2019年数学八年级上册知识点汇总及常考题型

1、数学八年级上册知识点汇总及常考题型汇编人：高科寿第一章全等三角形【知识结构框图】一、定义及表示1、定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注：全等三角形是相似三角形中相似比为 1: 1的特殊情况)当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合 的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应 边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应 角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对

2、应角;2、表小全等用表示， 读作“全等于。 如：4ABC全等于ADEF写作:AB挈 ADEF注意：若AABCADEF点 A的对应点是点 D,点B的对应点是点 E, 点C的对应点是点 F二、判定定理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边” ）o3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角” ）o由3可推到4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角 形全等（HL或“斜边

3、，直角边”）所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA（特例：直角三角形为HL,属于SSA）边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写（angle） , S是英文边的缩写（side）。H是英文斜边的缩写（Hypotenuse） , L是英文直角边的缩写（leg ） :6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。 三、性质三角形全等的条件：1、全等三角形的对应角相等。2、全等三角形的对应边相等3、全等三角形的对应顶点相等。4、全等三角形的对应边上的高对应相等。5、全等三角形的对应角平分线相等

4、。6、全等三角形的对应中线相等。7、全等三角形面积相等。8、全等三角形周长相等。9、全等三角形可以完全重合。三角形全等的方法：1、三边对应相等的两个三角形全等。（ SSS）2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等( AAS5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)【运用】1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对 应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点

5、，角、边的顺序 写一致，为找对应边，角提供方便。3,当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和军事。5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他 支撑物体。【做题技巧】一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以采取逆向思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件，要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用 (AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。 分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中

6、，如果格式不写好那么就 容易出现看漏的现象。【例题分析】例1: (2006浙江金华)如图，4ABC与4ABD中，AD与BC相交于 O点,AB= AB, /A=/ A/1=/ 2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其它字 母)，使AC=BD并给出证明.分析：要说明AC=BD根据图形想到先说明ABCABAD题目中已经知道/ 1 = /2,AB= AB,只需一组对边相等或一组对角相等即可解：添加的条件是：BC=AD.证明：在 ABC 与ABAD中，/1 = /2,AAB（CABAD（ SAS）.AC=BD.小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一,若按照以下方式之一来添加条

7、件： BC=AD/ C=/ D,/ CAD= DBC / CAB= DBA都可得 CA军ADB/A从而有 AC=BD.AC=AD请你添加一个条件,例2 （2006 攀枝花）如图，点 E在AB上, 使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为.你得到的一对全等三角形是：证明: 分析： 在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边,因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等 即可得出全等三角形 解：所添条件为 CE=ED.得到的一对全等三角形是 CA窜ADAE.证明：在4CAE 和4DAE 中，AC=AD AE=AE CE=DE所以 ACAEADAE（ SSS）.小结： 本题属于条件和结论

8、同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂, 但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视 例3.（2008年永州）下列命题是暇命您的是（）A.两点之间，线段最短.B.过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.C. 一组对应边相等的两个等边三角形全等.D.对角线相等的四边形是矩形.答案:D解析：考查假命题的判定.一般判定假命题采用对比定义或举反例.随意可以画出 一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来，所以D是假命题.例4.具备下列条件的两个三角形，全等的是A.两个角分别相等，且有一边相等8. 一边相等，且这边上的高也相等C.两边分别相等，且这两边的夹角也相等D,两边且其中一条对应边的对角对应相

9、等 知识点扫描：全等三角形的判定.注意对应！ 题目解析：A项没有对应，可举反例：两个三角形，一大一小，有两个角分别相 等，但大三角形的短边=小三角形的长边.B项高的位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等 .C项两边及夹角相等，由全等公理可以得到.D项SSA不能判定全等.故选C例 5.在4ABC 与AA B C中，/A+/B=/C, / B +/C =/A,且b-a=b -c,b+a=b +c,则这两个三角形()(A)不一定全等(B)不全等(C)根据“SAS”全等(D)根据“ASA”全等题目解析：.一/A+/B=/C, /B +/C =/A ,；/C=/A =900 .又,b-ab -

10、c ,b+a=b +c,两式相加，得 b=b,则 a=c.则 ABCC B A (SAS)故选C例6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图(16)所示的残片，你对图中作哪些数 据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由.题目解析：全等三角形的实际应用问题，要测量的条件必须是可以证明三角形全 等的.所以测量/ A, / B的度数和线段AB的长度，用ASA得全等.解:测量/A, /B的度数和线段AB的长度，做/A =/A, AkAB/B =/B, 则AA B C和原三角形全等，据 ASA定理.例7.如图，已知点A, F, E, C在同一直线上，AF=CE, BE / DF , BE=DF

11、.求证：AB/CD.a b知识点扫描：全等三角形的判定、性质.平行线的判定.飞广、题目解析：从图形来看，是一个典型的全等图形.所以想到由全等得到%行冲收 等角推出两线平行.但是注意：在证 AEBACFD中，不要错谡地把 aF4CE当成了这两个三角形的对应边.其实，AE与CF才是这两个三角形的对应边.证明：v AF=CE, A、F、E、C 共线， . AE=CF. . BE/ DF, .AEB = /CFD.( AF 二CE 在 AEB 和ACFD中，j/AEB=/CFDBE=DF.AEBACFtD ./A=/C,AB/ CD.AEXCDT E, BFXDC例 8.如图，/ACB=90 , AC

12、=BC, D 为 AB 上一点, 交CD的延长线于F.求证：BF=CE.知识点扫描：全等三角形的判定及性质.和同角互余的两角相等.题目解析：这个图形也是很典型的全等三角形图形 .所以考虑证 ACEACBF (AAS),从而由全等性质得到：BF=CE.证全等用AAS,直角相等，和AC=BC 都是显见的，再找一角：/ EAC= FCB这一相等由同角(/ ACE的余角相等得 到.证明：v AEXCF, ./ ECA + /CAE=90 .又/BCA=90 , .BCF+/ECA=/ECA +/CAE. . BCF=/CAE .,. AEICF, ./AEC=90 . BFXCF, ./BFC=90

13、.又 AC=BC, BCFACAE. . . BF=CE.例9.已知：如图， ABC和 ADE是有公共顶点的等腰三角形 求证：(1) BD=CE; (2) / 1 = /2.HC题目解析：图形复杂，要在复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了.找全等要充分利用等边直角三角形的等边和直角条件 .证EAC04DAB.证明：/ BAC= / EAD=90 / BAC+ / DAC= / EAD+ / DAC.即 / BAD=/ EAC.又AE=AD,AB=AC, . .EAgDAB,.BD=CE, /1 = /2.例10.如图，在 ABC中，/ C为直角，/ A=30 ,分别以AB、AC为边在ABC的

14、外侧作正 ABE与正 ACD , DE与AB交于F,求证：EF=FD.题目解析：构造全等三角形，过E作EG,AB于G.证明4EF乎DFAW可.(AAS .证明：过E作EGLAB于G.则/AEG=30 .以( /在 AEG 与 ABC 中，AE=AB , / AEG= / CAB=30。，/ BCA=,卞;/EGA=90。，EAGAABC,， T7EG=AC=AD.又在 ADF 与4GEF 中，AD=GE , /AFD=/GFE,l/ DAF= / EGF=90.ADFAGEF, . DF=EF.例11.如图，在 ABC中，AB=AC, DE是过点A的直线，BDXDE于D, CE SE 于 E.

15、（1）若BC在DE的同侧（如图）且 AD=CE,求证：BAXAC.（2）若BC在DE的两侧（如图）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？ 若是请予证明，若不是请说明理由.题目解析：直接证明垂直无路，要“曲线救国”，设法证明/ DAB+/EAC=90 这还是不能直接达到，注意到/ DAB和/ EAC所在三角形均为直角三角形，所 以再转化一下：证/ DAB=/ACE,这由全等不难得到.第二问方法与第一问类似，故不赘述.证明：（1）在 RtABD 和 RtCAE 中，AB =CAAD =CE.ABDACAE (HL), . / DAB=/ACE.又. /ACE+/CAE=90 , .DAB+/CAE=

16、90丁. / BAC=90 ,AB 与 AC 垂直.（2）成立.证明同上.例12. （2008年湘潭）（本题满分6分）如图，四边形ABCM矩形，E是AB上一点,且 DEAB,过C作CF, DE垂足为F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.解：（1） AD =CF .（2）:四边形ABCD是矩形，AED =/FDC,. DE = AB =CD又：CF _ DE,. . CFD =/A=90 ,AD图 AFCDAD=CF解析：考查矩形的性质及直角三角形全等的判定.猜想AD与CF的关系，可以分析 AD,CF所在的两个三角形 ADE与三角形FCD的关系.由条件可归纳得：/A=/

17、CFD=90 / AEDWFDC,DE=AB=CDJ证 AD图AFCD从而 AD=CF.【练习】：1、 （2008年泰州市）27.在矩形 ABCD 中，AB=2, AD=3 .（1）在边CD上找一点E,使EB平分/ AEC,并加以说明；（3分）（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.求证：点B平分线段AF; （3分）4PAE能否由4PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明， 并求出旋转度数；若不能，请说明理由.（4分）2、（2008年南京市）21. （6分）且 BE =CF , AF = DE .求证：（1） AABF ADCE ;（2）四边形AB

18、CD是矩形.如图，在矩形 ABCD中，E, F为BC上两点,3、（2008福建福州）如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , M是AD的中点,求证：MB=MC.4、（2008 年遵义市）如图，OA = OB, OC =OD , /O =50 ,2D 二35，则 / AECA. 60；B. 50ptC. 45,D. 305、（2008年遵义市）22. （10分）在矩形 ABCD中，AD = 2AB, E是AD的中 点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转.当 三角板的两直角边与AB, BC分别交于点M, N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明

19、你的结论.6、（2008年郴州市）如图，AABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ADBC.请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由.7. （2008年双柏县）如图，点P在/ AOB的平分线上，OBC若使AOPBOP,则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：8. （2008年荆州市）如图，矩形 ABCD中，点E是BC上一点，AE = AD, DF ，AE于F,连结DE求证：DF= DC9. （2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A. 43B, 3 73C, 20),则x叫做a的平

20、方根，记作x= 7a ,求一个非负数的平方 根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.6 .算术平方根的概念：20正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“，万,0的算术平方根是0.7 .平方根及算术平方根的性质：1 .正数有两个平方根，它们互为相反数；2 . 0的平方根是0;3 .负数没有平方根；4 .一个非负数的算术平方根是非负数，即a0.8 .立方根的概念及性质：若x2=a,则x叫做a的立方根，记作x= Va .0的立方根是0,任何实数都有立 方根,并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.【典型例题】例1 v81的平方根是().A. 9 B. 3C.9D.3解：因为781=9

21、，所以J8T的平方根就是9的平方根，即网= 3,故选择B.注：应现将781化简后再求值.例2若a0,则a2的算术平方根是().A.-aB.aC. a D. 土 7 a解:当a、=).解析：这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.3 11 =2.2240,、5 =2.2361，故填 .例8若a为实数，下列代数式中，一定是负数的是()A. a B. ( a +1)C. va2D. (-a+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念，同时涉及考查字母表示数这个知 识点.由于a为实数，a2、( a+1)2、70均为非负数， a，Q ( a+1)2Q -后 WQ而0既不是正数也不是负数，是介

22、于正数与负数之间的中性数.因此，A、B、C不一定是负数.又依据绝对值的概念及性质知(-a+1)0.故选D例9实数a在数轴上的位置如图所示， :-2-1012化简:a -1 +(a -2)2 =分析：这里考查了数形结合的数学思想，要去掉绝对值符号，必须清楚绝对值 符号内的数是正还是负.由数轴可知：1 a 2,于是 a-1 =a-1,、；(a - 2) = a-2=2-a,所以，a -1 +(a -2)2 =a 1+2 a =1.例10如图所示，数轴上A、B两点分别表示实数1, 75,点B关于点A的 对称点为C,则点C所表示的实数为()A.忑-2B. 2- 55 J、-2-1012 /C. 5-3

23、D.3- 5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想，同时又考查了对称的性质.B、22C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的 距离是/3 .9 .已知实数x, y满足x 1 +（3x+y 1 ）2 = 0，则,5x + y2的值是.10 .请你观察思考下列计算过程.112 =121. 2w 1 11112 =12321.，1 2 3 2 11 1 1由此猜想： ,12345678987654321 ; .11 .三个实数-0.2, -1, 1-五之间的大小关系为（2A. -0.2 0, y0;点 P (x, y)在第二象限 u x0;点P (x, y)在第三象限u

24、x0, y0, y0o(2)坐标轴上的点有如下特征：点P (x, y)在x轴上u y为0, x为任意实数。点P (x, y)在y轴上=x为0, y为任意实数。3 .点P (x, y)坐标的几何意义：(1)点P (x, y)到x轴的距离是| y |;(2)点P (x, v)到y袖的距离是| x |;(3)点P (x, y)到原点的距离是Vx2 +y24 .关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：(1)点P (a, b)关于x轴的对称点是Pi(a,-b);25(2)点P (a, b)关于x轴的对称点是P2(-a,b);(3)点P (a, b)关于原点白向对称点是 P3(-a,-b);二、函数的概念1

25、、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数 值不变的量叫做常量。2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量 x和y,如果对于x的 每一个值，y都有唯一的值与它又t应，那么就说 x是自变量，y是x的函数。(1)自变量取值范围的确是：解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。注意：在确定函数中自变量的取值范围时， 如果遇到实际问题，还必须使实 际问题有意义。(2)函数值：给自变量在取值范围内的一个值

26、所求得的函数的对应值。(3)函数的表示方法：解析法；列表法；图像法(4)由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：列表；描点；连 线三、一次函数1 .一次函数的概念：函数y=H+b(太，为常数，上M)叫做x的一次函 数。学习这个定义应明确下面几点：(D作为一次函数自变量x的最高次数是1,且其系数上mO ,这两个条件 缺不可O(2)函数)二1b+占(上H。)中6可以为任意常数，当6二。时，一次函数 y = ki+b就成了=kx 1为常数，且上H。),这时叫做I的正比例函数，也可 以说与I成正比例，常数上叫做因变量了与自变量工的比例系数.因此正比例 函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数

27、。2 .一次函数的图像：一次函数y=kx + b (kw0)的图像是一条与坐标轴斜交 的直线。因此，只需求出直线 y=kx + b上的两点，就可得到它。一般，作正比例函数y = kx的图像常取点(0, 0)和(1, k)；作一次函数b,0ynkx + bg#0)的图像常取(0,b)和(k)两点，这两点是直线与坐标轴 的交点。3 .一次函数的性质：(1)参数k、b的意义和对一次函数y = kx+b的图像与性质的影响。当上。时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右呈上升趋势； 直线向 上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角;26当尢 0直线与y轴交点在x轴的上方；(3) k、b的符号对直线位置的影响:图像过一、二、四象限图像过二、三、四象限b = 0直线过原点；b0 ,所以 x 6(4) lx1 #0 ,所以 x5方法