2016年全国卷3理科数学试题及参考答案版

1、绝密启封并使用完毕前试题类型：新课标出2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要

2、弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。第I卷一.选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合 S x|(x 2)(x 3) 0 , T x|x 0 ，则 SI T=A. 2, 3 B. , 2 U 3, C. 3, D. 0, 2 U 3,【答案】D【解析】易得S , 2 U 3, SI T 0, 2 U 3, ，选D【考点】解一元二次不等式、交集(2)若z 1 2i ,则一zz 1A. 1 B. 1 C. i D. i【答案】C【解析】易知z 1 2i ,故zz 1 4, 一i ,选Czz 1【考点】共轲复数、复数运算uur(3)已

3、知向量BA13 uuu 3 iA. 30 ° B.45 ° C. 60 ° D.120【答案】A【解析】法cos ABC|tuu-UtthBABCuju ujurBA BCoABC 30法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知ABx 60o, CBx 30o,ABC 30o【考点】向量夹角的坐标运算(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 oC , B点表示四月的平均最低气温约为5 °C .下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0oC以上B.七

4、月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于 20oC的月份有5个【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20oC的月份有七月、八月，六月为20oC左右，故最多3个tn 平均悔，平均【考点】统计图的识别32 一一一(5)右 tan 4 ,贝U cos 2sin 26425B. 48 C. 1D.1625A.【解析】cos22sln 22,.cos4sin cos 1 4tan642 . 2 2cos sin1 tan 252，2 , BC =( -2- > 裂，则 ABC【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式4(6)已知 a

5、23, b233,A. bB.C. b c a D. c a b423243,233,1253【考点】指数运算、骞函数性质(7)执行右面的程序框图，如果输入的a=4, b=6,那么输出的 n=A. 3 B. 4 C. 5 D. 6fl = 0, j = 0a426-2426-24b64646s06101620n01234【解析】列表如下【考点】程序框图苦J>16，1_ 兀、，_ 一 1 _(8)在 ABC中，B - , BC边上的图等于 .BC,则cosA43A. 3. B.四1010C.1070"【解析】AC【考点】如图所示，可设BDAD1 ,则 AB 72, DC2,庭,由

6、余弦定理知,cos A2 5 9_J02 2510解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为图，则该多面体的表面积为A. 18 36 5 B. 54 18 51,粗实线画出的是某多面体的三视C. 90 D. 81【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的半，各个侧面平行四边形，故表面积为2 3 3 2 3 6 2 3'9-36 54 18,5【考点】三视图、多面体的表面积(10)在封闭的直三棱柱 ABC AiBiCi内有一个体积为 V的球.若ABBC, AB=6 , BC=8, AAi=3 ,则V的最大值是A.4 n B. 9C. 6 n D. *23由题意知，

7、当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面,如图所示,则由切线长定理可知，内接圆的半径为2,又AA 3 2 2,所以内接球的半径为即V的最大值为【考点】内接球半径的求法(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C:2yr 1(a bb 0)的左焦点，A, B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且 PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1A. 3B.1 22 C. 3D. 4【解析】易得ONMFOBbFMF MF AFOE- 2ON AO【考点】椭圆的性质、相似(12)定义 规范01数列" an如下:a

8、n共有2m项,其中m项为0, m项为1,且对任意kwm, a1, a2,，规范01数列”共有()ak中0的个数不少于1的个数，若 m=4,则不同的A. 18 个 B. 16 个 C. 14 个 D. 12 个011110111010111101001110011111010110101011100111101010110101【考点】数列、树状图第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分x y 1 0(13)设x, y满足约束条件 x 2y 0 ，则

9、z x y的最大值为 .x 2y 2 03【答案】32【解析】三条直线的交点分别为2, 1 , 1, 1 , 0, 1 ,代入目标函数可得3, I，1,故最小值为10【考点】线性规划(14)函数y sinx J3cosx的图像可由函数 y sinx TScosx的图像至少向右平移 个单位长度得到.,2【答案】3【解析】Q y sin x 3cosx 2sin x , y sin x 3cosx 2sin x -,故可前者的图像可由后者向 33，一，2 ，右平移2-个单位长度得到3【考点】三角恒等变换、图像平移(15)已知f(x)为偶函数，当x 0时，f (x) ln x 3x ,则曲线y f

10、x在点1,3处的切线方程是 【答案】2x y 1 011【解析】法一：f '(x) 3 - 3 , f ' 1 2 , f ' 1 xx1法一：当 x 0 时，f x f x In x 3x, f' x - 3, x【考点】奇偶性、导数、切线方程2 ,故切线方程为2x y 1 0f' 12,故切线方程为2x y 1 0(16)已知直线l : mx y 3m 氯 0与圆x22y 12父于A, B两点，过A, B分另IJ作l的垂线与x轴父于C,D两点，若AB 2卮则|CD | 【答案】3【解析】如图所示，作AE BD于E ,作OF AB于F ,Q AB 2a

11、 OA 2在 OF 3,即3m石存彳3， m，直线l的倾斜角为30°CD| |AE 2 3 -23 3【考点】直线和圆、弦长公式三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知数列 an的前n项和Sn=1+入n,其中入w”(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；, 一 31.(2)右S5石，求入.32【答案】(1) ; (2)【解析】解：(1) QSn 1an,0an 0当 n 2 时,anSnSn 11an1 an 1 anan 11 anan 1 ,0, an0,1 0,即 1an是等比数列，公比q当 n=1 时，Si 1ai ai ,1r31

12、32则S5【考点】等比数列的证明、由Sn求通项、等比数列的性质(18)(本小题满分12分)卜图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿吨)的折线图.沅：年的代禺1 - 7分刷时这平倚2DQS萧以革黑总施复里胡#-(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：77参考数据：y 9.32 ,tjj 40.17 ,7_& y)20.55, "=2.646.531132(ti r)( y y)参考公式：r回归方程y ann(tit)2 (y

13、i y)2i 1i 1t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:n(ti f)(yi y)i 1n2(ti t)i 1【答案】(1)见解析；(2)y 0.920.10t , 1.82 亿吨(1)由题意得7yi i 1 T1.3317(ti 1i 1r1(tit)(y y)722(yiy)i 1因为y与t的相关系数近似为与t的关系(2) $ti yii 1nty7(tii 10.99,n(t 1)(y y)i 12.89n - 228(ti t)i 1$ y $t 1.33 0.103 47t)2 (yi y)2i 140.17 7 4 1.33 =0.9928 0.55说明y与t的线性相关程度相

14、当高，从而可以用线性回归方程来拟合0.1030.92所以y关于t的线性回归方程为y $ $t 0.92 0.10t将t 9代入回归方程可得，$ 1.82预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨【考点】相关性分析、线性回归(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PAL底面 ABCD, AD/BC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4, M为线段 AD上一点，AM=2MD , N为PC的中点.证明MN /平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】 见解析；(2) 典252 .【解析】 由已知得AM -AD 2 ,取BP的中点T ,连接AT

15、,TN , 31.由N为PC中点知TN/BC, TN -BC 23分2又AD/BC,故TN平行且等于 AM ,四边形AMNT为平行四边形,于是 MN / /AT .因为AT 平面PAB , MN 平面PAB ,所以MN /平面PAB.面ABCD ,故可以A为坐标原点，以AE为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴建立空间直角坐标系,0, 0, 0、P 0, 0,4、C V5, 2, 0、N手,1,2、M 0, 2, 0uuirAN畀,uuuu2 , PMUULT0, 2,4 , PN N手1,故平面TPMN的法向量n0, 2, 1(2)取BC中点E ,连接AE ,则易知AE AD ,又Q PAcos

16、8.5"25"uuur r 4AN, n 5 2直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 喳25【考点】线面平行证明、线面角的计算(20)(本小题满分12分)已知抛物线C: y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线1i,l2分别交C于A, B两点，交C的准线于P, Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 AR/FQ;(2)若4PQF的面积是AABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程【答案】(1)见解析；(2) y2 x 1【解析】(1)法一：1由题设 F(2,0).设 l1：y a,l2：y b ,则 ab 0,且22a b111 a bA(万,a),B(万,

17、b),P( 1,a),Q( 11,b),R( 1,-2-).记过A,B两点的直线为l ,则l的方程为2x (a b)y ab 0.由于F在线段AB上，故1 ab 0.记AR的斜率为ki, FQ的斜率为k2,则,a b ab 1ab ,ki 2-2-bk2.1 a a ab a a所以AR/ FQ5分法二：证明：连接RF, PF,由 AP=AF, BQ=BF 及 AP/ BQ,得/ AFP + ZBFQ=90° , ./ PFQ=90° ,R是PQ的中点，RF=RP=RQ,fara far, .Z FAR=Z FAR, /PRA=/FRA, . / BQF+Z BFQ=180

18、° - / QBF = Z FAF=2/ FAR, ./ FQB = Z FAR, ./ PRA= Z PQF , .AR/ FQ .(2)设l与x轴的交点为D(X1,0),则 S abf 21b a| FD| 2b a| 4 2 ,S pqf1 ？ I 1 ,.1 la bl由题设可信21b a| X1 2 匚2"，所以X 0(舍去)，X1 1 .设满足条件的 AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时，由kAB kDE可得一 一y7(x 1). a b x 1一 a b 一一 2而一2 y,所以 y x 1(x 1).12 分当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所

19、求轨迹方程为y2 x 1 .【考点】抛物线、轨迹方程(21)(本小题满分12分)设函数f x acos2x a 1 cosx 1 ,其中a 0,记f x的最大值为 A.(2)求 A;证明：f ' x 2A.【答案】见解析(1) f' x 2asin2x a 1 sin x(2)当 a 1 时，|f(x)| |acos2x (a 1)(cosx 1)| a 2(a 1) 3a 2 f (0) 因此，A 3a 2.当 0 a 1 时，将 f(x)变形为 f(x) 2acos2 x (a 1)cos x 1 . 2令g(t) 2at (a 1)t 1,则A是|g(t)|在1,1上的最

20、大值，g( 1) a, g(1) 3a 2 ,且当 t L_a.时，g(t)取得极小值, 4a1 a (a 1)2a2 6a 1极小值为g() 1.4a 8a8a“ 1a11令 1 1,解得a 一(舍去)，a - .4a351当0 a 时，g(t)在(1,1)内无极值点,5|g( 1)| a, |g(1)| 2 3a, | g( 1)| |g(1)|,所以A 2 3a.1当一a 1 时，由 g( 1) g(1) 2(1 a) 0,知 g(1) 5(1 a)(1 7a)8a“1 a0,所以A |g()|4aa2 6a 18a综上，A12 3a,0 a -5a26a1 1,，一a1.8a53a 2

21、,a 1(3)由得 | f (x) | | 2asin 2x(a 1)sin x | 2a | a 1| .1-,当 0 a 一时，|f(x)| 1 a 2 4a 2(2 3a) 2A.5业1 八a 13当一a 1 时，A 58 8a 41 ,所以 | f (x)| 1 a 2A.当 a 1 时，| f (x)| 3a 1 6a4 2A ,所以 | f (x) | 2A.【考点】导函数讨论单调性、不等式证明请考生在22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选彳4 1：几何证明选讲AB于E,

22、 F两点。如图，o o中Ab的中点为P,弦PC, PD分别交(I)若/ PFB=2/PCD,求/ PCD 的大小;【答案】见解析连结PB,BC ,则因为AP BP ,所以(II)若EC的垂直平分线与OGXCDoBFD PBA BPD, PCDPBA PCB,又 BPD又 PFD BFD 180o, PFB 2 PCD ,所以 3(2)因为 PCD BFD ,所以 PCDPCB BCD .BCD ,所以 BFDPCD 1800,因此0EFD 180 ，PCD .PCD 60°由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在 CE的垂直平分线上，又在 DF的垂直平分线上，故 G就是过C, D,F,E四点的圆的圆心，所以 G在CD的垂直平分线上，因此OG CD .【考点】几何证明选讲(23)(本小题满分10分)