2018年天津高考数学试卷文科

1、2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）设集合 A=1, 2, 3, 4 , B= - 1, 0, 2, 3 , C=x R| 1<x< 2, 则（AU B） n C=（）A. -1, 1B. 0, 1 C. -1, 0, 1 D. 2, 3, 42. （5分）设变重x, y ¥两足约束条件" _岚+/*,则目标函数z=3x+5y的取大值为（）A. 6 B. 19 C. 21 D. 453. （5 分）设 xC R,则飞>8"是 |"x| >2”的（）A.

2、充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. （5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为20,则输 出T的值为（）精选。开始）输入KT= 0是T= 丁时/ 输出T /f + 1告（结束）A. 1B. 2C. 3 D. 45. （5分）已知a=l，b吗）,c=log，贝U a, b, c的大小关系为（A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b6. （5分）将函数 y=sin （的图象向右平移jrm个单位长度，所得图象对应的函数（A.在区间*上单调递增C.在区间卷4上单调递增TT

3、B.在区间,0上单调递减D.在区间g，可上单调递减7. （5分）已知双曲线=1 （a>0, b>0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A, 离分别为d1和d2,且d+d2=6,B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的距则双曲线的方程为（A.-=1 B -=19 g 3 1C.2 y12=1 D.2 X12=1精选8. （5分）在如图的平面图形中，已知 OM=1, ON=2, /MON=12 0,而二曲,CN=2NA,贝U瓦质的值为（BA. - 15B. - 9 C. - 6 D. 0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. （5分）i是虚数单位，

4、复数=.14-2110. （5分）已知函数f（x）=exlnx,f （x）为f（x）的导函数，则f '（1）的值为.11. （5分）如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥Ai-BBiDiD 的体积为.12. （5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0, 0）, （1, 1）, （2, 0）的圆的 方程为.13. （5分）已知a, bCR,且a- 3b+6=0,则2a；的最小值为.一，十2工十旷2,冗。_ 14. （5分）己知aC R,函数f （x） =9.右对任息x - 3, +工-2a,工0°°） , f （x） &|x|恒成立，

5、则a的取值范围是.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. （13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240, 160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学去某敬老院参加献爱心活动.精选(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(H)设抽出的7名同学分别用A, B, C, D, E, F, G表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.16. (13分)在 ABC中，内角A, B, C所

6、对的边分别为a, b, c,已知bsinA=acos(I )求角B的大小；(H )设 a=2, c=3,求 b 和 sin (2A- B)的值.17. (13分)如图，在四面体 ABCD中，4ABC是等边三角形，平面 ABC1平面 ABD,点 M 为棱 AB 的中点，AB=2, AD=2/j, / BAD=90 .(I )求证：AD± BC;(H)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(m)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.18. (13分)设an是等差数列，其前n项和为Sn (nCN*)； bn是等比数列， 公比大于 0,其前 n 项和为 Tn (nC N*),已知 b1=1,

7、b3=b2+2, b4=a3+a5, b5=a4+2a6.(I )求&和 Tn；(H )若 Sn+ (T1+T2+ - - +Tn) =an+4bn,求正整数 n 的值.19. (14分)设椭圆马¥=1 (a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭 圆的离心率为 塔，|AB产(I )求椭圆的方程；(II)设直线l: y=kx (k< 0)与椭圆交于P, Q两点，1与直线AB交于点M, 且点P, M均在第四象限.若 BPM的面积是 BPQ面积的2倍，求k的值.20. ( 14 分)设函数 f (x) = (x t1)(x t2)(x t3),其中 t1, t

8、2, t3C R,且 t1,精选 t2, t3是公差为d的等差数列.(I )若t2=0, d=1,求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(H )若d=3,求f (x)的极值；(田)若曲线y=f (x)与直线y=- (x-12)- 6/母有三个互异的公共点，求 d 的取值范围.精选2018年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)设集合 A=1, 2, 3, 4 , B= - 1, 0, 2, 3 , C=x R| 1<x< 2, 则(AU B) n C=()A. -1, 1 B.

9、0, 1 C. -1, 0, 1 D. 2, 3, 4 【分析】直接利用交集、并集运算得答案.【解答】解：V A=1, 2, 3, 4, B=-1 , 0, 2, 3,(AU B) =1 , 2, 3, 4 U - 1, 0, 2, 3 = - 1, 0, 1, 2, 3, 4,又 C=x R| - 1<x<2,(AU B) A C= T, 0, 1.故选：C.【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题.2. （5分）设变量x, y满足约束条件, _肝£<,则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A. 6B. 19 C. 21 D. 45【分析】先画出约束条件

10、的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标 函数z=3x+5y的最大值.【解答】解：由变量x, y酒足约束条件J,得如图所示的可行域，由解彳4 A （2, 3）.1r十月当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，精选 z取得最大值.将其代入得z的值为21, 故选：C.【点评】在解决线性规划的小题时，常用 角点法”，其步骤为：由约束条件画 出可行域？求出可行域各个角点的坐标 ？将坐标逐一代入目标函数？验 证，求出最优解.也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值.3. （5 分）设 xC R,则飞>8"是 |"x| >2”的（）A.充分而不必要

11、条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由x3>8得到|x| >2,由|x|>2不一定得到x3>8,然后结合查充分条 件、必要条件的判定方法得答案.【解答】解：由x3>8,得x>2,则| x| >2,反之，由| x| >2,得x< - 2或x>2,则 x3< - 8 或 x3>8.即“3> 8”是x| >2”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题.4. （5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为20,则输出T的值为（精选

12、i = 2. T=0T= 丁+ Ir = i + 1A. 1B. 2 C. 3D. 4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可.【解答】解：若输入N=20,则i=2, T=0, ?0=10是整数，满足条件.T=0+1=1, i=2+1=3,降5不成立， 1 2循环，?岑不是整数，不满足条件.，i=3+1=4, i>5不成立，1 3循环，且上1=5是整数，满足条件，T=1+1=2, i=4+1=5, i>5成立，i 4输出T=2,故选：B.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本 题的关键.JJ.5. （5 分）已知 a=lo*, b= （*） 3 , c=

13、log i，贝U a, b, c 的大小关系为（3A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b精选【分析】把a, c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及 1的关系进行比较.【解答】解：: a=l，C=l0g 一=log35,且 53, 2则 b=() 4c> a>b.故选：D.【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性， 是基 础题.6. （5分）将函数y=sin （2x*）的图象向右平移十个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间工，生上单调递增C.在区间工，三上单调递增42B.在

14、区间-千，0上单调递减D.在区间手，可上单调递减【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin （肝小）型7T10个单位长度,函数的单调性得答案.【解答】解：将函数y=sin （2x+-）的图象向右平移5所得图象对应的函数解析式为 y=sin2 （x-+- =sin2x.当 xCT，亨时，2x 二7V函数单调递增;当XC卷,守时，2XC用，单调递减;冗TT当xC-7，0时，2x - -, 0,函数单调递增;当xC看，句时，2xC 冗，2句，函数先减后增.故选：A.【点评】本题考查y=Asin （叶小）型函数的图象变换及其性质，是中档题.精选7. (5分)已知双曲线22 a(a

15、>0, b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A,B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为di和d2,且di+d2=6,则双曲线的方程为(a-42_=i B. -5=1C.2-=1 D.12122-=14【分析】画出图形，利用已知条件,列出方程组转化求解即可.【解答】解：由题意可得图象如图,y2工，即 bxay=0, F (c, 0), aCD是双曲线的一条渐近线AC± CD, BD)± CD, FE CD, ACDB是梯形,L di + dqF是AB的中点，EF号上=3,二b,所以b=3,双曲线2aa>0, b>

16、0)的离心率为2,可得可得:22巴T一二4,解得a=/3 a则双曲线的方程为:1.2 K T双曲线方程的求法，考查计算能力.精选8. (5分)在如图的平面图形中，已知 OM=1, ON=2, /MON=12 0,而=2位,CS=2NA,贝U瓦质的值为(A. - 15 B. - 9 C. - 6 D. 0【分析】用特殊值法，不妨设四边形 OMAN是平行四边形， 由题意求得灰的值.【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由 OM=1, ON=2, /MON=120,氏=2，'1=2；,知丽=亚一忘=而-3«= - 30i+3OT,BC-OM= (-3而+3而)标»

17、门 - = -3 y +3i P= -3X 12+3X2X 1 Xcos120°=-6.故选：C.【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. (5分)i是虚数单位，复数7+口 = 4 - i .1+21【分析】根据复数的运算法则计算即可.【解答】解：叫匕伊祟太出-加叱一,了=4 1 1+21 (l+2i (1-21555故答案为：4-i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题.10. (5分)已知函数f (x) =exlnx, f'(x)为f (x)的导函数，则f'(1)的值为精选【分析】

18、根据导数的运算法则求出函数f (x)的导函数,再计算f'(1)的值.【解答】解：函数f (x) =exlnx, 则 f' (x) =exlnx+?ex;.f'(1) =e?ln1+1?e=e.故答案为：e.【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题.11. (5分)如图，已知正方体 ABCA A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1- BBD1D的体积为 1 .一3 一【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积.【解答】解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长：1和五, 四棱锥的高：La1g=l2.则四棱锥A1 - BB1D1D的体

19、积为：,乂 1 乂巫乂孝二.【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键.12. (5分)在平面直角坐标系中，经过三点(0, 0), (1, 1), (2, 0)的圆的精选方程为 （x- 1） 2+y2=（或 x2+y2 2x=0）.【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方 程.【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程.【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0, 0）, （1, 1）, （2, 0）的圆，其圆心为（1, 0）,半径为1,则该圆的方程为（x- 1） 2+y2=1.【方法二】设该圆的方程为x

20、2+y2+Dx+Ey+F=0,尸则好加+广。,2W+E4F= o解得 D=- 2, E=F=0.所求圆的方程为x2+y2 - 2x=0.故答案为：（x-1） 2+y2=1 （或 x2+y2- 2x=0）.【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题.13. （5分）已知a, bCR,且a-3b+6=0,则2a1 的最小值为【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可.【解答】解：a, bCR,且a 3b+6=0,可得：3b=a+6,则 2a+ 1 =": -=- 8b2 /62J_L2a当且仅当2a.即a=- 3时取等号.函数的最小值为：4.精选故答案为：L.【点评】本题考查

21、函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法, 求解函数的最值.考查计算能力.14. (5 分)己知 aC R,函数 f (x) = * i '" .若对任意 x - 3, + -x2+2x-2a, x>0°°) , f (x) &|x|恒成立，则a的取值范围是 L, 2_.8【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式包成立分别进行求解即可.【解答】解：当x< 0时，函数f (x) =x2+2x+a2的对称轴为x=- 1,抛物线开 口向上，要使x00时，对任意x -3, +oo) , f (x) & |x|包成立，则只需要

22、 f ( - 3) <| -3|=3,即 9-6+a-2<3,得 a<2,当x> 0时，要使f (x) 0|x|恒成立，即f (x) =- x2+2x- 2a,则直线y=x的下 方或在y=x上，由x2+2x 2a=x,即 x2 x+2a=0,由判另式 =1 8a00,得a)/，综上a & 2,8【点评】本题主要考查不等式包成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化精选求解即可.注意数形结合.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. (13分)己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240, 160,160.现

23、采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(H)设抽出的7名同学分别用A, B, C, D, E, F, G表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.【分析】(I )利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿 意者中分别抽取得3人，2人，2人.(R)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果.(ii)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是 A, B, C,来自乙

24、年级的是D, E, 来自丙年级的是F, G, M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法 能求出事件M发生的概率.【解答】解：(I)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3: 2:2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学，应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人.(H) (i)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：A,B,A,C,A,D,A,耳，A,F ,A, G , B,B,D,B,E,B,%B,G,C, D ,C,号，C, F , C, G,D,E,D, % D, G, E,弓，E, G, F, G,共 21 个.(i)设抽取的7名

25、学生中，来自甲年级的是 A, B, C,来自乙年级的是D, E,来自丙年级的是F, G,M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：精选A, B, A, C, B, 0, D, E, F, G,共 5 个基本事件，事件M发生的概率P (M)21【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型 及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.16. (13分)在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知bsinA=acos(I )求角B的大小；(H )设 a=2, c=3,求 b 和 sin (2A B)的值.

26、).由此能求出由正弦定理得 bsinA=asinB 与 bsinA=acos (B 一B.(H )由余弦定理得 b=J?,由 bsinA=acos ( B-),得 sinAML , cosA= 6 (vr V7由此能求出sin (2A- B).sinA sinB【解答】 解：(I )在 ABC中，由正弦定理得 Y,得bsinA=asinB 又 bsinA=acos (B -；-).一，一 ITT .，一 死、asinB=acos ( B , 即 sinB=cos ( B )66-n . - 兀 -I . 一=cosBcos+sinBsin-cosBinD ， 66 22 . tanB=:；,又

27、 B (0, Tt) ,B=y.(H)在 ABC中，a=2, c=3, B$,J由余弦定理得b刃J +2as口比=H,由bsinA=acos (B-专)，得sinA考,a< c,cosA=X-,V7-C . AA 4参 . sin2A=2sinAcosA= _ 、2A,1cos2A=2coSA - 1=精选sin (2A B) =sin2AcosB- cos2AsinB=b£§_ y_L_L x-=- -7 Z 7214【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力, 考查函数与方程思想，是中档题.17. (13分)如图，在四面体 ABCD中，4

28、ABC是等边三角形，平面 ABC，平面ABD,点 M 为棱 AB 的中点，AB=2, AD=2/3, / BAD=90 .(I )求证：AD± BC;(H)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(m)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【分析】(I )由平面ABCL平面ABD,结合面面垂直的性质可得 ADL平面ABC WJ ADXBC;(H)取棱AC的中点N,连接MN, ND,又M为棱AB的中点，可得/ DMN (或 其补角)为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成 角的余弦；(田)连接CM,由4ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM± AB

29、,且 CM=/1,再由面面垂直的性质可得 CM,平面ABD,则/CDM为直线CD与平面 ABD所成角，求解三角形可得直线 CD与平面ABD所成角的正弦值.【解答】(I )证明：由平面 ABC平面 ABD,平面 ABCA平面 ABD=AB AD! AB,得 AD,平面 ABC,故 AD± BC;(H)解：取棱AC的中点N,连接MN, ND,.M为棱AB的中点，故MN/BC,/DMN (或其补角)为异面直线BC与MD所成角，在 RtA DAM 中，AM=1,故 DM=77二而，. AD，平面 ABC,故 AD± AC,精选在DAN 中，AN=1,故 DN%淤+T二市，在等腰二角

30、形 DMN 中，MN=1,可得 cos/DMN=±一=X-. DM 26异面直线BC与MD所成角的余弦值为 运；2£(田)解：连接CM,二ABC为等边三角形，M为边AB的中点,故 CMAB, CM=73,又平面 ABC，平面ABD,而CM?平面ABC,故CM，平面ABD,则/ CDM为直线CD与平面ABD所成角.在CAD中，CD叽在 RtCMD 中，sin/ CDM=)步.CD - 4直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 亨.【点评】本题考查异面直线所成角、 直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本 知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题.18. (13

31、分)设an是等差数列，其前n项和为Sn (nCN*)； bn是等比数列， 公比大于 0,其前 n 项和为 Tn(nC N*).已知 b=1, b3=b2+2, b4=a+a5, b5=a4+2a6.(I )求 S 和 Tn；(H )若 &+ (T1+T2+- - +Tn) =an+4bn,求正整数 n 的值.【分析】(I)设等比数列bn的公比为q,由已知列式求得q,则数列bn的通 项公式与前n项和可求；等差数列an的公差为d,再由已知列关于首项与公差 的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得$；(H)由(I )求出 T1+T2+Tn,代入 S+ (T1+T2+

32、K) =an+4bn,化为关于 n的一元二次方程求解正整数n的值.【解答】解：(I)设等比数列bn的公比为q,由b1=1, b3=b2+2,可得q2-q精选2=0.: q>0,可得 q=2.故九= 2FL 1, Tn之2*M； 口口 1 £设等差数列an的公差为d,由b4=a3+a5,得ai+3d=4,由 b5=a4+2ae,得 3ai+13d=16, ai=d=1.故 an=n, s 二口 m ； n 2(R )由(),可得 T1+T2+Tn=/+22+ 2n)F/x(17 ) F=2n+1 - n ,''1-2-2.由 Sn+ (T1+T2+Tn) =an+

33、4bn,可得 p+lf-ZF+z-、整理得：n2 3n 4=0,解得n=1 (舍)或n=4.n的值为4.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题.2219. (14分)设椭圆 毛洋六1 (a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为夸, iABi=m.(I)求椭圆的方程；(II)设直线l: y=kx (k< 0)与椭圆交于P, Q两点，1与直线AB交于点M,且点P, M均在第四象限.若 BPM的面积是 BPQ面积的2倍，求k的值.【分析】(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得号得，又a2=b2+

34、d,解得a=3,b=2,即可.(n )设点 P(X1, y1)，M(X2, y2),(X2>X1>0) .则 Q ( X1, y1).由 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，可得 X2 X1=2 X1 - (-X1), X2=5x1,精选联立方程求出由,一二 耳2 3k+20可得k.【解答】解：(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得£=$又 a2=b2+c2,解得 a=3, b=2,22.椭圆的方程为：JJ1，94(II)设点 P (xi, yi), M(X2, y2),(X2>X1>0).则 Q ( Xi, - yi).BPM 的面积是 BPQ 面积的

35、2 倍,. | PM| 二2| PQ| ,从而 X2-xi=2xi-(- xi),x2=5xi,易知直线AB的方程为：2x+3y=6.?依西尸5(3k+2)，? i8k2+25k+8=0,解得 k=一卷或 k=-.由肥下*>0可得k>q,故k=-【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属 于中档题.20. (i4分)设函数 f (x) = (xti) (x t2)(xt3),其中 ti, t2, t3C R,且 ti, t2, t3是公差为d的等差数列.(I )若t2=0, d=i,求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(H )若d=3

36、,求f (x)的极值；(田)若曲线y=f (x)与直线y=- (x-12)- 6/1有三个互异的公共点，求 d 的取值范围.【分析】(I )求出t2=0, d=i时f (x)的导数，利用导数求斜率，再写出切线精选方程；(H)计算d=3时f (x)的导数，利用导数判断f (x)的单调T求出f (x)的 极值；(田)曲线y=f (x)与直线y=- (x-12)- 6/5有三个互异的公共点，等价于关于x的方程f (x) + (x-t2)- 啦=0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围.【解答】解：(I )函数 f (x) = (x tl) (x t2)(x t3),t2=0, d=1 时，f (x) =x (x+1) (x- 1) =x3 - x, f'(x) =3x2- 1, f (0) =