2016年高考理科数学全国1卷--附答案

1、2016年高考数学全国1卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的.1 .设集合 A=x| x2 - 4x+3< 0 , B=x|2x 3>0,贝 U AA B=()A. ( - 3,一与 B . ( - 3, &) C . (1,回)D.(2 3)2 2222 .设(1+i ) x=1+yi ,其中 x, y 是实数，则 |x+yi|=()A. 1B .6 C . D . 23 .已知等差数列an前9项的和为27, a10=8,则3100=()A. 100B . 99 C . 98 D . 974 .某公司的班车在 7: 00, 8

2、: 00, 8: 30发车，小明在7: 50至8: 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.工 B . C .2 D .旦3234225 .已知方程 T- 上_=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()m -Fn 3m fA. (T, 3)B . ( - 1, V5) C . (0, 3) D . (0,心)6 .如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是驾上， J.y=2xB . y=3x Cy=4x D . y=5x10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于A、B

3、两点，交C的准线于D E两点.已知|AB|=4、四，|DE|二2、J0 ,则C的焦点到准线的距离为()11 .平面a过正方体ABCD- AB1C1D 的顶点A, a /平面CBD, a n平面 ABCD=m“n平面 ABBA=n,贝U nr n所成角的则它的表面积是()正弦值为()| 2 | 2| 3 |3|12.已知函数f (x) =sin (cox+(j) ( 3 > 0, | 4 1m- ), x=-为f (x)的零点，x-为y=f (x)图象的对称轴,244且f (x)在(JL,叵巴)上单调，则3的最大值为()1836A. 11B . 9C . 7 D . 5A,二A . 17兀

4、 B . 18兀C. 20% D . 28兀7.函数y=2x2 e|x|在-2, 2的图象大致为()»rA. IB. IC.ID.8.若 a>b>1, 0vcv1,贝U ()A. ac< bc B . abc< bacC. alog bc< blog ac D . log acclog bc二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13 .设向量 3= (m, 1),己=(1, 2),且 | a+b 12=|3 12+国 |2,则 m=.14 . (2x+&) 5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)15 .设等比数列an满足a1+

5、a3=10, a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.16 .某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (12 分) ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已

6、知 2cosC (acosB+bcosA) =c.(I )求 C;9.执行如图的程序框图，如果输入的x=0, y=1, n=1,则输出x, y的值满足(n)若c=沂， ABC的面积为 3,求 ABC的周长.2(n )若要求 P (Xw n) > 0.5 ,确定n的最小值；(ID)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个?18. (12分)如图，在以 A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD / AFD=90 ,且二面角 DAF- E 与二面角 C- BE- F者B是 60° .(I )证明平

7、面 ABEFL平面EFDC(II)求二面角 E- BC- A的余弦值.19. (12分)某公司1f划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示2台机器三年内共需更20. (12分)设圆x2+y2+2x - 15=0的圆心为 A 直线l过点B (1, 0)且与

8、x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过 B作 AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线 C,直线l交G于M N两点，过B且与l垂直的直线与圆 A交于P, Q两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分OA为半径作圆.21. (12分)已知函数f (x) = (x-2) ex+a (x-1) 2有两个零点.(I)求a的取值范围；(n)设xi, x2是f (x)的两个零点，证明：xi+x2<2.

9、选彳4-1 :几何证明选讲22. (10分)如图， OAB是等腰三角形，/ AOB=120 .以O为圆心，-(I )证明：直线 AB与。O相切；(II)点 C, D在OO±,且 A, B, C, D四点共圆，证明： AB/ CD选彳4-4 :坐标系与参数方程x轴正半轴为23 .在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为"二'£口"*(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点,ly=L+asint极轴的极坐标系中，曲线 C2： = =4cos 0 .(I)说明Ci是哪种曲线，并将 C的方程化为极坐标方程；(n)直线C3的极坐标方程为。=“0,其中

10、“。满足tan a 0=2,若曲线Ci与Q的公共点都在C3上，求a.选彳4-5 :不等式选讲24 .已知函数 f (x) =|x+1| - |2x - 3| .(I)在图中画出 y=f (x)的图象；(n)求不等式|f (x) | >1的解集.2016年高考数学全国1卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .【解答】 解：.集合 A=x|x 2- 4x+3<0= (1, 3), B=x|2x - 3>0= (3, +8),2，An B=(工，3),故选：D22 .【解答】 解：-.1 ( 1+

11、i) x=1+yi , . x+xi=1+yi ，即,解得(,即 |x+yi|=|1+i|=J2,卜产工I产1故选：B.3 .【解答】解：二等差数列an前9项的和为27,3=!L=I=9a5.2 I 2|9a5=27, a5=3,又= a10=8, d=1, a1。产as+95d=98,故选：C4.【解答】 解：设小明到达时间为 y,当y在7: 50至8: 00,或8: 20至8: 30时,小明等车时间不超过 10分钟，故P=/_=二故选：B40 2当*=±2 时，y=8 - e2 (0, 1),故排除 A, B;当 x C 0 , 2时，f (x) =y=2x2 - ex,f &#

12、39; ( x) =4x-ex=0有解，故函数y=2x2-e|x1在0 , 2不是单调的，故排除 C,故选：D8 .【解答解：: a>b>1, 0vcv1,，函数f (x) =xc在(0, +8)上为增函数，故 ac>bc,故A错误；函数f (x) =xc 1在(0, +°°)上为减函数，故 acTbcT,故bacvabc,即abc>bac;故B错误；一 一.L 口吕. . r, _ -log aCV0, 且 log bCV0, log abv 1 , 即=V 1 , 即 log aC > log bC. 故 D 错庆；logca logbc0

13、< - log aC< - log bC, 故一blog acv alog bC,即 blog aC>alog bC,即 alog bcvblog aC, 故 C正确;故选：C9 .【解答】解：输入 x=0, y=1, n=1,贝U x=0, y=1,不满足 x2+y2>36,故 n=2,贝U x斗，y=2,不满足 x2+y2>36,故 n=3,贝U x= , y=6,满足 x2+y2> 36,故 y=4x,2故选：C5.【解答】解：,双曲线两焦点间的距离为4,c=2 ,当焦点在x轴上时，可得：4= (mf+n) + (3m2-n),解得：m2=1,22方程

14、 一t一 一=1 表示双曲线，(mi+n)(3mn) >0,可得：(n+1)(3n)>0,ro +n 3ni f解得：-1vnv3,即n的取值范围是：(T, 3).当焦点在y轴上时，可得：-4= (m2+n) + (3m-n),解得：mi= - 1,无解.故选：A.6.【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉g后的几何体，如图：8可得： 一X TT R3=, R=2.它的表面积是： X 4兀？ 22& X TT£=17兀.8338447.【解答】 解：f (x) =y=2x2e|x1 ,f (x) =2 ( x) 2e1 一x1=2x2e|x1 ,故函

15、数为偶函数,10 .【解答】解：设抛物线为 y2=2px,如图：|AB|=4 , |AM|=2x/2 , |DE|=271 , |DN|=/j , |ON|=£-, xa='*J2)且,|OD|=|OA| ,与+g=:+5,解得：p=4. C的焦点到准线的距离为：4.故选：B.>411 .【解答 解：如图：“/平面 CBD, “n平面 ABCD=m a n平面 ABAB1=n, 可知：n / CD, m/ BQ, , CBD是正三角形.m. n所成角就是/ CDB1=60° .则m n所成角的正弦值为： 返. 故选：A.212 .【解答】 解：x=-二 f (

16、x)的零点，x=三为y=f (x)图象的对称轴， 即二_L._(nC N) 即 co=2n+1, (nCN) 即 为正奇数，41 24 W 2f (x)在(, 2_)上单调，则 匹兀=7r 即T上工> J_,解得：3 & 12, 18363B 18 12 2 W 6当=ii 时， " +()=kTt, kez, () <2L, e =-2L,424此日f (x)在( 三，史二)不单调，不满足题意；当=9时，- 史二+4 =kTt , kCZ,18 364|巾| w工，.力=巴此时f (x)在(工，旦L)单调，满足题意；241836故的最大值为9,故选：B16.【解

17、答】 解：(1)设A、B两种产品分别是 x件和y件，获利为z元.由题意,yE N1. 5x+0. 5y<15Q 八一,z=2100x+900y .x+0. 3y<90L5x+3y600不等式组表示的可行域如图：由题意可得卜48 3y=9Q,解得：#60 , A (60, 100),Sx+Sy-GO 0 1yilOO目标函数z=2100x+900y .经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100X60+900X 100=216000元.故答案为：216000.三、解答题：本大题共 5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤二、填空题：本大题共 4小题，每小题

18、5分，共25分.13.【解答】 解：|台西2=|7+|芯2,可得:?佐0.向量奈(m, 1), b= (1, 2),可彳导m+2=0解得m=- 2.故答案为：-2.17.【解答】 解：(I)二.在 ABC 中，0V Cvtt,sinCw。已知等式利用正弦定理化简得：2cosc (sinAcosB+sinBcosA ) =sinC ,整理得：2cosCsin (A+B) =sinC ,. 一 一一_ . 1一兀即 2cosCsin (7t-( A+B) =sinC2cosCsinC=sinC . - cosC=- , . . C=r-;JLaJ(n)由余弦定理得 7=a2+b2-2abN,.(

19、a+b) 2-3ab=7, v S218=7,absinC=2_ ab=Ly_?_ab=6,( a+b)4214.【解答】 解：(2x+ Vx) 5的展开式中，通项公式为：令5-除3,解得r=4，x3的系数2cg =10.故答案为:25心式式编力一气石/二暧一*“10. a+b=5,. ABC的周长为 55.15.【解答】解：等比数列an满足 a1+a3=10, a2+a4=5,可得 q (a+a3)=5,解得 q. a1+q2a-10,解得 a8.则a®an=a1n?q1+2+3+ + " " =8n?(/)=2=? 2,当n=3或4时，表达式取得最大值:12=

20、26=64.故答案为：64.18.【解答】(I)证明： ABEF 为正方形，AF± EF. ; / AFD=90 ,AF± DF, DFn EF=F,AFL平面 EFDC / AF?平面 ABEF -1平面 ABEFL平面 EFDC(n)解：由 AF± DF, AF± EF,可彳导/ DFE为二面角D- AF- E的平面角；由 ABEF为正方形，AFL平面EFDC ,BEX EF,. BE,平面 EFDCgP 有 CE! BE,可彳导/ CEF 为二面角 C- BE- F 的平面角.可得/ DFE=Z CEF=60 . AB/ EF, AB?平面 EFD

21、C EF?平面 EFDC ，AB/平面 EFDC ;平面 EFD平面 ABCD=CDAB?平面 ABCD.AB/ CDCD/ EF, 四边形EFDE等腰梯形.以 E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a,贝U E (0, 0, 0), B (0, 2a, 0), C (A, 0,22tla), A (2a, 2a, 0), 2，AB= (-2a, 0, 0)P (X=21) =.=一,士 "0。, 25P (X=22) =1_LL -,hot); -25设平面BEC的法向量为i=（xi,尸一 2qV -Qyi, Zi),则巴一0,则 , a函,取益=(仃0，I m*BC=0ayt+

22、-设平面ABC的法向量为1 =X2,y2.X16171819202122P146612125252552525 X的分布列为：设二面角E- BC- A的大小为0 ,则ln*AB=O2a 叼二 0(n)由(i)知：P (XW 18) =P (X=16) +P (X=17) +P (X=18) id * n -4 2VI9 cos 0 =；= . L _ 二 -I m | ? | n | “3+13+16P (XW 19) =P (X=16) +P (X=17) +P (X=18) +P (X=19)3Q+反山以.25 25 25 25 25P (XW n) > 0.5中，n的最小值为19.

23、(m)解法一：由(I)得 P (XW 19) =P (X=16) +P (X=17) +P (X=18) +P (X=19)=，+_l2525 至买19个所需费用期望:EX1=200Xix+ (200X 19+500) x£+ (200X 19+500X 2) xJL + (200X 19+500X 3) X-L25252525买20个所需费用期望：E-nnx2nx空+(200x20+500)xJL+(200x20+2x500)x_L =4080, 252525=4040,19.【解答】解：（I）由已知得 X的可能取值为16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,P (X=

24、16)P (X=17)P (X=18)P (X=19)P (X=20)=() 2=,10025=J _ _1001002 25=(2+2 ( ) 2="d ' 10T 2 f松翳景2*儡),100 ' z 100 LOO 25 5 EXv EX,买19个更合适.解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当 n=19 时，费用的期望为：19X 200+500X 0.2+1000 X 0.08+1500 X 0.04=4040 ,当 n=20 时，费用的期望为：20X 200+500X 0.08+1000 X 0.4=4

25、080 ,买 19个更合适.20.【解答】 解：（I）证明：圆 x2+y2+2x-15=0即为（x+1） 2+y2=16,可得圆心 A（T, 0）,半径由BE/ AC 可彳导/ C=/ EBD由AC=AD可彳导/ D=Z C,即为/ D=Z EBD即有 EB=ED则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4 ，故E的轨迹为以 A, B为焦点的椭圆，22且有2a=4,即a=2, c=1 , b=/2 =叼,则点e的轨迹方程为刍一名 =1 （yw0）；N(X2, y2), 可得 yi+y2=, yiy2=-3m2 +431n则 |MN|=. . ?|yi-y2i=12?1+产3 m2+4

26、S取得最小值则四边形MPNQT积为+2a=0,+2a=0,22(n )椭圆 Ci: . + y=1,设直线 l : x=my+1,由 PQ± l ,设 PQ y= - m (x - 1),4 3K 方 1 可得(3m+4) y2+6my- 9=0,设 M (xi, yi),? m："=?-"+一. kh977 +2- Yl + m口 2 A1 (3m2+4) 2 3m2+431Tl +4A 到 PQ 的距离为 d=flT)1= 31 , |PQ|=27 2_臼2,116一 47=，:而 +4 aW5 d ° 1+6 Vw12,又一->0,可得 S&

27、lt; 24?iLl=8/3,Hm2§即有四边形MPN璃积的取彳1范围是12 , 86).521.【解答】 解：(I) ;函数 f (x) = (x 2) ex+a (x 1) 2,f ' (x) = (x 1) ex+2a (x 1) = (x 1) (ex+2a),若a=0,那么f (x) =0? (x-2) ex=0? x=2,函数f (x)只有唯一的零点 2,不合题意；若a>0,那么ex+2a>0恒成立，当x<1时，f' (x) <0,此时函数为减函数；当x>1时，f' ( x) >0,此时函数为增函数；此时当 x=

28、1时，函数f (x)取极小值-e,由f ( 2) =a> 0,可得：函数 f (x)在x> 1存在一个零点；当 x< 1时，ex<e, x- 2< - 1 < 0,1. f (x) = (x- 2) ex+a (x T ) 2> ( x - 2) e+a (x T) 2=a (x T ) 2+e (xT ) - e,令 a (x 1) 2+e (x 1) e=0 的两根为 11, 12,且 11 v 12,则当 xvt1,或 x>t2时，f (x) >a(x-1) 2+e(x-1) - e>0,故函数 f (x)在 xv 1 存在一个

29、零点；即函数f (x)在R是存在两个零点，满足题意；若-< a< 0,贝U ln ( 2a) < lne=1 ,当 x< ln ( 一 2a)时，x 1 vln ( 2a) 1 <Ine 1=0,ex+2a< eln ( 2a) +2a=0,即 f ' (x) = (x-1) (ex+2a) >0 恒成立，故 f (x)单调递增，当 ln ( 2a)< x< 1时，x- 1 < 0, ex +2a> el-2a)+2a=0,即 f' ( x) =(x-1)(ex+2a) v 0 恒成立，故 f(x)单调递减，当

30、x>1 时，x - 1 > 0, ex+2a>e1n( 2a即f' ( x) = (x-1) (ex+2a) >0恒成立，故f (x)单调递增，故当 x=ln (-2a)时，函数取极大值， 由 f (ln (-2a) =ln (2a) - 2 (2a) +aln (-2a) - 12=aln (-2a) 22+1v0得： 函数f (x)在R上至多存在一个零点，不合题意；若 a=一叵，贝U ln (2a) =1,当 xv1=ln (2a)时，x - 1< 0, ex+2a< eln ( 2a) +2a=0, 2即 f'(x)= (x-1)(ex

31、+2a) >0 恒成立，故 f(x)单调递增，当 x>1 时，x - 1 > 0, ex+2a>e1ne2a)即f'(x)= (x-1)(ex+2a) >0恒成立，故f(x)单调递增，故函数 f (x)在R上单调递增，函数f (x)在R上至多存在一个零点，不合题意；若 av一回，贝 U ln (2a) > lne=1，当 xv 1 时，x- 1 < 0, ex+2av eln ' 2a)+2a=0, 2即f' ( x) = (x-1) (ex+2a) >0恒成立，故f (x)单调递增，当 1vxvln (一2a)时，x-

32、1 >0, ex+2a<eln ( 2a) +2a=0,即f' ( x) = (x-1) (ex+2a) v 0恒成立，故f (x)单调递减，当 x>ln (2a)时，x- 1 >0, ex+2a>eln ' 2a)+2a=0,即f' ( x) = (x-1) (ex+2a) >0恒成立，故f (x)单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由 f (1) =- e< 0 得：函数f (x)在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为(0, +00)证明：(n)x1, x2是f (x)的两个零点，1. f (x。=f

33、( x2)=0,且 x1 w 1 ,且 x2W 1,(工-2)已卜工2-2)已%G -2)eK一 a=丁=,令 g (x)=- ,贝U g (x。=g (x2)=- a,(町-1 户(x2-l)2(x -1户(x -2)?+1e1 gz ( x)=招,，当 xv 1 时，g' ( x) < 0, g (x)单调递减；| (x -1? I当x> 1时，g' ( x) > 0, g (x)单调递增；设 m>0,则 g (1+m - g(1 -m) =-5g -(+1),/ id2皿2班1设 h ( m) ="' : B, m> 0,F 2则h' ( m =e=>0恒成立，即h (m)在(0,