1、2016-2017学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）（5分）命题p： ? xC R, x2>0的否定是A.? xCR, x2>0 B. ? xC R, x2< 0 C. ? x R, x2< 0 D.? xC R, x2>02.（5分）已知复数z满足（1+2i3） z=1+2i （i为虚数单位）,则z的共轲复数W等于（）A.+ ；B. -+；C ：1 . DD-3.（5分）抛物线y= - 2x2的焦点坐标是（A.(0, 1) B. (0, - 1)88C. ( , 0)80)4.（5分）已知向量a二（0,

2、2,1), b="L 1，2)，则已与b的夹角是（A.0 B C D.42715.(5分)已知e为自然对数的底数,函数y二xex的单调递增区间是（A.T,+ 8) B. (8, 1+ OO)D. (8,16.(5分)已知点A （3,0), B (一3, 0),| AC| - | BC| =4,则点C轨迹方程是（A.=1 (xv 0)2B -=1C.=1 (x> 0)(xv 0)7.（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+"+an+11n+21-aA.1 B. 1+a C. 1+a+a2D. 1 +a+a2+a'1 -a4（aw1,nC N*）,在验证n=1成立时

3、，左边的项是（）8.（5分）“£a, 3”是不等式2x2-5x- 3> 0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A.(3, +8)B.（一巴一卷）U 3, +8） C.（一巴-y D.(-巴-之U (3, +8)-W-乙9.（5分）若函数f (x)在 R上可导，f (x) =x3+x2f'(1),则f 怔(x) dx=()A.2 B. 4C. - 2 D. - 42210. (5分)双曲线 C:三-25=1 (a>0, b>0)的离心率为a V近,抛物线y2=2px （p>0）的准线与双曲线 C的渐近线交于 A, B点，AOAB （O为坐标

4、原点）的面积为 4,则抛物线的方程为（A. y2=4x B. y2=6x C. y2=8x D. y2=16x11. （5分）如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形,PDL平面 ABCD,且 PD=AD=1, AB=2,点 E 是第1页（共12页）12. (5分)已知函数14. (5分)如图，阴影部分的面积是 数f (x)的导函数)，则下列不等式成立的是 .7T7)满足 f'(x) cosx+f (x) sinx>0 (其中 f'(x)是函P- EC- D的平面角为 工时，AE=()42-g D. 2-如f (x) =x+ (x>0)过点P (1, 0)

5、作曲线y=f (x)的两条切线 PM, PN,切点分别为 XM ,N,设g(t)=| MN | ,若对任意的正整数n,在区间2,n+型内，若存在 m+1个数ai,a?,淅+1,使得不等式 g (a1)+g (a2) +-g (am) < g (am+i),则 m 的最大值为()A. 5 B. 6 C. 7D. 8二、填空题(共 4小题，每小题5分，满分20分)13. (5分)设等差数列an的前n项和为&,则&2-&成等差数列.类比以上结论有：设等比T数列bn的前n项积为Tn,则丁4,成等比数列.：. &f ( -) V f (-)34 &f T)&

6、lt; f (三34f (0) > 2f (三3 f (0) > 2f ()416. (5分)已知函数f(x)=alnx-x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值，f(x)的极小值恒大于0,第2页(共12页)则a的最小值为.三、解答题(共6小题，满分70分)2217. (10分)已知命题P:方程匕J二1表示双曲线，命题q：点(2,a)在圆x2+ (yT)2=8的内部.若3+a a-1pAq为假命题，？q也为假命题，求实数 a的取值范围.18. (12 分)数歹U an满足&=2n-an (nC N ).(I)计算a1, a2, a3, a4,并由此猜想通项公式 an;(

7、n )用数学归纳法证明(I)中的猜想.19. (12 分)设函数 f (x) =x" 3ax+b.(1)若曲线y=f (x)在点(2, f (x)处与直线y=8相切，求a, b的值.(2)在(1)的条件下求函数f (x)的单调区间与极值点.20. (12 分)如图所示，四棱锥 P- ABCD中，AB± AD, AD± DC, PAa底面 ABCD, PA=AD=AB=CD=1, M 为2PB的中点.(1)试在CD上确定一点 N,使得 MN/平面PAD;(2)点N在满足(1)的条件下，求直线 MN与平面PAB所成角的正弦值.21. (12分)已知椭圆的中心在原点，焦

8、点在 x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M (2, 1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为 m (mw0), l交椭圆于A、B两个不同点.(1)求椭圆的标准方程以及 m的取值范围；(2)求证直线 MA, MB与x轴始终围成一个等腰三角形.22. (12 分)已知函数 f (x) = (x-1) 2+a (lnx-x+1)(其中 aC R,且 a 为常数)(I)当a=4时，求函数y=f (x)的单调区间；(n)若对于任意的 xC (1, +8),都有f (x) >0成立，求a的取值范围；(出)若方程f (x) +a+1=0在xC (1,2)上有且只有一个实根，求 a的取值范围.第3

9、页(共12页)2016-2017学年江西省新余市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1.解：由题意命题 p： ? xCR, x2>0的否定是？ xCR, x2<0,故选：B.2,解：:( 1+2i3) z=1+2i,(1-2i) z=1+2i,( 1+2i) (1-2i) z= (1+2i) 2,化为：z=-3+4i .z的共轲复数G=L-JL.故选：D.5553 .解：根据题意，抛物线的方程为 y=-2x2,则其标准方程为x2=-ly,其焦点在y轴负半轴上，则p=,则其焦点坐标为(0,故选：B.484 .解： ab= (0, 2,

10、 1) (- 1 , 1, 2) =0X ( 1) +2X 1+1X ( 2) =0, aj_b,与与b的夹角：上故选：C.25 .解：f (x) =xex? f '(x) =ex (x+1)，令 f' (x) > 0? x> - 1, ，函数f (x)的单调递增区间是-1, +°°).故选：A.6 .解：.| AC| T BC| =4<| AB|可得C的轨迹是以A, B为焦点的双曲线左支，a=2, c=322b2=c2 - a2=5,可得双曲线的方程为-7-邑=14522顶点C的轨迹方程为 弓=1 (x<0),故选：A.457.解：

11、用数学归纳法证明1+a+a2+-+an+1=提(a1, nC N),1 -a在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1 +a+a2.故选：C.+°0),D.8 .解：由2x2-5x-3>0得x>3或xW -即不等式的解集为(-oo, - -y U 3, 若“£a, 3”是不等式2x2-5x-3>0成立的一个充分不必要条件，则a, 3? (-00, - X u 3, +oo)，贝u aw 一工或 a>3,22故实数a的取值范围(-巴 JL u (3, +8),故选：D.29 .解： f (x) =x3+x2f'(1), f'(x) =3x

12、2+2xf'(1), . f'(1) =3+2f'(1), ，f'(1) =-3, f(x)=x3-3x2,J' £f(x)dx= (x4 - x3)|g=48= 4,故选:-uq2210.解：双曲线 C:- "2"=1 (a>0, b>0)的离心率为 V2,a b第4页(共12页)可彳导e=£=J+（也_）2=在，可得a=b,渐近线方程为y=±x,抛物线y2=2px （p>0）的准线方程为 x=-£-,求得AB （-£,史），2222 2 OAB （O为坐标原点）的

13、面积为 4,可得L?£?p=4,解得p=4,2 2即有抛物线的方程为 y2=8x,故选：C.11 .解：过点 D作DFL CE于F,连接PFPDa平面ABCD,，DF是PF在平面 ABCD内的射影TTDF± CE,PF± CE,可彳导/ PFD 为二面角 P - EC- D 的平面角，即/ PFD4PDF中，PD=DF=1,.矩形 ABCD中， EB8 CFD坦=里，得ec£D'BC =2RR BCE中,根据勾股定理，得 BE=J.2 r 产后BC ECDF"匕 3AE=AB- BE=2-无故选：D.12.解：设M、N两点的横坐标分别为

14、 xi、x2,(x) =1 -,X切线 PM 的方程为：y- (Xi+) =(11) (x-xj, xl 叼2又切线 PM 过点 P (1, 0),，有 0- (x1+-L) = (1-) (1-x1),K1 ”即 x12+2txi - t=0 , (1)同理，由切线 PN也过点P (1, 0),得X22+2tX2 - t=0. (2)由(1)、(2),可得x1, x2是方程x2+2tx - t=0的两根，X1+X2=2t, X1X2=t (*) |MN|=J(XX2)2 +(K1+： 戈2米)2=4 ' ; ： . . ,1-：二，把(*)式代入，得|MN|=J昌嬴，第5页(共12页

15、),t>0,因此，函数g （t）的表达式为g （t） =Jnn + 2,9n知g (t)在区间2, n+幽为增函数，ng (2) < g (a,) < g (n+/)(i=1, 2, m+1),n贝U mg (2) wg(a1)+g (a2) +- +g (am) < mg (n+21).n依题意，不等式 mg (2) < g ( n+幽)对一切的正整数 n恒成立,nmV20- 2£+20*2< v20(n+) 2+20(n+) ,即mv丝）2+（门+毁）对一切的正整数 n恒成立.V 6 nnvn+>2 OK=16,区。毋忑曾jR去（16?+

16、16） =J华，n y nVonn V 63m<136 .由于m为正整数，m< 6.又当m=6时，存在ai=a2 am=2, am+i=16,对所有的n满足条件.因此，m的最大值为6.故选：B.、填空题（共 4小题，每小题5分，满分20分）13 .解：由于等差数列的定义是后一项减去前一项而等比数列的定义是后一项除以前一项在运算上升了一级故将差类比成比：T p T in则T* -A,小成等比数列T故答案为一里.丁4214 .解：直线 y=2x与抛物线y=3- x解得交点为（-3, - 6）和（1, 2）抛物线y=3-x2与x轴负半轴交点（- V5, 0）设阴影部分面积为s，则-一 ：

17、1' .-.：UAJAwAw5=Ti ' 一；,：=32 =第6页（共12页）所以阴影部分的面积为包,3故答案为：丝.315.解：构造函数 g （x） =f1",cosx贝U gz (x)=- 2COS X(f' (x) cosx+f (x) sinx),对任意的 xC (- _ZL, .2L)满足 f'(x) cosx+f (x) sinx>0, 22g' (x) >0,即函数 g (x)在 xC (- 2L, JL)单调递增，22则g (一工)v g (一三)，即34,(T)f(F)TV7T合<善,即<2f ( -

18、-) <f故正确,J_V1342/n、 /八、g (-T-) > g (：-),34f(-V)亍CCiy c%)fig) f4)r>r,即&f(三_)>f(匹)，故错误, XV2_3422g (0) v gJT r三）,即吗<cosO吟）冗，C0S-T.f (0) v 2f (工)，故错误,3g (0) v g7T f(Q)了品< f（0）< 五，即 f（0）,故错误,故答案为：.16.解：函数的定义域为（0, +00）,第7页（共12页）则函数的导数f'(x) = - x+b,x若函数f (x) =alnx- Lx2+bx存在极小值，

19、2贝Uf'(x)=且一x+b=0 有解，x即-x2+bx+a=0有两个不等的正根，二产+4n>0则-瓦+冥2=匕>0 ,得 b>27a，(a<0),勺.”二一社>0由f，(x) =0得xdYb2士鲤J业辿分析易得f (x)的极小值点为xi,=2 b+Vbb>2V-a, (a<0),: e (0, V-a),则 f (x) 极小值=f (x)=alnx1 一 - xi2+bxi=alnxi -xj+x/- a=alnxi+-xi2 - a, ：1'''设 g (x) =alnx+J-x2 a, xC (0,2f (x)的极

20、小值恒大于0等价为g (x)恒大于0 ,_. 2. g'(x) =+x=i 泉 <0, XX1 g (x)在(0, V-a)上单调递减，故 g (x) >g (V-a) =alnV-a-a>0,2得 ln,即a< e3,则 a> e3,2故a的最小值为是-e3,故答案为：-e3.三、解答题(共6小题，满分70分)2 v2i7.解：二.方程告彳二1表示双曲线，3+a a-1( 3+a) (a i) >0,解得：a>i 或 av3,即命题P： a>i或av-3;点(2, a)在圆 x2+ (y-i) 2=8 的内部,第8页（共12页）.-4+

21、 (a- 1) 2<8 的内部，解得：- 1<av3,即命题q: - 1< a< 3,由pAq为假命题，？q也为假命题，实数a的取值范围是-1va01.18.(本小题满分8分)解：(I)当 n=1 时，a1=si=2- ai,所以 ai=1.当 n=2 时，332=82=2X 2 - 32 5所以 直。一.2 2由此猜想 .二咚可*)(5分)2(H)证明：当 n=1时，左边ai=l,右边=1,结论成立.人-尹假设n=k (k>1且kC N*)时，结论成立，即那么 n=k+1 时，a(i=Sk+i 3=2 (k+1) ak+i _ 2k+ak=2+ak_ an ,2

22、k-l9 +2+劭2及一12卜+1 7所以 2ak+1=2+ak,所以五.二一二一g J , K 1 zd2区这表明n=k+1时，结论成立.*9n-l由知对一切n C N猜想己一:成立.(8分)n 2n-1219.解：(1) f '(x) =3x - 3a,曲线y=f (x)在点(2, f (2)处与直线y=8相切，.ff7 (2)=0 , f3(4-a)=0flf(2)=8(8-6a+b=8lb=24(2) ; f ' (x) =3x2- 12,由 f ' (x) =0,解得：x=± 2,令 f'(x) >0,解得：x>2 或 x<

23、- 2,令 f'(x) <0,解得：-2<x<2,故f (x)在(-8, - 2)递增，在(-2, 2)递减，在(2, +oo)递增;，此时x=-2是f (x)的极大值点，x=2是f (x)的极小值点.第9页(共12页)20. (1)证明：CNND, MN/平面 PAD. 3过M作ME / AB交PA于E,连接 DE. CN-ND, 3CN= CD= AB=EM.42又 EM / DC/ AB,EM / DN,且 EM=DNDEMN为平行四边形，MN / DE,又DE?平面PAD, MN?平面PAD,MN / 平面 PAD(2)解：MN / DE直线MN与平面PAB所

24、成角等于直线 DE与平面PAB所成角,. PA1底面 ABCD, PAI AD, ABXAD, PAA AB=A, AD，平面 PAB,/AED为直线DE与平面PAB所成角. AE，AD=1,sin / AED= =直线MN与平面PAB所成角的正弦值为2221.解：(1)设椭圆方程为= 1 (a>b>0),且 a=2b,a b椭圆经过点M (2, 1),则冬y:1,解得：a=2*, b=&, J bZ.直线l平行于OM,且在y轴上的截距为 m 又koM=,第10页（共12页）l的方程为：y=x+m ,22 门 ,整理得：x2+2mx+2m2- 4=0, (4 分)X J i +-i 82.直线l与椭圆交于 A、B两个不同点， = (2m) 2- 4 (2m2-4) >0,解得：-2vmv0或0vmv2,，m的取值范围是(-2, 0) U (0, 2);(6分)(2)证明：设直线 MA、MB的斜率分别为k1, k2,要证直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.只需证明ki+k2=0.设 A (xi, yi),B (x2, y2), l 的方程为：yx+m,则 ki=2由1产了k+id22x , y +=1182,整理得：x2+2mx+2m2- 4=