【五年经典推荐全程方略】高三数学专项精析精炼考点40双曲线

1、考点40双曲线、选择题22x V1. （2014 重庆图考文科 T 8）设F1,F2分别为双曲线，=1（a >0,b >0）的左、a b2 n右焦点，双曲线上存在一点 P使得（PF1 一 PF2| ） =b 3ab,则该双曲线的离心率为（）A.应 B.辰 C. 4 D. g【解题提示】 直接根据双曲线的定义得到关于a,b的等式，进而求出离心率的值.2222【解析】选D.由双曲线的定义知，（|PFi PF2I）=4a，又（PF1 - PF2I ） =b -3ab,所以 4a2 = b2 -3ab等号两边同除a2,化简得b -3也-4=0 a a,解得b=4，或b = 1 （舍去） a

2、 a2. （ 2014 天津高考文科T6同2014 天津高考理科-T5）已知双曲线22与=1（a aQ b >0）的一条渐近线平行于直线 a bl : y = 2x - 10,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（2222c 2c 2c 2c 2“ x yxy3x 3y3x3ydA. - -=1 B.-工=1 C.=1 D.-115202052510010025【解析】 选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上，所以0=2c+10,即c=5,又因为渐近线b 9222222_ _平行于直线l : y =2x+10，故有a 2,结合c =a +b,得a =5,b =20,所以双曲线的2标

3、准方程为52上=1203. （2014 湖北高考理科 T9）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且NF1PF2 =一，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（3B.2.33C.3D.2【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值【解析】选A.设椭圆的长半轴长为 a ,双曲线的实半轴长为 a1 （ a a a1）,半焦距为c ,由椭圆、双曲线的定义得 下匕|十氏52|=22,尸| 尸52|=2&,所以IPRta + a/ |PF2|=a-a222因为, F1PF2 = 3, 由余弦定理得 4c =（a+ai） +（a ai） _2（a

4、 + ai）（a _ ai）cos 222,2222al aa11 ,a a1、2所以 4c = a - 3ai ,即 4 -2- = （ ）,c c c 2 c c、，i i 24所以（）_ 8 - -2 ,4.3.3222e ei ei利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为24.（20i4 广东高考理科）若实数 k满足0<k<9,则曲线y=i与曲线 一xy =i25 9 - k25-k 9的（）A.焦距相等 B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【解题提示】先判断两曲线是哪种圆锥曲线，进而求a,b,c,e 加以判断.【解析】 选A.因为0<k

5、<9,2222所以曲线 -y=1与曲线 一-L=i都表示焦点在x轴上的双曲线，且25W25 9 -k25-k 925-k,9-k W9,但a2+b2=34-k,故两双曲线的焦距相等.5.（2014 山东高考理科 T 10）2222xVxV已知a >b,椭圆C1的方程为 =1,双曲线C2的方程为 不一方=1 , C1与C2的 abab离心率之积为XI ,则C2的渐近线方程为（）2A、x 二 2y=0 B ,2x 二 y=0C、x 二 2y =0D> 2x 二 y = 0【解题指南】本题考查了考查了椭圆、双曲线的几何性质，利用椭圆，双曲线中a,b,c之间的关系即可求解.2【解析】

6、选A.椭圆的离心率为e2=c2 a2, 222,2a -b2 c a b,双曲线的离心率为e2 = -2 = ,aa a4. 4所以 a4 -4b4.2 a b 所以 ©10=4 一a所以2 = ±巨.双曲线的渐近线方程为 y =±2ilx，即x± J2y = 0,故选A. a 22226.（2014 江西高考文科T9）过双曲线C:与-4=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐a b近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点（O为坐标原点）,则双曲线C的方程为A.二1B.二1C.二1D.1212【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF

7、|=4.【解析】选A.设右焦点为F,由题意得 |OF|=|AF|=4,即 a2+b2=16,又 A(a,b),F(4,0) 可得(a-4) 2+b2=16,22故a=2,b =12,所以方程为 =1.412二、填空题27. （2014 四川高考文科 T 11）双曲线x- y2 =1的离心率等于4【解题提示】本题主要考查双曲线的离心率，属于基本题.【解析】e = C = W-1 =.a 22答案：28. （2014 浙江高考文科 T 17）与（2014 浙江高考理科 T 16）相同22，工二1（a . 0.b . 0）设直线x-3y + m=0（m#0）与双曲线a b的两条渐近线分别交于点A、B,若点 P（m,0）满足 | PA R PB |, 则该双曲线的离心率是 .【解题指南】求出A，B的坐标，写出AB中点Q的坐标，因为 PA = PB ,所以PQ与 已知直线垂直，寻找 a与c的关系.【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为bby=x y = xa 与 a ,分别与x -3y m= 0（m ¥0）联立方程组，解得-am -bmAl , a -3b a -3b-am bmBI , a 3b a 3b，设AB-am + -