1集合的含义与表示

1、1.1 集合1.1.1集合的含义与表示情景引入Qing jing yin ru是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于 告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家非常激动, 高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1:数学家说的集合是指什么?问题2:网中的“大鱼”能构成集合吗?新知导学X.in zhi dao xue1 .集合的概念总体叫做集合(简称为集).(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的(2)集合相等：只要构成两

2、个集合的 一元素_是一样的,即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集 合相等.知识点拨集合中的元素必须满足如下性质:(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合1,2,3与2,3,1表示同一集合.2 .元素与集合的关系关系概念记法读法如果a是集合A中的兀素，就说a属于集合Aa_£_Aa WT集合A不属于如果a不是集合A中的兀

3、素，就说a不属 于集合Aa?Aa 不属干集合A知识点拨符号“C”和“？”只能用于元素与集合之间， 并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.3.集合的表示法（1）自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法.例如：小于3的实数组成的集合.（2）字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如 A, B, C等，用小写拉丁字母表示元素，如 a, b, c 等.常用数集的表示：名称非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR（3）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.（4）描述法：在花括号内先写上表示这个集

4、合元素的一般符号及 取值（或变化）范围,再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.预习自测E：.Y u xi zi ce1 .下列给出的对象中，能组成集合的是（D ）A.著名的数学家B.很大的数C.较胖的人D.小于3的整数解析“著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断，因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3,有明确的标准，故D能组成一个集合.2,下列关系：0.21 CQ;150?N*;一

5、44CN*;寸4CN.其中正确的个数是（C ）1 . 0B . 1C. 2D. 3解析是正确的，中1f =2削*,中一V4?N*,是正确的，故有正确.3 .集合xCN* |x-2< 3用列举法表示为（B ）A, 0,1,2,3,4B . 1,2,3,4 C. 0,1,2,3,4,5 D. 1,2,3,4,5解析由x- 2<3,得x<5,又xW*,所以x=1,2,3,4,即集合的另一种表示形式是1,2,3,4.4 .下列集合：1,2,2;R = 全体实数;3,5;不等式x5>0的解集为x 5>0.其中，集合表示方法正确的是.解析违背了集合中元素的互异性；中全体实数本

6、身就是集合，不能再加大括号；中用描述法表示的集合，未写出代表元素，应为x|x 5>0.5 . (1)用列举法表示集合xCN|x< 5为0,123,4.(2)方程x2-6x+ 9= 0的解集用列举法可表示为 _3_ .(3)用描述法表示大于 3且不大于8的实数的集合为x|3vxw 8.解析(1)因为 x制，且 xv 5,所以 x=0,1,2,3,4.(2)由 x2-6x+9=0,得 x = 3, x2 = 3.(3)x|3<x< 8, xCR互动探究解疑：:Hu dong tan jiu jie yi命题方向1 ?集合的基本概念 典题1下列各组对象：某个班级中年龄较小的男

7、同学；联合国安理会常任理事国；2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目；班的所有近似值.其中能够组成集合的是一.思路分析结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合.解析中的“年龄较小”、中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以不能组成集合.中的对象都是确定的、互异的，所以可以组成集合.填规律方法1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.2 .判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个

8、，即集合中的元素满足互异性.跟踪练习1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2016年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x29=0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点.解析(1) “我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此， “我国的小城市”不能构成一个集合.（2）与（1）类似，也不能构成集合.（3）任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0WxW20”与“x>20或x<0"两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20 的非负数”能构成集合.（4）类似于（3）

9、,也能构成集合.（5） “一些点”无明确的标准，对于某个点是否在些点”中无法确定，因此 “直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.命题方向2 ?元素和集合的关系典题2已知N是自然数集，给出下列命题：N中最小的元素是 1;若aC N,则a?N;若aC N, bCN,则a+b的最小值是2.其中所有正确命题的个数是 （A ）A. 0B . 1C. 2D. 3思路分析解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系.解析自然数集中最小的元素是 0,故不正确；对于，若 aN ,即a是自然数，当a=0时，a仍为自然数，所以也不正确.故选 A.规律方法1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、

10、实数集，在数学上分别用N + , N, Z,Q, R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握.2.判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.跟踪练习21 -（1）给出下列几个关系式：*£ R; 0.3CQ； 0c N; 0c 0 ； 0c N ； 2c N+; 一 Z; 5C Z.其中正确的关系式的个数是（B ）A. 4B . 5C. 6D. 7解析运用常用数集的概念可作出判断：42玳，0.3CQ,0制,0可0 , 5 8正确.其余均错误，故选B.（2）已知集合M=大于一2且小于1的实数，则下列关系

11、式正确的是 （D ）A.加 CMB.0?MC.1CMD -M解析 乖>1,故m?M, A选项错；2<0<1,故0CM, B选项错；显然1不小于本身，故 C错；2< 2<1 ,故D正确.命题方向3 ?用列举法表示集合典题3用列举法表示下列集合：（1）36与60的公约数组成的集合；2（2）万程（x 4） （x 2）= 0的根组成的集合;(3)一次函数y=x1与y= 2x+4的图象的交点组成的集合. 33y=x 1思路分析(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立424一求方程组的解一ly=-3x+3写出交点坐标一用集合表示.解析(1)36与60的公约

12、数有1,2,3,4,6,12,所求集合为1,2,3,4,6,12;2(2)万程(x 4) (x 2)=0的根是4,2,所求集合为2,4;x-y=1,(3)方程组12x+ 3y= 42 ly=5. 72所求集合为(? 3)-规律方法1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集.2.列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然.因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键.跟踪练习3用列举法表示下列集合：不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合；直线y= 2x+ 1与y轴的交点所组成的集合.解析(1)因为不大于10

13、是指小于或等于10,非负是大于或等于 0的意思.所以不大于 10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10.(2)方程x2=x的解是x= 0或x= 1,所以方程的解组成的集合为0,1.(3)将x=0代入y = 2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是 (0,1).命题方向4 ?用描述法表示集合典题4用描述法表示下列集合:满足不等式3x+2>2x+ 1的实数x组成的集合；(2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合；(3)所有正奇数组成的集合.思路分析找准集合的代表元素 一 |说明元素满足的条件一 |用描述法表示相应集合解析(1)x|3x+ 2>2x+ 1或x|

14、x>- 1;(2)( x, y)|x>0, y>0,且 x, y m;(3)x|x= 2k - 1, k4+.规律方法1.用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示.2.用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为xCR.跟踪练习4把(1), (2), (3)分别更换条件如下，试分别求相应问题.满足不等式3x+2>2x+ 1的有理数组成的集合；(2)在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合；(3)所有偶数组成的集合.解析(1) x 9 |3x+ 2>2x+ 1或x g |x>-1.(

15、2)( x, y)|xy=0, x, yCR.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi(3)x|x=2n, n8.忽略集合中元素的互异性(本栏目的跟踪练习仅供老师参考备用)典题5设集合A=x2, x, xy、B=1 , x, y,若集合A、B所含元素相同，求实数 x、y的值.错解由人=3,得F=1xy=y、x2= y或， ,xy= 1x= 1, 解得:lye R或x= - 1,y= 0x= 1, 或y= 1.错因分析当x=1, y印时，A=B=1,1, y,不满足集合元素的互异性，当 x=1, y=1时，A=B =1,1,1也不满足元素的互异性，当x=-1, y=0, A=B

16、=1, 1,0,满足题意.x= 1x= - 1 x= 1.一 或f 或flyCRly= 0ly=1,.r .x= 1,x= 1,经检验当取i 与。时不满足集合中元素的互异性，lyC Ry= 1,所以 x= 1, y= 0.点评在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不 是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根.在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加 以重视.跟踪练习若将上式中的集合 A改为a, 3, 1, B改为a； a+b,0,其他条件不改变，怎样求a2 °15+b2 015的值.解析方法一：a, b, 1 = a2, a+b,

17、0, a又.aw0,lw0,2=0,，b=0, a. (a,0,1 = a2, a,0, .a2=1,即2=±1,又当a=1时，A= 1,0,1不满足集合中元素的互异性，舍去，. a=- 1,即集合A= 1,0,1,此时 a= - 1, b= 0,故 a2 015+b2 015= (- 1)2015+ 02015=- 1 + 0 = - 1.方法二：. a, b, 1=a2, a+b,0, a'a + a+ 1 = a2+ (a+ b 广 0'j b解得 a= =1, b=0,、a a 1 = a2(a+ b)0由集合中元素的互异性知a w 1,. a= - 1, b

18、= 0. a2 015+b2 015=(- 1)2 015 + 02 015=- 1+ 0=- 1.数学抽象能力X学科核心素养ue ke he xin su yang主要包括：从数量与数量关系、数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用 数学符号或者数学术语予以表征.数学抽象是数学的基本思想， 是形成理性思维的重要基础， 反映了数学的本质特征， 贯穿在数学的产生、 发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.在数学抽象核心素养的形成过程中

19、，积累从具体到抽象的活动经验.学生能更好地理解数学概念、 命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯， 能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念，领悟集合的本质属性是学习的首要任务，在此基础上，明 确集合元素的属性及集合的表示方法.典题6选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合解析描述法：x|x=2n1, n 制*.列举法1,3,5,7,，2n-1,.规律方法用列举法表示无限集时，一是列出的前几项体现的规律，要和一般项统一起来，二是要 加省略号.课堂达标验收Ke tang da biao

20、yan shou1 .下列各组对象，能构成集合的有对环境污染不太大的塑料；中国古典文学中的四大名著；所有的正方形；方程x(x2 2x- 3)=0的所有实数根.ASB.C.D.解析语句“污染不太大”没有明确的标准；中四大名著指的是水浒传、三国演义、西游记、红楼梦；中的对象也都满足确定性、互异性、无序性.2 .已知集合 A=xCN|-V3<x< 乖,则必有 (B )A. - 1 AB. 0c AC.D. 2CA解析集合A中元素有两个特征：xCN且q3wxwJ3,观察四个选项，只有 B正确.3 .下列各组集合中，表示同一集合的是(B )A. M = (3,2) , N=(2,3)B. M

21、 = 3,2 , N = 2,3C. M = (x, y)|x+y=1, N=y|x+ y= 1D. M = 3,2 , N = (3,2)解析A项中M = (3,2)中的元素是(3,2), N = (2,3)中的元素是(2,3),所以这是两个不同的集合；B项中M = 3,2中的元素是3,2, N = 2,3中的元素是2,3,由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C项中集合M中的代表元素是(x, v),是直线x+ y=1上的点，而集合 N中的代表元素是 V,是直线x+y=1 上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D项中两集合 M的元素分别是3、2,而N中含有一个元素(3,2),因此它们是

22、两个不同的集合.4,由实数x, x, |x|, Vx2, - 3/x3,所组成的集合最多含有元素的个数为(A )A. 2B . 3C. 4D. 5解析 正=凶，版3=x,集合中的元素最多含有两个.5.用适当的方法表示下列集合.(1)由大于3且小于11的偶数组成的集合可表示为 _-2,0,2,4,6,8,10_ ;(2)不等式3x- 6<0的解集可表示为_ x|xw 2一 ;(3)方程x(x2+ 2x-3)= 0的解集可表示为 3,0,1;区时作业学案(4)函数y=x2-x- 1图象上的点组成的集合可表示为(x, y)|y=x2x1.a”，KE-SHI-ZUO-VE-XUE - ANA级基

23、础巩固、选择题1,在“高一数学中的难题；所有的正三角形；方程X22=0的实数解”中，能够构成集合的是(C )A.B.C.D.解析高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x22=0的解也是确定的，能构成集合，故选 C.2 .用列举法表示集合x|x22乂+1 = 0为(B )2A, 1,1B. 1C. x= 1D. x22x+ 1 = 0解析-x2-2x+ 1=0,x=1.故集合为单元素集合.故选 B.3 .已知集合 A=x|xW10, a=V2 + V3,则a与集合A的关系是 (A )A. aAB. a?AC. a= AD. a C A解析由于g+5&l

24、t;10,所以a (A.3x+ y = 24.方程组c的解集是(D )2x-3y=27x= 3A. 1_y=- 7B. x, y|x=3 且 y= 7C. 3, - 7D. (x, y)|x= 3 且 y= 73x+ y= 2 x= 3解析解方程组1得f,2x-3y=27|y=- 7用描述法表示为(x, y)|x=3且y=7,用列举法表示为(3, 7),故选D.5 .已知集合S= a, b, c中的三个元素是 ABC的三边长，那么 ABC 一定不是(D )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析由集合中元素的互异性知a, b, c互不相等，故选 D.二、填空题6 .用符号C

25、与？填空：(1)0_?_N *； / ? Z ;0_£_N; (-1)0_£_N*；也+2_?_Q; 4_JQ. 3(2)3_C_2,3 ; 3_?_(2,3);(2,3)_(2,3) ; (3,2)_?_(2,3).(3)若 a2=3,则 a_ JR,若 a2= - 1,则 a_?_R.解析(1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别.(2)中3是集合2,3的元素；但整数3不是点集(2,3)的元素；同样(2,3)是集合(2,3)的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合(2,3)的元素.(3) 平方等于3的数是±73,当然是实数，而平方等于一 1的实数

26、是不存在的.7 .设 a, bC R,集合1 , a+b, a = 40, b, b 力则 b-a = _2_. a解析显然 aw0 则 a + b=0, a = b, b= 1,所以 a= 1, b= 1, b a=2. a三、解答题8 .用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.|导学号69174028(1)不超过10的非负质数的集合；(2)大于10的所有自然数的集合.解析(1)不超过10的非负质数有2,3,5,7,用列举法表示为2,3,5,7,是有限集.(2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为xx>10, xCN,是无限集.B级素养提升一、选择题1 .下

27、列集合中，不同于另外三个集合的是(B )A. x|x= 1B. x|x2= 1C. 1d. y|(y-1)2=0解析x|x2=1 = 1,1,另外三个集合都是1,选B.2,下列六种表示法：x= 1, y = 2;(x, y)|x=1, y=2;1,2;(一1,2);( 1,2); (x, y)|x= 1 或 y= 2.，一 、一，2x+y= 0,，一,能表示方程组的解集的是(C )x-y+ 3= 0A.B.C.D.2x+ y= 0,x= - 1,解析方程组S的解是S故选C.X y + 3= 0ly=2.3,已知集合A是由0, m, m23m+ 2三个元素组成的集合，且 2c A,则实数m的值为

28、(B )A. 2B. 3C. 0或 3D. 0或 2 或 3解析因为2 6,所以m = 2或m2-3m + 2= 2,解得m= 0或m = 2或m= 3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得 m=3,故选B.4 .已知x,y,z为非零实数，代数式2| +木+|+黑的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（D ）A. 0?MB. 2c MC. -4?MD. 4CMxx解析当x>0时，|Xj=1，当x<0时,而=1，故当x, v, z全为正时，原式=4;当x, y, z两正一负时，xyz<0,原式=0;当x, y, z两负一正时，xyz>0,原式=0;当x, y, z全为负时，xyz<0,原式=4,故M的元素有4,0, 4,4 CM.故选D. 二、填空题5 .已知P = x|2vxvk, xCN,kCR,若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是k|5vkW6.解析x只能取3,4,5,故5vkw 6.3 一 一 一6.用列举法写出集合二ezxez = 3, 1,1,3_. 一 3 一 一解析xZ,3 x为3的因数. 3 x= ± ,或 3 x= i3.3.3= i3,或=土.3 x3 x - -3, 1,1,3满足题息.1.设A, B为两个实数集，定义集合 合A+B中元素